1、1-1 1-1 彈性力學研究內容彈性力學研究內容1-2 1-2 彈性力學基本假定彈性力學基本假定1-3 1-3 彈性力學幾個基本概念彈性力學幾個基本概念1-4 1-4 彈性力學問題的提法彈性力學問題的提法1-5 1-5 彈性力學參量的張量記法彈性力學參量的張量記法1-1 1-1 彈性力學研究內容彈性力學研究內容一一. . 研究內容研究內容材力材力: : （內容）桿件在外力或溫度作用下的應力、變形、材料（內容）桿件在外力或溫度作用下的應力、變形、材料 的宏觀力學性質、破壞準則等。的宏觀力學性質、破壞準則等。 結力結力: :（內容）桿件系統（桿系結構）在外力或溫度作用下（內容）桿件系統（桿系結構）

2、在外力或溫度作用下的應力、變形、位移等變化規律。的應力、變形、位移等變化規律。 （任務）解決桿系的強度、剛度、穩定性問題。（任務）解決桿系的強度、剛度、穩定性問題。 （任務）解決桿件的強度、剛度、穩定性問題。（任務）解決桿件的強度、剛度、穩定性問題。 彈力彈力: :（內容）彈性體在外力或溫度作用下的應力、變形、（內容）彈性體在外力或溫度作用下的應力、變形、位移等分布規律。位移等分布規律。 （任務）解決彈性體的強度、剛度、穩定性問題。（任務）解決彈性體的強度、剛度、穩定性問題。 二二. . 彈性力學與材力、結力課程的區別彈性力學與材力、結力課程的區別材力：材力：1. 1. 研究對象研究對象桿件（

3、直桿、小曲率桿）桿件（直桿、小曲率桿）結力：結力：桿件系統（或結構）桿件系統（或結構）彈力：彈力：一般彈性實體結構：一般彈性實體結構：三維彈性固體、板狀結構、桿件等三維彈性固體、板狀結構、桿件等2. 2. 研究方法研究方法材力：材力：借助于直觀和實驗現象作一些假定，如平面假借助于直觀和實驗現象作一些假定，如平面假設等，然后由靜力學、幾何關系、物理方程三設等，然后由靜力學、幾何關系、物理方程三方面進行分析。方面進行分析。結力：結力：與材力類同。與材力類同。彈力：彈力：僅由靜力平衡、幾何方程、物理方程三方面分僅由靜力平衡、幾何方程、物理方程三方面分析，放棄了材力中的大部分假定。析，放棄了材力中的大

4、部分假定。如：梁的彎曲問題如：梁的彎曲問題彈性力學結果彈性力學結果材料力學結果材料力學結果當當 l h 時，兩者誤差很小時，兩者誤差很小如：變截面桿受拉伸如：變截面桿受拉伸 彈性力學以微元體彈性力學以微元體為研究對象，建立方程為研究對象，建立方程求解，得到彈性體變形求解，得到彈性體變形的一般規律。所得結果的一般規律。所得結果更符合實際。更符合實際。3. 3. 數學理論基礎數學理論基礎材力材力結力結力 常微分方程（常微分方程（4 4階，一個變量）。階，一個變量）。彈力彈力 偏微分方程（高階，二、三個變量）。偏微分方程（高階，二、三個變量）。數值解法：能量法（變分法）、差分法、有數值解法：能量法（

5、變分法）、差分法、有限單元法等。限單元法等。三三. . 與其他力學課程的關系與其他力學課程的關系 彈性力學是塑性力學、斷裂力學、巖土力學、振動理論、彈性力學是塑性力學、斷裂力學、巖土力學、振動理論、有限單元法等課程的基礎。有限單元法等課程的基礎。1-2 1-2 彈性力學中的基本假定彈性力學中的基本假定d0ddlimdssss 整個物體的體積都被組成物體的介質充滿，不留下任何整個物體的體積都被組成物體的介質充滿，不留下任何空隙。空隙。 該假定在研究物體的宏觀力學特性時，與工程實際吻合該假定在研究物體的宏觀力學特性時，與工程實際吻合較好；研究物體的微觀力學性質時不適用。較好；研究物體的微觀力學性質

6、時不適用。作用：作用： 使得使得 、 、u 等量表示成坐標的連續函數。等量表示成坐標的連續函數。( , , )x y z( , , )uu x y z( , , )x y z并保證各量的極限，如并保證各量的極限，如存在。存在。如如二二. . 線彈性假定線彈性假定 假定物體完全服從胡克（假定物體完全服從胡克（Hooke）定律，應力與應變）定律，應力與應變間成線性比例關系（正負號變化也相同）。間成線性比例關系（正負號變化也相同）。比例常數比例常數 彈性常數（彈性常數（E、）脆性材料脆性材料 一直到破壞前，都可近似為線彈性的；一直到破壞前，都可近似為線彈性的；塑性材料塑性材料 比例階段，可視為線彈性

