1、. 習題12-2 1. 求下列微分方程的通解: (1)xy¢-yln y=0; 解 分離變量得 , 兩邊積分得 , 即 ln(ln y)=ln x+ln C,故通解為y=eCx . (2)3x2+5x-5y¢=0; 解 分離變量得 5dy=(3x2+5x)dx, 兩邊積分得 , 即 , 故通解為, 其中為任意常數. (3); 解 分離變量得 , 兩邊積分得 即 arcsin y=arcsin x+C, 故通解為y=sin(arcsin x+C). (4)y¢-xy¢=a(y2+y¢); 解 方程變形為(1-x-a)y¢=ay2, 分離

2、變量得 , 兩邊積分得 , 即 , 故通解為, 其中C=aC1為任意常數. (5)sec2x tan ydx+sec2y tan xdy=0; 解 分離變量得 , 兩邊積分得 , 即 ln(tan y)=-ln(tan x)+ln C, 故通解為tan x tan y=C . (6); 解 分離變量得 10-ydy=10xdx, 兩邊積分得 , 即 , 或 10-y=10x+C,故通解為y=-lg(C-10x). (7)(ex+y-ex)dx+(ex+y+ey)dy=0; 解 方程變形為ey(ex+1)dy=ex(1-ey)dx, 分離變量得 , 兩邊積分得 ,即 -ln(e y)=ln(ex

3、+1)-lnC, 故通解為(ex+1)(ey-1)=C . (8)cos x sin ydx+sin x cos ydy=0; 解 分離變量得 , 兩邊積分得 ,即 ln(sin y)=-ln(sin x)+ln C, 故通解為sin x sin y=C . (9); 解 分離變量得 (y+1)2dy=-x3dx, 兩邊積分得 ,即 , 故通解為4(y+1)3+3x4=C (C=12C1). (10)ydx+(x2-4x)dy=0. 解 分離變量得 , 兩邊積分得 , 即 ln y4=ln x-ln(4-x)+ln C , 故通解為y4(4-x)=Cx . 4444 2. 求下列微分方程滿足所

4、給初始條件的特解: (1)y¢=e2x-y, y|x=0=0; 解 分離變量得 e ydy=e2xdx, 兩邊積分得 , 即 , 或 . 由y|x=0=0得, , 所以特解. (2)cos x sin ydy=cos y sin xdx, ; 解 分離變量得 tan y dy=tan x dx, 兩邊積分得 , 即 -ln(cos y)=-ln(cos x)-ln C, 或 cos y=C cos x . 由得, , 所以特解為. (3)y¢sin x=yln y, ; 解 分離變量得 , 兩邊積分得 , 即 , 或 . 由得, C=1, 所以特解為. (4)cos ydx

5、+(1+e-x)sin ydy=0, ; 解 分離變量得 , 兩邊積分得 , 即 ln|cos y|=ln(ex+1)+ln |C|, 或 cos y=C(ex+1). 由得, , 所以特解為. (5)xdy+2ydx=0, y|x=2=1. 解 分離變量得 , 兩邊積分得 ,即 ln y=-2ln x+ln C, 或 y=Cx-2. 由y|x=2=1得C×2-2=1, C=4, 所以特解為. 3. 有一盛滿了水的圓錐形漏漏斗, 高為10cm, 頂角為60°, 漏斗下面有面積為0. 5cm2的孔, 求水面高度變化的規律及流完所需的時間. 解 設t時該已流出的水的體積為V,

6、高度為x, 則由水力學有 , 即. 又因為, 故 , 從而 , 即 , 因此 . 又因為當t=0時, x=10, 所以, 故水從小孔流出的規律為 . 令x=0, 得水流完所需時間約為10s. 4. 質量為1g(克)的質點受外力作用作直線運動, 這外力和時間成正比, 和質點運動的速度成反比. 在t=10s時, 速度等于50cm/s, 外力為4g cm/s2, 問從運動開始經過了一分鐘后的速度是多少？ 解 已知, 并且法t=10s時, v=50cm/s, F=4g cm/s2, 故, 從而k=20, 因此. 又由牛頓定律, F=ma, 即, 故v dv=20tdt . 這就是速度與時間應滿足的微分

7、方程. 解之得 , 即. 由初始條件有, C=250. 因此 . 當t=60s時, . 5. 鐳的衰變有如下的規律: 鐳的衰變速度與它的現存量R成正比. 由經驗材料得知, 鐳經過1600年后, 只余原始量R0的一半. 試求鐳的量R與時間t的函數關系. 解 由題設知, , 即, 兩邊積分得 ln R=-lt+C1, 從而 . 因為當t=0時, R=R0, 故R0=Ce0=C, 即R=R0e-lt. 又由于當t=1600時, , 故, 從而. 因此 . 6. 一曲線通過點(2, 3), 它在兩坐標軸間的任一切線線段均被切點所平分, 求這曲線方程. 解 設切點為P(x, y), 則切線在x軸, y軸的截距分別為2x, 2y, 切線斜率為 , 故曲線滿足微分方程: , 即, 從而 ln y+ln x=ln C, xy=C . 因為曲線經過點(2, 3), 所以C=2´3=6, 曲線方程為xy=6. 7. 小船從河邊點O處出發駛向對岸(兩岸為平行直線). 設船速為a, 船行方向始終與河岸垂直, 又設河寬為h, 河中任一點處的水流速度與該點到兩岸距離的乘積成正比(比例系數為k). 求小船的航行路線. 解 建立坐標系如圖. 設t時刻船的位置