1、物理實驗課的根本程序物理實驗的每一個課題的完成，一般分為預習、課堂操作和完成實驗報告三個階段。§ 實驗前的預習為了在規定時間內，高質量地完成實驗任務，學生一定要作好實驗前的預習。實驗課前認真閱讀教材，在弄清本次實驗的原理、儀器性能及測試方法和步驟的根底上，在實 驗報告紙上寫出實驗預習報告。預習報告包括以下欄目：實驗名稱寫出本次實驗的名稱。實驗目的應簡單明確地寫明本次實驗的目的要求。實驗原理扼要地表達實驗原理，寫出主要公式及符號的意義，畫上主要的示意圖、電路圖或光路圖。假設講義與實際所用不符，應以實際采用的原理圖為準。實驗區簡明扼要地寫出實驗內容、操作步驟。為了使測量數據清晰明了，防止

2、遺漏，應根據實驗的要求，用一張A4白紙預先設計好數據表格，便于測量時直接填入測量的原始數據。注意要正確地表示出有效數字和單位。§ 課堂操作進入實驗室，首先要了解實驗規那么及考前須知，其次就是熟悉儀器和安裝調整儀器例如，千分尺調零、天平調水平和平衡、光路調同軸等高等。準備就緒后開始測量。測量的原始數據一定不要加工、修改應忠實地、整齊地記錄在預 先設計好的實驗數據表格里，數據的有效位數應由儀器的精度或分度值加以確定。數據之間要留有 間隙，以便補充。發現是錯誤的數據用鉛筆劃掉，不要毀掉，因為常常在核對以后發現它并沒有錯， 不要忘記記錄有關的實驗環境條件如環境溫度、濕度等，儀器的精度，規格及

3、測量量的單位。實驗原始數據的優劣，決定著實驗的成敗，讀數時務必要認真仔細。運算的錯誤可以修改，原始數據 那么不能擅自改動。 全部數據必須經老師檢查、簽名，否那么本次實驗無效。兩人同作一個實驗時，要既分工又協作，以便共同完成實驗。實驗完畢后，應切斷電源，整理好儀器，并將桌面收拾整潔方 能離開實驗室。§3實驗報告實驗報告是實驗工作的總結。要用簡明的形式將實驗報告完整而又準確地表達出來。實驗報告 要求文字通順，字跡端正，圖表規矩，結果正確，討論認真。應養成實驗完后盡早寫出實驗報告的 習慣，因為這樣做可以收到事半功倍的效果。完整的實驗報告應包括下述幾局部內容：數據表格 在實驗報告紙上設計好合

4、理的表格，將原始數據整理后填入表格之中有老師簽名的原始數據記錄紙要附在本次報告一起交。數據處理 根據測量數據，可采用列表和作圖法用坐標紙，對所得的數據進行分析。按照實驗要求計算待測的量值、絕對誤差及相對誤差。書寫在報告上的計算過程應是：公式t代入數據 t結果，中間計算可以不寫，絕對不能寫成：公式t結果，或只寫結果。而對誤差的計算應是：先 列出各單項誤差，按如下步驟書寫，公式t代入數據T用百分數書寫的結果。結果表達按下面格式寫出最后結果：N 待測量N.測量結果N 總絕對誤差Er相對誤差 100%N結果分析 對本次實驗的結果及主要誤差因數作簡要的分析討論，并完成課后的思考題。還 可以談談實驗的心得

5、體會。如果實驗是為了觀察某一物理現象或者觀察某一物理規律，可只扼要地 寫出實驗結論。以上是對報告的般性要求。不同的實驗，可以根據具體情況有所側重和取舍，不必千篇一律。誤差處理物理實驗的任務，不僅僅是定性地觀察物理現象，也需要對物理量進行定量測量，并找出各物 理量之間的內在聯系。由于測量原理的局限性或近似性、測量方法的不完善、測量儀器的精度限制、測量環境的不理 想以及測量者的實驗技能等諸多因素的影響，所有測量都只能做到相對準確。隨著科學技術的不斷 開展，人們的實驗知識、手段、經驗和技巧不斷提高，測量誤差被控制得越來越小，但是絕對不可 能使誤差降為零。因此，作為一個測量結果，不僅應該給出被測對象的