7、的。比例階段，可視為線彈性的。三三. . 均勻性假定均勻性假定作用：作用： 可使求解方程線性化可使求解方程線性化 假定整個物體是由同一種材料組成假定整個物體是由同一種材料組成 的，各部分材料性的，各部分材料性質相同。質相同。作用：作用：彈性常數（彈性常數（E、 ）不隨位置坐標而變化；不隨位置坐標而變化；取微元體分析的結果可應用于整個物體。取微元體分析的結果可應用于整個物體。四四. . 各向同性假定各向同性假定 假定物體內一點的彈性性質在所有各個方向都相同。假定物體內一點的彈性性質在所有各個方向都相同。作用：作用：彈性常數（彈性常數（E、 ）不隨坐標方向而變化；不隨坐標方向而變化；金屬金屬 上述

8、假定符合較好；上述假定符合較好；木材、巖石木材、巖石 上述假定不符合，稱為各向異性材料；上述假定不符合，稱為各向異性材料；符合上述符合上述4個假定的物體，稱為理想彈性體。個假定的物體，稱為理想彈性體。五五. . 小變形假定小變形假定 假定位移和形變是微小的，即物體受力后物體內各點假定位移和形變是微小的，即物體受力后物體內各點位移遠遠小物體的原來的尺寸。位移遠遠小物體的原來的尺寸。1,1作用：作用：建立方程時，可略去高階微量；建立方程時，可略去高階微量；可用變形前的尺寸代替變形后的尺寸。可用變形前的尺寸代替變形后的尺寸。使求解的方程線性化。使求解的方程線性化。附：附： 工程力學問題的建模分析過程

9、工程力學問題的建模分析過程 工程力學問題建立力學模型的過程中，一般進行三方面簡化：結構簡化 如空間問題向平面問題的簡化，向軸對稱問題的簡化，實體結構向板、殼結構的簡化。受力簡化 如：根據圣維南原理，復雜力系簡化為等效力系等。材料簡化根據各向同性、連續、均勻等假設進行簡化。 在建立數學模型的過程中，通常要注意分清問題的性質進行簡化：線性化 對高階小量進行處理，能進行線性化的，進行線性化。 模型建立以后，對計算的結果進行分析整理，返回實際問題進行驗證，一般通過實驗驗證：直接實驗驗證 直接實驗比較簡單時可以直接進行，但有時十分困難。相似模型實驗 相似實驗的模型一般應與實際問題的邊界條件和形態是幾何相

10、似的。1-3 1-3 彈性力學中的幾個基本概念彈性力學中的幾個基本概念一一. . 外力外力體力、面力（材力：集中力、分布力。）1. 1. 體力體力VbF 彈性體內單位體積上所受的外力。彈性體內單位體積上所受的外力。bb0limVFFV 體力分布集度體力分布集度（矢量）（矢量）xyzOijkbxFbyFbzFbbbbxyzFF iF jF kFbx、Fby、Fbz為體力矢量在坐標軸上的為體力矢量在坐標軸上的投影，稱為體力分量。投影，稱為體力分量。單位：單位： N/m3kN/m3說明：說明：(1)(1) 是坐標的連續分布函數是坐標的連續分布函數(2)(2) 的形式是任意的的形式是任意的( (如重力

11、、磁場力、慣性力等如重力、磁場力、慣性力等) )(3)(3) Fbx、Fby、Fbz 的正負號由坐標方向確定的正負號由坐標方向確定bFbF2. 2. 面力面力 作用于物體表面單位面積上的外力作用于物體表面單位面積上的外力Sps0limSppS 面力分布集度（矢量）面力分布集度（矢量）xyzOijkxpypzpsxyzpp ip jp kpx 、 py、 pz 為面力矢量在坐標軸上的投為面力矢量在坐標軸上的投影，稱為面力分量。影，稱為面力分量。單位：單位：1N/m2 =1Pa ( (帕帕) )1MN/m2 = 106Pa = 1MPa ( (兆帕兆帕) )說明：說明：(1)(1) ps 是坐標的

12、連續分布函數；是坐標的連續分布函數；(2)(2) ps 的加載方式是任意的；的加載方式是任意的；(3) (3) 的正負號由坐標方向確定。的正負號由坐標方向確定。xpypzp二二. . 應力應力1. 1. 一點應力的概念一點應力的概念內力內力(1) 物體內部分子或原子間的相互作用力物體內部分子或原子間的相互作用力;(2) 由于外力作用引起的相互作用力由于外力作用引起的相互作用力.SCP0limCSNCppS(1) P點的內力面分布集度點的內力面分布集度(2) 應力矢量應力矢量:P點的點的應力應力的極限方向的極限方向p由外力引起的在由外力引起的在 P點的某一面上內力分布集度點的某一面上內力分布集度

