1、1 第七節第七節 泰勒公式和泰勒級數泰勒公式和泰勒級數一、泰勒公式一、泰勒公式二、泰勒級數二、泰勒級數三、小結三、小結2一、泰勒公式一、泰勒公式上節例題上節例題)11()1ln()1(11 xxnxnnnnnnxxaxf)()(00 存在冪級數在其收斂存在冪級數在其收斂域內以域內以f(x)為和函數為和函數問題問題: 1.如果能展開如果能展開, 是什么是什么?na2.展開式是否唯一展開式是否唯一?3.在什么條件下才能展開成冪級數在什么條件下才能展開成冪級數?3 泰勒中值定理：泰勒中值定理： 如果函數如果函數f(x)在含有點在含有點 的區的區間（間（a,b）內，有一階直到）內，有一階直到n+1階的

2、連續導數，則階的連續導數，則當當x取區間（取區間（a,b）內任何值時，）內任何值時，f(x)可以按可以按 的方冪展開為的方冪展開為200000()00()( )()()()()2!()()( )!nnnfxf xf xfxxxxxfxxxRxn (1)10( )( )()(1)!nnnfRxxxn 0 x0()xx 其中其中( 在在 與與 x之間之間) 0 x函數函數f(x)的泰勒公式的泰勒公式拉格朗日型余項拉格朗日型余項4特別的，當特別的，當 時，時，f(x)的泰勒公式就成為的泰勒公式就成為2( )(0)( )(0)(0)2!(0)( )!nnnff xffxxfxRxn (1)1( )(

3、)(1)!nnnfRxxn 00 x 其中其中(1)1()( )(1)!nnnfxRxxn 或令或令 ，則，則,01x麥克勞林麥克勞林公式公式5二、泰勒級數二、泰勒級數nnnxnf 0)(!)0(稱稱為為)(xf在在點點00 x的的麥麥克克勞勞林林級級數數. . 如果如果)(xf在點在點0 x處任意階可導處任意階可導, ,則冪級數則冪級數nnnxxnxf)(!)(000)( 稱為稱為)(xf在點在點0 x的的泰勒級數泰勒級數. .定義定義6一一、 將將下下列列函函數數展展開開成成x的的冪冪級級數數, ,并并求求展展開開式式成成立立的的區區間間: : 1 1、xa； 2 2、)1ln()1(xx

4、 ; ; 3 3、xarcsin； 4 4、3)1(1xx . .二二、 將將函函數數3)(xxf 展展開開成成)1( x的的冪冪級級數數, ,并并求求展展開開式式成成立立的的區區間間 . .三三、 將將 函函 數數231)(2 xxxf展展 開開 成成)4( x的的 冪冪 級級數數 . .四四、 將將級級數數 11211)!12(2)1(nnnnnx的的和和函函數數展展開開成成)1( x的的冪冪級級數數 . .練練 習習 題題7練習題答案練習題答案一、一、1 1、)(!)(ln0 xxnannn； 2 2、)11()1()1(111 xxnnxnnn； 3 3、)11()2()12() !()!2(21122 xxnnnxnn； 4 4、)1 , 1(112