6、量值和單位，而且還必須對 量值的可靠性做出評價，一個沒有誤差評定的測量結果是沒有價值的。下面介紹測量與誤差、誤差處理、有效數字、測量結果的不確定度評定等根本知識，這些知識 不僅在后面的實驗中要經常用到，而且也是今后從事科學實驗工作所必須了解和掌握的。§1測量與誤差一、測量及其分類所謂測量，就是借助一定的實驗器具，通過一定的實驗方法，直接或間接地把待測量與選作計 量單位的同類物理量進行比擬的全部操作。簡而言之，測量是指為確定被測對象的量值而進行的一 組操作。按照測量值獲得方法的不同，測量分為直接測量和間接測量兩種。直接從儀器或量具上讀出待測量的大小，稱為直接測量。例如，用米尺測物體的長

7、度，用秒表測時間間隔，用天平測物體的質量等都是直接測量，相應的被測物理量稱為直接測量量。如果待測量的量值是由假設干個直接測量量經過一定的函數運算后才獲得的，那么稱為間接測量。4m例如，先直接測出鐵圓柱體的質量m、直徑D和高度h，再根據公式計算出鐵的的密度D2hP,這就是間接測量，P稱為間接測量量。按照測量條件的不同，測量又可分為等精度測量和不等精度測量。在相同的測量條件下進行的一系列測量是等精度測量。例如，同一個人，使用同一儀器，采用同樣的方法，對同一待測量連續進行屢次測量，此時應該認為每次測量的可靠程度相同，故稱之為 等精度測量，這樣的一組測量值稱為一個測量列。在不同測量條件下進行的一系列測

8、量，例如不同的人員，使用不同的儀器，采用不同的方法進 行測量，那么各次測量結果的可靠程度自然也不相同，這樣的測量稱為不等精度測量。處理不等精度 測量的結果時，需要根據每個測量值的“權重，進行“加權平均，因此在一般物理實驗中很少采用。等精度測量的誤差分析和數據處理比擬容易，下面所介紹的誤差和數據處理知識都是針對等精 度測量的。誤差與偏差1. 真值與誤差任何一個物理量，在一定的條件下，都具有確定的量值，這是客觀存在的，這個客觀存在的量 值稱為該物理量的真值。測量的目的就是要力圖得到被測量的真值。我們把測量值與真值之差稱為 測量的絕對誤差。設被測量的真值為 X 0,測量值為X，那么絕對誤差£

9、;為£ = X -X 0 1由于誤差不可防止，故真值往往是得不到的。所以絕對誤差的的概念只有理論上的價值。2 .最正確值與偏差在實際測量中，為了減小誤差，常常對某一物理量 X進行屢次等精度測量，得到一系列測量值 X, x2,，xn，那么測量結果的算術平均值為算術平均值并非真值， 但它比任一次測量值的可靠性都要高。 值可作為最正確值，稱為近真值。我們把測量值與算術平均值之差稱為2系統誤差忽略不計時的算術平均 偏差或殘差：vii 3三、誤差的分類正常測量的誤差，按其產生的原因和性質可分為系統誤差和隨機誤差兩類，它們對測量結果 的影響不同，對這兩類誤差處理的方法也不同。在同樣條件下，對同一

10、物理量進行屢次測量，其誤差的大小和符號保持不變或隨著測量條件的 變化而有規律地變化，這類誤差稱為系統誤差。系統誤差的特征是具有確定性，它的來源主要有以 下幾個方面：儀器因素由于儀器本身的固有缺陷或沒有按規定條件調整到位而引起誤差。例如，儀器標尺的刻度不準確，零點沒有調準，等臂天平的臂長不等，砝碼不準，測量顯微鏡精密螺桿存在回程 差，或儀器沒有放水平，偏心、定向不準等。理論或條件因素由于測量所依據的理論本身的近似性或實驗條件不能到達理論公式所規定的要求而引起誤差。例如，稱物體質量時沒有考慮空氣浮力的影響，用單擺測量重力加速度時要求 擺角 t 0,而實際中難以滿足該條件。人員因素由于測量人員的主觀

11、因素和操作技術而引起誤差。例如，使用停表計時，有的人總是操之過急，計時比真值短；有的人那么反響緩慢，計時總是比真值長；再如，有的人對準目標時， 總愛偏左或偏右，致使讀數偏大或偏小。對于實驗者來說，系統誤差的規律及其產生原因，可能知道，也可能不知道。已被確切掌握其 大小和符號的系統誤差稱為可定系統誤差；對于大小和符號不能確切掌握的系統誤差稱為未定系統 誤差。前者一般可以在測量過程中采取措施予以消除，或在測量結果中進行修正。而后者一般難以 做出修正，只能估計其取值范圍。2. 隨機誤差在相同條件下，屢次測量同一物理量時，即使已經精心排除了系統誤差的影響，也會發現每次 測量結果都不一樣。測量誤差時大時

