1、精選優質文檔-傾情為你奉上第三章 三角函數在實際生活中的應用三角學的發展，由起源迄今差不多經歷了三四千年之久，在古代，由于古代天文學的需要，為了計算某些天體的運行行程問題，需要解一些球面三角形，在解球面三角形時，往往把解球面三角形的問題歸結成解平面三角形，這些問題的積累便形成了所謂古代球面三角學古代平面三角學；雖然古代球面三角學的發展早于古代平面三角學，但古代平面三角學卻是古代球面三角學的發展基礎。三角函數在數學中屬于初等函數里的超越函數的一類函數。它們本質上是任意角的集合與一個比值的集合的變量之間的映射。由于三角函數具有周期性，所以并不具有單射函數意義上的反函數。三角函數在復數中有重要的應用

2、，在物理學中也是常用的工具。由于三角函數的周期性，它并不具有單值函數意義上的反函數。三角函數在復數中有較為重要的應用。在物理學中，三角函數也是常用的工具。 在實際生活中，有許多周期現象可以用三角函數來模擬，如物理中簡諧振動、交流電中的電流、潮汐等，都可以建立三角函數的模型利用三角函數的性質解決有關問題；很多最值問題都可以轉化為三角函數來解決，如天氣預報、建筑設計、航海、測量、國防中都能找到神奇的三角函數的影子。因而三角函數解決實際問題應用極廣、滲透能力很強。停車場設計問題如圖ABCD是一塊邊長為100m的正方形地皮，其中ATPN是一半徑為90m的扇形小山，P是弧TN上一點，其余部分都是平地，現

3、一開發商想在平地上建造一個有邊落在上的長方形停車場，求長方形停車場面積的最大值和最小值。分析：矩形的面積顯然跟的位置有關，連，延長若直接設，則,在中， ，從而得， ）·x，雖然可以得出函數關系，但是求解面積的最值比較復雜。不妨以角為變量建立函數關系。解：如上添加輔助線，設，則,，設，則。代入化簡得故當時，；當時， (m2)通訊電纜鋪設問題 ACDB如圖，一條河寬km，兩岸各有一座城市的直線距離是4km，今需鋪設一條電纜連與，已知地下電纜的修建費是2萬元/km，水下電纜的修建費是4萬元/km，假定河岸是平行的直線（沒有彎曲），問應如何鋪設方可使總施工費用達到最少？分析：設電纜為時費用最

4、少，因為河寬為定值，為了表示的長，不妨設解：設，則, 總費用為=問題轉化為求的最小值及相應的值，而表示點與點斜率的2倍，有圖可得在單位圓周上運動，當直線與圓弧切于點時，u取到最小值。此時， ， 。 即水下電纜應從距B城（）km處向城鋪設，圖三因此此時總費用達最小值2+2（萬元）。注：本題在求u的最小值時，除了利用數結合的方法外，還可以利用三角函數的有界性等方法。探索與思考：1. 你能用其他方法解決上述兩個實際問題嗎？2. 通過兩個例子你能體會三角函數在生活中應用之大，從而體會學習數學的意義了嗎？食品包裝問題 某糖果廠為了拓寬其產品的銷售市場，決定對一種半徑為1的糖果的外層包裝進行設計。設計時要

5、求同時滿足如下條件：PABCO（1）外包裝要呈一封閉的圓錐形狀；（2）為減少包裝成本，要求所用材料最省；（3）為了方便攜帶，包裝后每個糖果的體積最小。問：這些條件能同時滿足嗎？如果能，如何設計這個圓錐的底面半徑和高？此時所用的外包裝用料是多少？體積是多少？若不能，請說明理由。分析：要求該圓錐的全面積和體積，需要知道它的下底面半徑AC、母線PA及高PC，這些變量之間的關系可以通過一個“角”把它們聯系起來。解：如圖，設，則，下底面半徑,母線長，高則 (+1)=; = 當且僅當,即時，能使和同時取到最小值，此時，即當圓錐的下底面半徑和高分別為、2時能同時滿足條件，外包裝用料是，體積是。營救區域規劃問

6、題如圖，在南北方向直線延伸的湖岸上有一港口A，一機艇以60km/h的速度從A出發，30分鐘后因故障而停在湖里，已知機艇出發后先按直線前進，以后又改成正東，但不知最初的方向和何時改變方向。如何去營救，用圖示表示營救的區域。分析：1.要表示出一個區域，一般可在直角坐標系中表示，所以應首先建立直角坐標系；2.題中涉及到方向問題，所以不妨用方向角作為變量來求解。解：以A為原點，過A的南北方向直線為y軸建立直角坐標系，如圖：設機艇的最初航向的方位角為，設OP方向前進m到達點P，然后向東前進n到達點Q發生故障而拋錨。則,令點Q的坐標為，則 機艇中途東拐，又 滿足不等式組和的點所在的區域，按對稱性知上圖陰影

