1、1.一般式一般式: y=ax2+bx+c( (a0) );一、二次函數(shù)的解析式一、二次函數(shù)的解析式2.頂點(diǎn)式頂點(diǎn)式: y=a(x - -m)2+n( (其中其中(m, n)為拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)) );3.兩根式兩根式: y=a(x - -x1)(x - -x2)( (其中其中x1, x2為拋物線(xiàn)與為拋物線(xiàn)與 x 軸兩交點(diǎn)軸兩交點(diǎn) 的橫坐標(biāo)的橫坐標(biāo)) ); 注注: 求二次函數(shù)的解析式求二次函數(shù)的解析式, 一般都采用待定系數(shù)法一般都采用待定系數(shù)法. 做題時(shí)做題時(shí),要根據(jù)題設(shè)條件要根據(jù)題設(shè)條件, 合理地設(shè)出解析式合理地設(shè)出解析式. 二、二次函數(shù)的圖象二、二次函數(shù)的圖象有關(guān)知識(shí)有關(guān)知識(shí)

2、: 圖象形狀圖象形狀; 對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)軸; 頂點(diǎn)坐標(biāo)頂點(diǎn)坐標(biāo); 與與 x 軸交點(diǎn)坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo);截截 x 軸線(xiàn)段長(zhǎng)軸線(xiàn)段長(zhǎng).三、二次函數(shù)的性質(zhì)三、二次函數(shù)的性質(zhì)1.當(dāng)當(dāng) a0 時(shí)時(shí), 拋物線(xiàn)開(kāi)口向上拋物線(xiàn)開(kāi)口向上, 函數(shù)在函數(shù)在(-(-, - - 上單調(diào)遞上單調(diào)遞減減, 在在- - , +)上單調(diào)遞增上單調(diào)遞增, 當(dāng)當(dāng) x= - - 時(shí)時(shí), f(x) 取得最小值取得最小值,為為 .2ab2ab2ab4a4ac- -b2 2.當(dāng)當(dāng) a0)在在m, n上的最值上的最值2.若若 x0 m, n, 則則(1)當(dāng)當(dāng) x0n 時(shí)時(shí), f(x)min=f(n), f(x)max=f(m).五、不等式五、不等式

3、ax2+bx+c0 恒成立問(wèn)題恒成立問(wèn)題1.若若 x0=- - m, n, 則則 f(x)min=f(x0)= , f(m), f(n) 中中的較大者即為的較大者即為 f(x) 在在 m, n 上的最大值上的最大值.2ab4a4ac- -b2 1. ax2+bx+c0在在R上恒成立上恒成立. a0=b2- -4ac0. 或或ax2+bx+c0在在R上恒成立上恒成立. a0=b2- -4ac0, a=b=0 c0(a0) 在在 m, n 上恒成立上恒成立. f(m)0, - - m 2ab=b2- -4ac0. - - n 2ab或或 f(x)min0( (xm, n) ) f(x)=ax2+b

4、x+c0) 在在 m, n 上恒成立上恒成立. f(n)0. f(m)0) 的實(shí)根分布問(wèn)題的實(shí)根分布問(wèn)題記記 f(x)=ax2+bx+c(a0),=b2- -4ac0. x1+x2=- - 0 abacx1x2= 0 =b2- -4ac0 f(0)0. - - 0 2ab2.方程方程 f(x)=0 有兩負(fù)根有兩負(fù)根 =b2- -4ac0. x1+x2=- - 0 =b2- -4ac0 f(0)0. - - 0. - - k 2ab3.方程方程 f(x)=0 有一正根一負(fù)根有一正根一負(fù)根 c0.5.方程方程 f(x)=0 的兩實(shí)根一個(gè)大于的兩實(shí)根一個(gè)大于 k, 另一個(gè)小于另一個(gè)小于 k f(k)

5、0. - - k 2ab7.方程方程 f(x)=0 的兩實(shí)根都在區(qū)間的兩實(shí)根都在區(qū)間(m, n)內(nèi)內(nèi) f(m)0 =b2- -4ac0 m - - 0. 8.方程方程 f(x)=0 的兩實(shí)根中的兩實(shí)根中, 有且只有一個(gè)在區(qū)間有且只有一個(gè)在區(qū)間(m, n)內(nèi)內(nèi). f(m)f(n)0, 或或f(m)=0 m - - , 2abm+n 2 - - n. 2abm+n 2f(n)=0 或或 思考思考 方程的兩根有且只有一個(gè)在區(qū)間方程的兩根有且只有一個(gè)在區(qū)間m, n上時(shí)等價(jià)于上時(shí)等價(jià)于?9.方程方程 f(x)=0 的兩根分別在區(qū)間的兩根分別在區(qū)間(m, n)和和(p, q)( (n0 f(n)0 f(p