12、小，時正時負，完全是隨機的。在測量次數少時，顯得毫無規 律，但是當測量次數足夠多時，可以發現誤差的大小以及正負都服從某種統計規律。這種誤差稱為 隨機誤差。隨機誤差的特征是它的不確定性，它是由測量過程中一些隨機的或不確定的因素引起的。例如，人的感受視覺、聽覺、觸覺靈敏度和儀器穩定性有限，實驗環境中的溫度、濕度、氣流 變化，電源電壓起伏，微小振動以及雜散電磁場等都會導致隨機誤差。除系統誤差和隨機誤差外，還有過失誤差。過失誤差是由于實驗者操作不當或粗心大意造成的，例如看錯刻度、讀錯數字、記錯單位或計算錯誤等。過失誤差又稱粗大誤差。含有過失誤差的測量 結果稱為“壞值，被判定為壞值的測量結果應剔除不用。

13、實驗中的過失誤差不屬于正常測量的范疇，應該嚴格防止。3. 精密度、正確度和準確度評價測量結果，常用到精密度、正確度和準確度這三個概念。這三者的含義不同，使用時應注 意加以區別。精密度反映隨機誤差大小的程度。它是對測量結果的重復性的評價。精密度高是指測量的重復 性好，各次測量值的分布密集，隨機誤差小。但是，精密度不能確定系統誤差的大小。正確度反映系統誤差大小的程度。正確度高是指測量數據的算術平均值偏離真值較少，測量的 系統誤差小。但是，正確度不能確定數據分散的情況，即不能反映隨機誤差的大小。準確度反映系統誤差與隨機誤差綜合大小的程度。準確度高是指測量結果既精密又正確，即隨 機誤差與系統誤差均小。

14、現以射擊打靶的彈著點分布為例，形象地說明以上三個術語的意義。如圖1所示，其中圖a表示精密度高而正確度低，圖 b表示正確度高而精密度低，圖c表示精密度和正確度均低，即準確度低，圖d表示精密度和正確度均高，即準確度高。通常所說的“精度含義不明確，應 盡量防止使用。精密度高，正確度低正確度高，精密度低精密度和正確度均低精密度和正確度均高圖1精密度、正確度和準確度示意圖§ 誤差處理一、處理系統誤差的一般知識1 發現系統誤差的方法系統誤差一般難于發現，并且不能通過屢次測量來消除。人們通過長期實踐和理論研究，總結 出一些發現系統誤差的方法，常用的有：理論分析法 包括分析實驗所依據的理論和實驗方法

15、是否有不完善的地方；檢查理論公式所要 求的條件是否得到了滿足；量具和儀器是否存在缺陷；實驗環境能否使儀器正常工作以及實驗人員 的心理和技術素質是否存在造成系統誤差的因素等。實驗比對法 對同一待測量可以采用不同的實驗方法，使用不同的實驗儀器，以及由不同的測 量人員進行測量。比照、研究測量值變化的情況，可以發現系統誤差的存在。數據分析法因為隨機誤差是遵從統計分布規律的，所以假設測量結果不服從統計規律，那么說明存在系統誤差。我們可以按照規律測量列的先后次序，把偏差殘差列表或作圖，觀察其數 值變化的規律。比方前后偏差的大小是遞增或遞減的；偏差的數值和符號有規律地交替變化；在某 些測量條件下，偏差均為正

16、號或負號，條件變化以后偏差又都變化為負號或正號等情況，都可以判斷存在系統誤差。2.系統誤差的減小與消除知道了系統誤差的來源，也就為減小和消除系統誤差提供了依據。1減小與消除產生系統誤差的根源對實驗可能產生誤差的因素盡可能予以處理。比方采用更符合實際的理論公式，保證儀器裝置 良好，滿足儀器規定的使用條件等等。2利用實驗技巧，改進測量方法對于定值系統誤差的消除，可以采用如下一些技巧和方法。交換法 根據誤差產生的原因，在一次測量之后，把某些測量條件交換一下再次測量。例如， 用天平稱質量時，把被測物和砝碼交換位置進行兩次測量。設mi和m2分別為兩次測得的質量，取物體的質量為 m . mi m2，就可以