7、區域所示。探索與思考：1.你能用其他方法解決上述兩個實際問題嗎？2.通過兩個例子你能體會三角函數在生活中應用之大，從而體會學習數學的意義了嗎？足球射門問題 GEPCFBAD在訓練課上，教練問左前鋒，若你得球后，沿平行于邊線的直線助攻到前場（如圖，設球門寬米，球門柱到的距離米），那么你推進到距底線多少米時，為射門的最佳位置？（即射門角最大時為射門的最佳位置）？請你幫助左前鋒回答上述問題。分析：本題中要求射門的最佳位置，題目中已對題意進行了明確，即只要當射門角最大時為最佳位置。所以設角后“求解角”的過程是本題的關鍵。若直接在非特殊中利用邊來求的最值，顯得比較繁瑣，注意到，而后兩者都在中，故可應用直

8、角三角形的性質求解。 解：如圖，設，, , =。若令，則=，當,即時，取到最小值，從而可知時，取得最大值，即時，有最大值。故當點距底線為米時，為射門的最佳位置。依圖像知，在白天的915時這個時間段可供沖浪愛好者進行沖浪運動。點評：本例一開始也可直接建立余弦函數模型。另外，模擬漢書中的少數點有誤差是允許的。最值問題三角函數的最值問題不僅與三角自身的所有基礎知識密切相關,而且與代數中的二次函數、一元二次方程、不等式及某些幾何知識的聯系也很密切。因此,三角函數的最值問題的求解,不僅需要用到三角函數的定義域、值域、單調性、圖象以及三角函數的恒等變形,還經常涉及到函數、不等式、方程以及幾何計算等眾多知識

9、。這類問題往往概念性較強,具有一定的綜合性和靈活性。 如圖， 其中 是一半徑為的扇形小山，其余部分都是平地。一開發商想在平地上建一個矩形停車場，使矩形的一個頂點在弧上，相鄰兩邊落在正方形的邊上，求矩形停車場面積的最大值和最小值。解：設, ,延長，易得， ，從而令 ，則，故當時，有最小值；當時，有最大值思維點拔引進變量建立面積函數后，問題轉化為求解三角函數的最值問題.一條河寬1km，兩岸各有一座城鎮和的直線距離是4km，僅需在間鋪設一條電纜。已知地下電纜的修建費是2萬元/km，水下電纜的修建費是2萬元/km。假設河的兩岸呈平行線狀，那么如何鋪設電纜方可使總是費用達到最少？A CDB 圖九 解：如

10、圖所示，設過點作對岸的垂線，垂足為,若從到的線路鋪設電纜，雖然最短，但陸上線路太長并不合算。設在之間取一點, 則,依題意知總施工費用y(萬元)的函數關系式為 令，則有 （1） 即先從鎮沿河岸鋪設地下電纜至距離鎮km,處的點,再從點向鎮鋪設水下電纜，可使得總施工費用最少，約為11.2萬元。把一段半徑為R的圓木，鋸成橫截面為矩形的木料，怎樣鋸法，才能使橫截面積最大？ABCDO分析：如圖所示： 設，則當且僅當時，即時，所以在圓木的橫截面上截取內接正方形時，才能使橫截面積最大。生活中的實際問題：在這里提供這樣一個生活中的問題，看看它們與三角函數的聯系。（讓學生探究解決）在一住宅小區里，有一塊空地，這塊

11、空地可能有這樣三種情況：（1）是半徑為10米的半圓；（2）是半徑為10米，圓心角為的扇形；（3）是半徑為10米，圓心角為的扇形；現要在這塊空地里種植一塊矩形的草皮，使得其一邊在半徑上，應如何設計，使得此草皮面積最大？并求出面積的最大值。分析1：第一種情況，如圖所示：連結，設，則， ADBFECO這時 此時，點A、D分別位于點O的左右方處時S取得最大值100。ADBFECO分析2：第二種情況，連結OC，設，則， 當且僅當時，即時，ADBECO分析3：如圖所示：連結設，則，當且僅當時，即時，學生發言完畢，老師總結，將每個同學的發言簡單整理；引導學生分析此題與引例中的題的聯系。試試身手：(看誰做得快

12、又準確) 下表是某地一年中10天測量的白晝時間統計表（時間近似到0.1小時）日期1月1日2月28日3月21日4月27日5月6日6月21日8月13日9月20日10月25日12月21日日期位置序號x15980117126172225263298355白晝時間y（小時）5.610.212.416.417.319.416.412.48.55.4（I）以日期在365天中的位置序號x為橫坐標，白晝時間y為縱坐標，在給定坐標系中畫出這些數據的散點圖； （）試選用一個形如的函數來近似描述一年中白晝時間y與日期位置序號x之間的函數關系.注：求出所選用的函數關系式；一年按365天計算 （）用（）中的函數模型估計該

13、地一年中大約有多少天白晝時間大于15.9小時. 解：（I）畫散點圖見下面.（）由散點圖知白晝時間與日期序號之間的函數關系近似為，由圖形知函數的最大值為19.4，最小值為5.4，即，由19.45.4=14，得A=7；由19.4+5.4=24.8，得t=12.4；又T=365，（） 該地大約有121天（或122天）白晝時間大于15.9小時.小結： 通過我們的研究，我們深深地體會到，身邊就有數學，數學就在身邊，在以后的學習過程中，只要我們勇于探索，有些同學可能會成為真正的發明家、創造者，我們現在的研究讓它作為一個奠基，通過我們的研究開拓思路，為將來成為一名數學家、發明家創造良好的條件?？傊?，設“角”求解的應用題