13、應力分量應力分量N(法線法線)NN法向分量法向分量N 正應力正應力切向分量切向分量N 切應力切應力單位單位:與面力相同與面力相同MPa (兆帕)應力關于坐標連續分布應力關于坐標連續分布( , , )Nx y z( , , )Nx y zNppC2. 2. 一點的應力狀態一點的應力狀態 通過一點通過一點P 可作無窮多個截面，各個截面上應力狀況的可作無窮多個截面，各個截面上應力狀況的集合集合 稱為稱為一點的應力狀態一點的應力狀態x面的應力：面的應力：,xxyxz y面的應力：面的應力：,yyxyzz面的應力：面的應力：,zzxzy 根據空間的三維性，用三個特殊截面來代表。即通過一根據空間的三維性，

14、用三個特殊截面來代表。即通過一點點P 可作三個相互垂直的截面，該三個截面上應力狀況的集可作三個相互垂直的截面，該三個截面上應力狀況的集合就完整地代表了合就完整地代表了P點的應力狀態點的應力狀態1）P 點的位置點的位置 P(x，y，z)2）C 截面的方位截面的方位 N(l1，l2，l3)3） 的數值大小的數值大小P點全應力的完整意義：點全應力的完整意義：共九個分量共九個分量用矩陣表示：用矩陣表示：xxyxzyxyyzzxzyz 其中，只有其中，只有6個量獨立。個量獨立。xyxyyxyzzy切應力互等定理應力符號的意義：應力符號的意義：zxxz第第1個下標個下標 x ，表示表示 所在面的法線方向；

15、所在面的法線方向；第第2個下標個下標 y ，表示表示 的方向的方向.應力正負號的規定：應力正負號的規定：正應力正應力 拉為正，壓為負。拉為正，壓為負。切應力切應力 坐標正面上，與坐標正向一致時為正；坐標正面上，與坐標正向一致時為正；坐標負面上，與坐標正向相反時為正。坐標負面上，與坐標正向相反時為正。xyzOxyxxzyxyyzzzyzxyxyyzzzyzx用微元體表示：用微元體表示：與材力中切應力與材力中切應力 正負正負號規定的區別：號規定的區別：xyxyxyxyxyyxxy規定使得單元體順時轉的規定使得單元體順時轉的剪應力剪應力 為正，反之為負。為正，反之為負。xyyx 在用應力莫爾圓時必須

16、用此規定在用應力莫爾圓時必須用此規定求解問題求解問題xyzOxyxxzyxyyzzzyzxyxyyzzzyzxxyzOP線應變：線應變：rdsrdsd0ddlimdrssss稱為稱為 P 點沿點沿 r 方向上的方向上的線應變線應變角應變：角應變：srsrrsrsrs稱為稱為 P 點在點在 rs 方向上的方向上的角應變角應變三三. . 變形變形1. 1. 一點變形的度量一點變形的度量工程應變的定義工程應變的定義變形變形 物體的形狀改變物體的形狀改變線元長度的改變線元長度的改變兩線元間夾角的改變兩線元間夾角的改變應變的正負：應變的正負：線應變：線應變： 伸長時為正，縮短時為負伸長時為正，縮短時為負

17、角應變：角應變： 夾角變小時為正，變大時為負夾角變小時為正，變大時為負 過過 P 點所有方向上的線應變和角應變的集合稱為點所有方向上的線應變和角應變的集合稱為P點的應點的應變狀態變狀態過過 P 點可有無窮多個方向的線元點可有無窮多個方向的線元2. 2. 一點的應變狀態的描述一點的應變狀態的描述 根據空間的三維性，用三個特殊方向根據空間的三維性，用三個特殊方向來代表。來代表。xyzOPrstdzdxdy 即通過一點即通過一點P 可作三個相互垂直可作三個相互垂直的線元。的線元。 該三線元長度改變（線應變）和該三線元長度改變（線應變）和線元間夾角改變（角應變）的集合就完整線元間夾角改變（角應變）的集

18、合就完整地代表了地代表了P點的應變狀態點的應變狀態 根據應變定義根據應變定義三個線應變：三個線應變：rxsytz三個角應變：三個角應變：rsxystyztrzx共六個分量。即該六個分量可完整描述共六個分量。即該六個分量可完整描述P點的應變狀態。點的應變狀態。相互垂直線元的線應變和角應變也稱為相互垂直線元的線應變和角應變也稱為工程正應變工程正應變和和工程切應變工程切應變寫成矩陣形式寫成矩陣形式112211221122xxyxzyxyyzzxzyz其中其中zxxzxyyxyzzy應變無量綱；應變無量綱；四四. . 位移位移 注：注：一點的位移一點的位移 矢量矢量應變分量均為位置坐標的函數，即應變分