17、消除由于天平不等臂而產生的系統誤差。替代法 在測量條件不變的情況下，先測得未知量，然后再用一標準量取代被測量，而不 引起指示值的改變，于是被測量就等于這個標準量。例如，用惠斯通電橋測電阻時，先接入被測電 阻，使電橋平衡，然后再用標準電阻替代被測量，使電橋仍然到達平衡，那么被測電阻值等于標準電 阻值。這樣可以消除橋臂電阻不準確而造成的系統誤差。異號法 改變測量中的某些條件，進行兩次測量，使兩次測量中的誤差符號相反，再取兩次測 量結果的平均值做為測量結果。例如，用霍耳元件測磁場實驗中，分別改變磁場和工作電流的方向， 依次為+B，+1、 +B，-I、-B，+1、-B，-I，在四種條件下測量電勢差Uh

18、，再取其平均值,可以減小或消除不等位電勢、溫差電勢等附加效應所產生的系統誤差。此外，用“等距對稱觀測法可消除按線性規律變化的變值系統誤差；用“半周期偶數測量法 可以消除按周期性變化的變值系統誤差等等，這里不再詳細介紹。在采取消除系統誤差的措施后，還應對其它的已定系統誤差進行分析，給出修正值，用修正公 式或修正曲線對測量結果進行修正。例如，千分尺的零點讀數就是一種修正值；標準電池的電動勢 隨溫度的變化可以給出修正公式；電表校準后可以給出校準曲線等等。對于無法忽略又無法消除或修正的未定系統誤差，可用估計誤差極限值的方法進行估算。 以上僅就系統誤差的發現及消除方法做了一般性介紹。在實際問題中，系統誤

19、差的處理是一件復雜而困難的工作，它不僅涉及許多知識，還需要有豐富的經驗，這需要在長期的實踐中不斷積累, 不斷提高。二、隨機誤差及其分布實驗中隨機誤差不可防止，也不可能消除。但是，可以根據隨機誤差的理論來估算其大小。為 了簡化起見，在下面討論隨機誤差的有關問題中，并假設系統誤差已經減小到可以忽略的程度。1 .標準誤差與標準偏差采用算術平均值作為測量結果可以削弱隨機誤差。但是，算術平均值只是真值的估計值，不能 反映各次測量值的分散程度。采用標準誤差來評價測量值的分散程度是既方便又可靠的。對物理量 X進行n次測量，其 標準誤差標準差定義為(x)l nIjm 仁(°)2在實際測量中，測量次數

20、 n總是有限的，而且真值也不可知。因此標準誤差只有理論上的價值。對標準誤差 (x)的實際處理只能進行估算。估算標準誤差的方法很多，最常用的是貝塞爾法，它用實驗標準偏差 S X近似代替標準誤差(x)。實驗標準差的表達式為S(x) |二 ° 化 2 5 n 1 i 1本書中我們都是用此式來計算直接測量量的實驗標準差，其含義將在下面討論。2.平均值的實驗標準差如上所述，在我們進行了有限次測量后，可得到算術平均值X。X也是一個隨機變量。在完全相同的條件下，屢次進行重復測量，每次得 到的算術平均值本身也具有離散性由誤差理論可以證明，算術平均值的實驗標準差為s(X)!1 1)(Xi x)2 6(

21、n 1) i i2所示，當n>10以后，隨測量次數10-20次，而在物理實驗教學由此式可以看出， 平均值的實驗標準差比任一次測量的實驗標準差 小。增加測量次數，可以減少平均值的實驗標準差，提高測量的準確度。但是，單純憑增加測量次數來提高準確度的作用是有限的。如圖n的增加，S(x)減小得很緩慢。所以，在科學研究中測量次數一般取 中一般取6-10次。3 .隨機誤差的正態分布規律隨機誤差的分布是服從統計規律的首先，我們用一組測量數據來形象地說明這一點。例如用數字毫秒計測量單擺周期，重復60次n=60，將測量結果統計如下表：時間區間/s出現次數 n頻數相對頻數0/%n時間區間/S出現次數 n頻數

22、相對頻數n/%n1215253591591558162723以時間T為橫坐標，相對頻數為縱坐標，用直方圖將測量結果表示如圖 3.如果再進行一組測n量如100次，做出相應的直方圖，仍可以得到與前述圖形不完全吻合但輪廓相似的圖形。隨著次數的增加，曲線的形狀根本不變，但對稱性越來越明顯，曲線也趨向光滑。當n時，上述曲線T的取變成光滑曲線。這表示測值T與頻數的對應關系呈連續變化的函數關系。顯然，頻數與或稱高斯分布規律。可以導出正態n值有關，連續分布時它們之間的關系可以表示為竺 f(T)dTn dn函數f T 稱為概率密度函數，ndT其含義是在測值 T附近、單位時間間隔內測值出現的概率。 當測量次數足夠