6、)0. 注注 涉及方程涉及方程 f(x)=ax2+bx+c=0(a0)的實(shí)根分的實(shí)根分布問(wèn)題布問(wèn)題, 一般情況下要從四個(gè)方面考慮一般情況下要從四個(gè)方面考慮: f(x) 圖象的開(kāi)口方向圖象的開(kāi)口方向; 方程方程 f(x)=0的判別式的判別式; 區(qū)間端點(diǎn)處函數(shù)值的符號(hào)區(qū)間端點(diǎn)處函數(shù)值的符號(hào). f(x) 圖象的對(duì)稱(chēng)軸與區(qū)間的關(guān)系圖象的對(duì)稱(chēng)軸與區(qū)間的關(guān)系; 0=00)的圖象的圖象二次函數(shù)二次函數(shù)y=ax2+bx+cxyx1x2x1=x2xyooxy(a0)的解集的解集ax2+bx+c0 x | x1x0) 的根的根有兩相異實(shí)根有兩相異實(shí)根 x1, x2 (x10)的解集的解集Rax2+bx+c0 x

7、| xx2x | x- - 2ab八、典型例題八、典型例題1.已知二次函數(shù)已知二次函數(shù) f(x) 滿(mǎn)足滿(mǎn)足 f(2)=- -1, f(- -1)=- -1, 且且 f(x) 的最大值的最大值是是 8, 試確定此二次函數(shù)的解析式試確定此二次函數(shù)的解析式.解法一解法一: 利用二次函數(shù)的一般式利用二次函數(shù)的一般式.故所求函數(shù)的解析式為故所求函數(shù)的解析式為 f(x)=- -4x2+4x+7. 設(shè)設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a0), 則則4a+2b+c=- -1, a- -b+c=- -1, =8. 4a4ac- -b2 a=- -4, b=4, c=7. 解得解得解法二解法二: 利用二次函數(shù)的頂點(diǎn)式

8、利用二次函數(shù)的頂點(diǎn)式.設(shè)設(shè)f(x)=a(x- -m)2+n, f(2)=f(- -1)=- -1, 拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn) x= , 12m= . 12又又 f(x) 的最大值是的最大值是 8, n=8. f(x)=a(x - - )2+8, 12f(2)=- -1, a(2 - - )2+8=- -1, 12a=- -4. 故所求函數(shù)的解析式為故所求函數(shù)的解析式為f(x)=- -4(x- - )2+8=- -4x2+4x+7. 12解法三解法三: 利用二次函數(shù)的兩根式利用二次函數(shù)的兩根式.由已知由已知 f(x)+1=0 的兩根為的兩根為 2 和和 - -1, 故可設(shè)故可設(shè)

9、f(x)+1=a(x- -2)(x+1), 從而從而 f(x)=a(x- -2)(x+1)- -1. 即即 f(x)=ax2- -ax- -2a- -1. 又又 f(x) 的最大值是的最大值是 8,4a4a(- -2a- -1)- -a2 =8, 解得解得 a=- -4 或或 a=0(舍去舍去). 故所求函數(shù)的解析式為故所求函數(shù)的解析式為f(x)=- -4(x- -2)(x+1)=- -4x2+4x+7. f(x) 在區(qū)間在區(qū)間 0, 2 上的最小上的最小值為值為 3, 可分情況討論如下可分情況討論如下:2.已知函數(shù)已知函數(shù) f(x)=4x2- -4ax+a2- -2a+2 在區(qū)間在區(qū)間 0,

10、 2 上有最小值上有最小值 3, 求實(shí)數(shù)求實(shí)數(shù) a 的值的值.解解: 由已知由已知 f(x)=4(x - - )2 - - 2a+2. a2a2(1)當(dāng)當(dāng) 0, 即即 a0 時(shí)時(shí), 函數(shù)函數(shù) f(x) 在在 0, 2 上是增函數(shù)上是增函數(shù). f(x)min=f(0)=a2- -2a+2. a2(2)當(dāng)當(dāng) 0 2, 即即 0a0, 且當(dāng)且當(dāng) xa 時(shí)時(shí), S=(x - -3)2+y2 的最小值的最小值為為 4, 求參數(shù)求參數(shù) a 的值的值.解解: 由已知由已知 S=(x - -3)2+y2=(x - -3)2+4a(x - -a)=x- -(3- -2a)2+12a- -8a2. 當(dāng)當(dāng) xa 時(shí)

