1、滬教版(上海)九年級上冊數學銳角的三角比的意義-求銳角的三角比的值-教學案 銳角的三角比的意義 求銳角的三角比的值 教案【學習目標】1結合圖形理解記憶銳角三角函數的定義；2會推算30、45、60角的三角函數值，并熟練準確的記住特殊角的三角函數值；3理解并能熟練運用“同角三角函數的關系”及“銳角三角函數值隨角度變化的規律”.【要點梳理】要點一、銳角三角函數的概念如圖所示，在RtABC中，C90，A所對的邊BC記為a，叫做A的對邊，也叫做B的鄰邊，B所對的邊AC記為b，叫做B的對邊，也是A的鄰邊，直角C所對的邊AB記為c，叫做斜邊銳角A的對邊與斜邊的比叫做A的正弦，記作sinA，即；銳角A的鄰邊與

2、斜邊的比叫做A的余弦，記作cosA，即；銳角A的對邊與鄰邊的比叫做A的正切，記作tanA，即；銳角A的鄰邊與對邊的比叫做A的余切，記作cotA，即.同理；要點詮釋：(1)正弦、余弦、正切、余切函數是在直角三角形中定義的，反映了直角三角形邊與角的關系，是兩條線段的比值角的度數確定時，其比值不變，角的度數變化時，比值也隨之變化(2)sinA，cosA，tanA，cotA分別是一個完整的數學符號，是一個整體，不能寫成，不能理解成sin與A，cos與A，tan與A，cot與A的乘積書寫時習慣上省略A的角的記號“”，但對三個大寫字母表示成的角(如AEF)，其正切應寫成“tanAEF”，不能寫成“tanA

3、EF”；另外，、常寫成、(3)任何一個銳角都有相應的銳角三角函數值，不因這個角不在某個三角形中而不存在(4)由銳角三角函數的定義知：當角度在0A90間變化時，tanA0 cotA0.要點二、特殊角的三角函數值利用三角函數的定義，可求出30、45、60角的各三角函數值，歸納如下：銳角cot30451160 要點詮釋：(1)通過該表可以方便地知道30、45、60角的各三角函數值，它的另一個應用就是：如果知道了一個銳角的三角函數值，就可以求出這個銳角的度數，例如：若，則銳角(2)仔細研究表中數值的規律會發現： 、的值依次為、，而、的值的順序正好相反，、的值依次增大，其變化規律可以總結為： 正弦、正切

4、值隨銳角度數的增大(或減小)而增大(或減小) 余弦、余切值隨銳角度數的增大(或減小)而減小(或增大)要點三、銳角三角函數之間的關系如圖所示，在RtABC中，C=90(1)互余關系：，；tanA=cot(90-A)=cotB , tanB=cot(90-B)=cotA.(2)平方關系：；(3)倒數關系：或；(4)商的關系：要點詮釋：銳角三角函數之間的關系式可由銳角三角函數的意義推導得出，常應用在三角函數的計算中，計算時巧用這些關系式可使運算簡便【典型例題】類型一、銳角三角函數值的求解策略例題1如圖，在網格中，小正方形的邊長均為1，點A，B，C都在格點上，則ABC的正切值是（）A2BCD【答案】D

5、【解析】解：如圖：，由勾股定理，得AC=，AB=2，BC=，ABC為直角三角形，tanB=，故選：D舉一反三：【變式】在RtABC中，若a=3，b=4，則 ， ， ， ， 【答案】 5 ， ， ， 類型二、特殊角的三角函數值的計算例題2求下列各式的值：(1)6tan230sin602sin45； (2)sin604cos230+sin45tan60； (3)+cot30 【答案與解析】解：（1）原式= (2) 原式=4（）2+=3+=； (3) 原式=+=2+=32+2=+2舉一反三：【變式】在RtABC中，若A=45，則 ， ， ， ， 【答案】45， ， 類型三、銳角三角函數之間的關系例題

6、3已知ABC中的A與B滿足（1tanA）2+|sinB|=0（1）試判斷ABC的形狀（2）求（1+sinA）22（3+tanC）0的值【答案與解析】解：（1）|1tanA）2+|sinB|=0，tanA=1，sinB=，A=45，B=60，C=1804560=75，ABC是銳角三角形；（2）A=45，B=60，C=1804560=75，原式=（1+）221=類型四、銳角三角函數的拓展探究與應用例題4如圖所示，AB是O的直徑，且AB10，CD是O的弦，AD與BC相交于點P，若弦CD6，試求cosAPC的值 【答案與解析】連結AC， AB是O的直徑， ACP90，又 BD，PABPCD， PCDP

7、AB， 又 CD6，AB10，在RtPAC中， 例題5通過學習三角函數，我們知道在直角三角形中，一個銳角的大小與兩條邊長的比值相互唯一確定，因此邊長與角的大小之間可以相互轉化類似的，可以在等腰三角形中建立邊角之間的聯系我們定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角的正對(sad)如圖1，在ABC中，ABAC，頂角A的正對記作sadA，這時容易知道一個角的大小與這個角的正對值也是相互唯一確定的根據上述角的正對定義，解下列問題：(1)sad60_(2)對于0A180，A的正對值sadA的取值范圍是_(3)如圖1，已知sinA，其中A為銳角，試求sadA的值【答案與解析】(1)1； (2)0sadA2；(3)如圖2所示，延長AC到D，使ADAB，連接BD設ADAB5a，由得BC3a， ， CD5a-4aa， 【總結】(1)將60角放在等腰三角形中，底邊和腰相等，故sadA1；(2)在圖中設想ABAC的長固定，