23、多時，其誤差分布將服從統計規律。時隨機誤差服從正態分布許多物理測量中，當 n 分布概率密度函數的表達式為：f( )-re7f()的物理含義是：在誤差值 f ( )d表示誤差出現在 范圍內是必然的，即概率為圖4是正態分布曲線。該曲線的橫坐標為誤差，縱坐標f()為誤差分布的概率密度函數。附近，單位誤差間隔內，誤差出現的概率。曲線下陰影面積元+ d 區間內的概率。按照概率理論，誤差 出現在區間，8就是標準差。在正態分布的情況下， 式7中 的物理意義是什么呢? 7可以看出，當=0時，1100%。所以，圖中曲線與橫軸所包圍的面積應恒等于1,即f( )d由概率理論可以證明 首先定性分析一下：從式f(0)1

24、，所以曲線峰值高，值大，f(0)就小，誤 5所示。因此，值越小，f (0)的值越大。由于曲線與橫坐標軸所包圍的面積恒等于圖4正態分布曲線兩側下降就較快。這說明測量值的離散性小，測量的精密度高。相反，如果 差分布的范圍就較大，測量的精密度低。這兩種情況的正態分布曲線如圖4 置信區間與置信概率我們還可以從另一個角度理解的物理意義。計算一下測量結果分布在- 之間的概率，可得R f( )d 0.683 68.3% 9這就是說，在所測的一組數據中平均有68.3%的數據測值誤差落在區間-,之間。同樣也可以認為在所測的一組數據中，任一個測值的誤差落在區間卜，內的概率為68.3%我們把P稱作置信概率，-,就是

25、68.3%的置信概率，所對應的 置信區間。顯然，擴大置信區間，置信概率就會提高。可以證明，如果置信區間分別為-2, 2和-3,3，那么相應的置信概率為1011k稱為包含因子，對于一個測量結果,只要給出置信P22 仁)d 95.5%3P33 f()d 99.7%般情況下，置信區間可用 -k, k 表示,區間和相應的置信概率就表達了測量結果的精密度。對應于-3，3 這個置信區間，其置信概率為99.7%，即在1000次的重復測量中，隨機誤差超出-3，3的平均只有3次。對于一般有限次測量來說，測量值超出這一區間的可能性非常小，因此常將3稱為極限誤差。根據誤差理論，當測量次數很少時例如，少于10次，測量

26、列的誤差分布將明顯偏離正態分布，這時測量值的隨機誤差將遵從t分布。這個分布是1908年由戈塞特首先提出來的，由于發表時使用了筆名“ Student 故也稱“學生分布 。t分布曲線與正態分布曲線類似，兩者的主要區別是t分布的峰值低于正態分布，而且上部較窄，下部較寬，如圖1-6。這樣，在有限次測量的情況下，就要將隨機誤差的估算值取大一些，包含因子k應轉換成tp, tp值與測量次數有關，也與置信概率P有關，表1給出了 tp與測量次數n、置信概率P的對應關系，供查用。由表1可見，當置信概率 P=68%時，tp因子隨測量次數增加而趨向于1。當n>6以后，tp與1的偏離并不大，故在進行誤差估算時，當

27、n >6時置信概率取 68.3%，包含因子可以不加修正。/、正態分布/J氐分布nr圖6 t分布與正態分布比擬三. 壞值的剔除在一列測量值中，有時會混有偏差很大的“可疑值。一方面，“可疑值可能是壞值，會影響測量結果，應將其剔除不用。另一方面，當一組正確測量值的分散性較大時，盡管概率很小，出現 個別偏差較大的數據也是可能的，即“可疑值也可能是正常值，如果人為地將它們剔除，也不合 理。因此要有一個合理的準那么，判定“可疑值是否為“壞值。下面介紹三種常用的準那么。1 .拉依達準那么如前所述，3可認為是極限誤差，它的估算值3S(x)也可以認為是極限偏差。按照拉依達準那么，將偏差大于 3S(x)的數