11、時(shí), S(x)=x- -(3- -2a)2+12a- -8a2 的最小值為的最小值為 4, 對(duì)正數(shù)對(duì)正數(shù) a, 可分情況討論如下可分情況討論如下: (1)當(dāng)當(dāng) 3- -2a1 時(shí)時(shí), 函數(shù)函數(shù) S(x) 在在 a, +上是增函數(shù)上是增函數(shù). S(x)min=S(a)=(a- -3)2. 由由 (a- -3)2=4 得得: a=1 或或 5. a1, a=5. (2)當(dāng)當(dāng) 3- -2aa, 即即 0a1 時(shí)時(shí), S(x)min=S(3- -2a)=12a- -8a2. 由由 12a- -8a2=4 得得: a=1 或或 , 12均滿(mǎn)足均滿(mǎn)足 00 的解集是的解集是(- (- , ) ), 求求

12、a, b, c 的取值范圍的取值范圍.1213解解: 由已知由已知, 二次方程二次方程 ax2+bx+c - -250 有實(shí)根有實(shí)根. = =b2- -4a(c - -25)0. 又不等式又不等式 ax2+bx+c0 的解集是的解集是(- (- , ) ),1213 a0. 1616 b=- -c, c2+24c(c - -25)0. 解得解得: c24. b- -24, a- -144. 故故 a, b, c 的取值范圍分別是的取值范圍分別是 a- -144, b- -24, c24. 代入代入 b2- -4a(c - -25)0 得得: 5.已知已知f(x)=ax2+bx+c的圖象過(guò)點(diǎn)的圖

13、象過(guò)點(diǎn)(- -1, 0), 是否存在常數(shù)是否存在常數(shù) a, b, c, 使不等式使不等式 xf(x) 對(duì)一切實(shí)數(shù)對(duì)一切實(shí)數(shù) x 都成立都成立?x2+1 2則由則由f(x)=ax2+bx+c的圖象過(guò)點(diǎn)的圖象過(guò)點(diǎn)(- -1, 0), 得得 a- -b+c=0. xf(x) 對(duì)一切實(shí)數(shù)對(duì)一切實(shí)數(shù) x 都成立都成立, 當(dāng)當(dāng) x=1 時(shí)也成立時(shí)也成立, x2+1 2 1f(1)1, 即即 f(1)=1, 得得 a+b+c=1. 由由 , 得得: a+c=b= . 121212 f(x)=ax2+ x+ - -a. 解解: 假設(shè)假設(shè)存在常數(shù)存在常數(shù) a, b, c, 使題中不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)使題中不等式對(duì)一

14、切實(shí)數(shù) x 都成立都成立. 1212故應(yīng)故應(yīng)xax2+ x+ - -a 對(duì)一切實(shí)數(shù)對(duì)一切實(shí)數(shù) x 都成立都成立. x2+1 2即即2ax2- -x+1- -2a0與與(1- -2a)x2- -x+2a0對(duì)一切實(shí)數(shù)對(duì)一切實(shí)數(shù) x 都成立都成立.則必有則必有: 1- -8a(1- -2a)0, 即即 (4a- -1)20. 14 a= . 1214 c = - -a = . x2+1 214故存在一組常數(shù)故存在一組常數(shù): a= , b= , c= , 使不等式使不等式 xf(x)對(duì)一切實(shí)數(shù)對(duì)一切實(shí)數(shù) x 都成立都成立.1412其中其中, 0a0, 求實(shí)數(shù)求實(shí)數(shù) a 的取值范圍的取值范圍; (2)若

15、若對(duì)對(duì) - -1, 1 上的一切實(shí)數(shù)上的一切實(shí)數(shù) m, 都有都有 f(m)0, 求實(shí)數(shù)求實(shí)數(shù) a 的取值范圍的取值范圍.解解: f(x) 的圖象是開(kāi)口向上的拋物線(xiàn)的圖象是開(kāi)口向上的拋物線(xiàn), 其對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)其對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn) x=a- -1. (1)問(wèn)題等價(jià)于問(wèn)題等價(jià)于“對(duì)于對(duì)于 x- -1, 1, 有有 f(x)max0.”討論如下討論如下: 當(dāng)當(dāng) a- -10 即即 a1 時(shí)時(shí), f(x)max=f(1)=- -a2- -2a+15. 由由 - -a2- -2a+150 得得: - -5a3. a1, - -50 即即 a1 時(shí)時(shí), f(x)max=f(- -1)=- -a2+6a+7. 由由

