1、可分離變量微分方程 例解原方程即對上式兩邊積分，得原方程的通解 例解對上式兩邊積分，得原方程的通解經初等運算可得到原方程的通解為原方程的解為 例解兩邊同時積分，得故所求通解為 因為只求通解，所以不必再討論了。 例解原方程即兩邊積分，得故通解為曲線族的包絡。 工程技術中解決某些問題時，需要用到方程的奇解。成正比,求解: 根據牛頓第二定律列方程初始條件為對方程分離變量,然后積分 :得利用初始條件, 得代入上式后化簡, 得特解并設降落傘離開跳傘塔時( t = 0 ) 速度為0,設降落傘從跳傘塔下落后所受空氣阻力與速度 降落傘下落速度與時間的函數關系. t 足夠大時 例二、齊次方程xyfxydd齊次方

2、程 d)(dxxuufu變量分離方程 uxy 代入原方程，得注意：須將u代回. 例解于是，原方程化為兩邊積分，得即uxuxxyddddxxxxsincoscottan1例7解是齊次方程,分分離離變變量量得得 xxuuudd112 , , 例8解ox可得 OMA = OAM = 例例 在制造探照燈反射鏡面時,解: 設光源在坐標原點,則反射鏡面由曲線 繞 x 軸旋轉而成 .過曲線上任意點 M (x, y) 作切線 M T,由光的反射定律:入射角 = 反射角TMP取x 軸平行于光線反射方向,從而 AO = OM要求點光源的光線反 射出去有良好的方向性 , 試求反射鏡面的形狀. 而 AO 于是得微分方

3、程 : 利用曲線的對稱性, 不妨設 y 0,積分得故有得 (拋物線)故反射鏡面為旋轉拋物面.于是方程化為(齊次方程) 頂到底的距離為 h ,說明說明:則將這時旋轉曲面方程為若已知反射鏡面的底面直徑為 d ,代入通解表達式得)0,(2Cox三、可化為齊次方程的方程XYXYdd齊次方程222111ddcybxacybxafxy可化為齊次方程的方程0111cybxa0222cybxa ，yx ，令令yYxX d)(dXXZZfZ變量分離方程 ZXY 三、可化為齊次方程的方程XYXYdd齊次方程222111ddcybxacybxafxy可化為齊次方程的方程 d)(dXXZZfZ變量分離方程 例解于是，

4、原方程變為聯立方程組0823 vu0732 vu解之，得兩邊積分，得即你由這個例題的解題過程想到什么了？222111ddcybxacybxafxy可化為齊次方程的方程 021時時， ccxyxybaxybafybxaybxafxy22112211dd 2121時時，kbbaa21222122)()(ddcuckufcybxacybxakfxy )()(ddygxfxy變量可分離方程 xyfxydd齊次方程222111ddcybxacybxafxy可化為齊次方程的方程0)(ddyxpxy一階齊線性方程)()(ddxqyxpxy一階非齊線性方程nyxqyxpxy)()(dd伯努利方程四、一階線性微

5、分方程形如的方程稱為一階線性微分方程。方程稱為一階齊線性方程。方程稱為一階非齊線性方程。 0)( 時，時，當當xq習慣上，稱為方程所對應的齊方程。一階齊線性方程的解運用分離變量法，得兩邊積分，得故 0 對應于對應于y 0。C表示一個原函數0)(yxpy的解存在，且唯一，其通解為 例解故該一階齊線性方程的通解為 例解先求此一階齊線性方程的通解：故該初值問題的解為 )()(ddygxfxy變量可分離方程 xyfxydd齊次方程222111ddcybxacybxafxy可化為齊次方程的方程0)(ddyxpxy一階齊線性方程)()(ddxqyxpxy一階非齊線性方程nyxqyxpxy)()(dd伯努利

6、方程一階非齊線性方程的解比較兩個方程：我想：它們的解的形式應該差不多。但差了一點 什么東西呢？)()(xqyxpy怎么辦？故即上式兩邊積分，求出待定函數 以上的推導過程稱為“常數變易法”。這種方法經常用來由齊次問題推出相應的非齊次問題、由線性問題推出相應的非線性問題。齊次方程通解非齊次方程特解即0)(yxpy) d)( (d)(d)(Cxexqeyxxpxxp)()(xqyxpy 例解所以，方程的通解為 例解不是線性方程原方程可以改寫為這是一個以 y 為自變量的一階非齊線性方程，其中故原方程的通解為解例10通解為 解例12兩邊求導，得 通解為于是.e1615e161e41)(3xxxxxf )

7、()(ddygxfxy變量可分離方程 xyfxydd齊次方程222111ddcybxacybxafxy可化為齊次方程的方程0)(ddyxpxy一階齊線性方程)()(ddxqyxpxy一階非齊線性方程nyxqyxpxy)()(dd伯努利方程五、伯努利方程形如的方程稱為伯努利方程。代入伯努利方程后，可將其化為一階線性微分方程于是，原方程的通解為ny1 例解故從而，原方程的通解為 0原原方方程程的的奇奇解解。為為易易驗驗證證： y )()(ddygxfxy變量可分離方程 xyfxydd齊次方程222111ddcybxacybxafxy可化為齊次方程的方程0)(ddyxpxy一階齊線性方程)()(ddxqyxpxy一階非齊線性方程nyxqyxpxy)()(dd伯努利方程 )()(ddyg