19、量均為位置坐標的函數，即( , , ),xxx y z( , , ) ,xyxyx y zxyzOwuvPP位移分量：位移分量：u x方向的位移分量；方向的位移分量；v y方向的位移分量；方向的位移分量；w z方向的位移分量。方向的位移分量。量綱：量綱：m 或 mmSS已知外力、物體的形狀和大?。ㄟ吔纾?、材料特性已知外力、物體的形狀和大?。ㄟ吔纾?、材料特性（E、 ）、約束條件等，求解應力、應變、位移分量。）、約束條件等，求解應力、應變、位移分量。為了建立數學模型需研究三個方面的關系：為了建立數學模型需研究三個方面的關系：（1）靜力學關系靜力學關系： 應力與外力應力與外力(體力、面力體力、面力)

20、間的關系；間的關系；（2）幾何學關系幾何學關系：形變與位移間的關系；形變與位移間的關系；（3）物理學關系物理學關系： 形變與應力間的關系形變與應力間的關系(本構關本構關系系) 。1-4 1-4 彈性力學問題的提法彈性力學問題的提法綜合三個方面的關系建立綜合三個方面的關系建立數學模型數學模型數學模型的求解數學模型的求解力學模型力學模型 l前幾節中給出的力分量、應力分量、應變分量和位移分量，前幾節中給出的力分量、應力分量、應變分量和位移分量，其表示方法引用的是記號法；其表示方法引用的是記號法；1-5 1-5 彈性力學參量的張量記法彈性力學參量的張量記法l上世紀二十年代起，數學理論中的張量記法（指標

21、表示法）上世紀二十年代起，數學理論中的張量記法（指標表示法）開始出現在力學文獻及教科書中。開始出現在力學文獻及教科書中。 這是一種公認的彈性力學參量表示方法。這是一種公認的彈性力學參量表示方法。l張量記法書寫簡潔，便于力學問題的理論推導。張量記法書寫簡潔，便于力學問題的理論推導。一一. . 指標符號指標符號位移分量位移分量u、v 、w可可表示為表示為u1 、u2、u3，縮寫為縮寫為ui（i =1, 2, 3）坐標坐標x、y、z可可表示為表示為x1、 x2、 x3 ，縮寫為，縮寫為xi（i =1, 2, 3）單位矢量單位矢量 可可表示為表示為 ，縮寫為，縮寫為 （i =1, 2, 3）ijk、

22、、ie 在在Descartes坐標系下具有相同性質的一組物理量，可坐標系下具有相同性質的一組物理量，可用一帶下標的字母表示。如用一帶下標的字母表示。如應力分量：應力分量：xxxyxzyxyyyzzxzyzz可表示為：可表示為：111213212223313233123eee、 、縮寫為縮寫為(1, 2,31, 2,3)ijij2221,yyyyxyx其中，如其中，如同理，應變分量可縮寫為：同理，應變分量可縮寫為：(1, 2,31, 2,3)ijij向量向量 表示為表示為a31 12 23 31i iiaa ea ea ea e三階線性方程組三階線性方程組11121312122232313233

23、3a xa ya zPa xa ya zPa xa ya zP可表示為可表示為1 12233(1,2,3)iiiia xa xa xPi31(1,2,3)ijjija xPi縮寫為縮寫為111213212223313233112211221122xxyxzxxxyxzijyxyyyzyxyyzzxzyzzzxzyz二二. . 愛因斯坦求和約定愛因斯坦求和約定在如前述表達式的某項中，某指標重復出現一次，則在如前述表達式的某項中，某指標重復出現一次，則表示要把該項在該指標的取值范圍內遍歷表示要把該項在該指標的取值范圍內遍歷求和求和，重復指標，重復指標稱為稱為啞指標（簡稱（簡稱啞標）；）；(1,2,

24、3)i iiaa e例：例：(1,2,3;1,2,3)ijjiija xP求和指標求和指標j-求和指標求和指標i-自由指標自由指標11 1122133121 1222233231 13223333a xa xa xPa xa xa xPa xa xa xP1 12 23 3aa ea ea e非重復指標表示要把該項在該指標的取值范圍內遍歷非重復指標表示要把該項在該指標的取值范圍內遍歷列出列出，非重復指標出稱為，非重復指標出稱為自由指標（簡稱（簡稱自由標）。）。1 12233iiiia xa xa xPj求和i歷列說明：說明：l（1）對于重復次數大于）對于重復次數大于1的指標，求和約定無效。的指標，求和約定無效。例：例：l（2）啞標的有效范圍僅限于本項。）啞標的有效范圍僅限于本項。l（3）多重求和可采