16、- -a2+6a+70 得得: - -1a1, 1a7. 綜上所述綜上所述, - -5a0.”討論如下討論如下: 當(dāng)當(dāng) a- -1- -1 即即 a0 得得: - -1a7. a0, - -1a0 恒成立恒成立. 0a2. 注注: 亦可亦可用補(bǔ)集法用補(bǔ)集法求解求解. 綜上所述綜上所述, - -1a1 即即 a2 時(shí)時(shí), f(x)min=f(1)=- -a2- -2a+15. 由由 - -a2- -2a+150 得得: - -5a2, 2a0), 方程方程 f(x) - -x=0 的兩根的兩根x1, x2 滿(mǎn)足滿(mǎn)足 0 x1x2 . (1)當(dāng)當(dāng) x(0, x1) 時(shí)時(shí), 證明證明: xf(x)x

17、1; (2)設(shè)函設(shè)函數(shù)數(shù) f(x) 的圖象關(guān)于直線(xiàn)的圖象關(guān)于直線(xiàn) x=x0 對(duì)稱(chēng)對(duì)稱(chēng), 證明證明: x0 . 1a2x10 x1x20, 1+a(x- -x2)=1+ax- -ax21- -ax20. 1a當(dāng)當(dāng) x(0, x1) 時(shí)時(shí), 由由 x10 有有: F(x)=a(x- -x1)(x- -x2)0. 即即 f(x) - -x0, 從而從而 f(x)x. 又又 x1- -f(x)=x1- -x+F(x)=x1- -x- -a(x- -x1)(x- -x2)=(x1- -x)1+a(x- -x2). x1- -f(x)0, 從而從而 x1f(x).故當(dāng)故當(dāng) x(0, x1) 時(shí)時(shí), 有有

18、xf(x)x1; (2)依題意依題意 x0=- - . 2ab由于由于 x1, x2 是方程是方程 f(x)- -x=0 即即 ax2+(b- -1)x+c=0 的兩根的兩根, x1+x2=- - , b=1- -a(x1+x2). b- -1 a x0=- - 2ab1- -a(x1+x2) 2a =- -a(x1+x2)- -1 2a = . ax21, 即即ax2- -10, 2x1a(x1+x2)- -1 2a = = . x0 2aax1故故 x00 在在 0, 上恒成立上恒成立, 求實(shí)數(shù)求實(shí)數(shù) a 的取值范圍的取值范圍.解解: (1)令令 t=sinx, 則方程則方程 2sin2x

19、- -4asinx+1- -a=0 在在 0, 上有兩個(gè)上有兩個(gè) 不同的解等價(jià)于不同的解等價(jià)于:方程方程 2t2- -4at+1- -a=0 有一根為有一根為 0, 另一根不在另一根不在 (0, 1) 內(nèi)內(nèi); 或方程或方程 2t2- -4at+1- -a=0 在在 (0, 1) 內(nèi)有兩等根內(nèi)有兩等根; 或方程或方程 2t2- -4at+1- -a=0 有一解在有一解在 (0, 1) 內(nèi)內(nèi), 另一解在另一解在 0, 1 外外. 當(dāng)當(dāng) t=0 時(shí)時(shí), a=1, 方程方程 2t2- -4at+1- -a=0 的另一根為的另一根為 2 且且 2 (0, 1), a=1 適合題意適合題意; 方程方程 2

20、t2- -4at+1- -a=0 有兩等根時(shí)有兩等根時(shí), 由由 =16a2- -8(1- -a)=0 得得: a=- -1 或或 . 12a=- -1時(shí)時(shí), 方程方程 2t2- -4at+1- -a=0 的兩等根為的兩等根為- -1 但但 - - 1 (0, 1), a=- -1 不合題意不合題意, 舍去舍去; 12又又a=時(shí)時(shí), 方程方程 2t2- -4at+1- -a=0 的兩等根為的兩等根為 且且 (0, 1), 1212a= 適合題意適合題意; 12 設(shè)設(shè) f(t)=2t2- -4at+1- -a, 則方程則方程 2t2- -4at+1- -a=0有一解在有一解在(0, 1)內(nèi)內(nèi), 另一解在另一解在 0, 1 外等價(jià)于外等價(jià)于: f(0)f(1)0, 即即 (1- -a)(3- -5a)0. 解得解得 a1. 35綜上所述綜上所述, 實(shí)數(shù)實(shí)數(shù) a 的取值范圍是的取值范圍是 a= , 或或 0 在在 0, 上恒上恒成立等價(jià)于不等式成立等價(jià)于不等式 2t2- -4at+1- -a0 在在 0, 1 上恒成立上恒成立.等價(jià)于等價(jià)于 或或 或或a0 0a1 f(a)0 a1 f(1)0. 即即 或或 或或a0 0a1 2a2+a- -11 3- -5a0. 解得解得 a , 12此即為所求實(shí)數(shù)此即為所求實(shí)數(shù) a 的取值范圍的取值范圍.解法二解法二: 分離參數(shù)分離參數(shù): a