28、據視為壞值而將它剔除。剔除壞值時，首先應算 出測量列X1,X2,?,Xn的算術平均值x和任一次測量值的標準偏差S(x)，然后檢驗每一個測值的偏差，如果XjX >3 S(x),那么確定Xi為壞值予以剔除。對剔除后的測量列再重復進行上述步驟，直到無壞值為止。應該指出的是，拉依達準那么只有在測量次數n> 10時才能應用。因為根據S(x)的定義式5，當n<9時，恒有xi X 3S(x)，即拉依達準那么失效。2. 維涅準那么肖維涅準那么考慮了測量次數對偏差的影響。設重復測量的次數為n,任一次測量值的標準偏差為S(x),肖維涅準那么認為，如果測值xi(i=l , 2,，n)滿足xi x

29、C(n)S(x)，那么認為xi為壞值，予以剔除。式中C(n)稱為肖維涅系數，其值與測量次數n有關，下表給出了不同測量次數對應 的C(n)值。測量次數越多，C(n)越大；當n>ioo時，C(n)值接近于3,和拉依達準那么相當。但當n < 4時，準那么無效，所以表中的系數 n從5開始.表2肖維涅系數nC( n)nC( n)nC( n)51423615247162581730918401019P5011207512211001322200格拉布斯準那么比肖維涅準那么更為科學，它同時考慮了測量次數 n和置信概率P的影響。該準那么認為，如果Xjg(n，P)S(x)時，測量值Xj為壞值的置信概

30、率為 p。式中g值為格拉布斯系數，其值見表3。表3格拉布斯系數g(n,p)n345367891011121314京、151617181920242832364050必須指出，按以上準那么判別時,假設測量數據中存在兩個以上測值需要剔除，只能先剔除偏差最大的測值，然后重新計算平均值 X及標準偏差S(x)，再對余下的測值進行判斷，直至所有的測值均不 是壞值為止。由于大學物理實驗中大多數情況下重復測量次數小于9次，所以實驗課程中不使用拉依達準那么。格拉布斯準那么較為科學，但是涉及置信概率的考慮，較為復雜。我們一般可采用肖維涅準那么，必要時采用格拉布斯準那么判斷壞值四、儀器誤差1. 儀器的示值誤差限測量

31、儀器的誤差來源往往很多，逐項進行深入的分析處理是很困難的，在絕大多數情況下也沒 有必要。實際上，人們最關心的是儀器提供的測量結果與真值的一致程度，即測量結果中各儀器的 系統誤差與隨機誤差的綜合估計指標。在物理實驗中，常常把國家技術標準或檢定規程規定的計量 器具最大允許誤差或允許根本誤差經過適當的簡化稱為儀器誤差限儀器示值差限用 m來表示，它代表在正確使用儀器的條件下，儀器示值與被測量真值之間可能產生的最大誤差的絕對值.儀器的示值誤差限通常是由制造工廠或計量部門使用更精確的儀器、量具，經過檢定比擬 合格給出的，一般寫在儀器的標牌上或說明書中，有的儀器直接給出了儀器的準確等級。各類儀器 的示值誤差

32、限與其準確度等級之間都存在著一定的關系一般由儀器的量程和準確度等級可以 求出儀器示值誤差限的大小。不同的儀器、量具，其示值誤差限有不同的規定。例如，游 標卡尺不分精度等級，測值范圍在300mm以下的示值誤差一律取游標的分度值。螺旋測微計分零級和一級兩類，通常實驗室使用的為一級，其示值誤差隨測量范圍的不同而不同，量程在025mm ,及2050mm的一級千分尺的示值誤差均為m。天平的示值誤差以標尺分度值的倍數形式給出，它與天平的稱量載荷有關，本講義中約定，取 天平標尺分度值的一半做為儀器的示值誤差。電表的示值誤差，可以根據其量程和準確度等級計算：m=量程準確度等級%如果測量儀器是數字式儀表，那么取

33、其末位數最小分度單位為示值差。在我們不能知道儀器的示 值誤差限或準確度等級的情況下，也可以取其分度值的一半做為示值誤差限。還有一些儀器如電阻箱，電橋，電勢差計等的誤差用根本誤差來表示，其值需用專用公式 來計算。儀器誤差提供的是誤差絕對值的極限值，而不是測量的真實誤差，也無法確定其符號。在對測量結果的誤差評定中，隨機誤差是用標準誤差來估算的，相應地，也需要知道儀器的標 準誤差。儀器的標準誤差用儀表示，它實際上是一個等價標準誤差，下面要討論的是如何確定儀器的標準誤差，以及它與儀器誤差間的關系。儀器標準誤差圖7均勻分布類似。般儀器誤差的概率密度函數近似服從如圖7所示的均勻分布規律。在-m , m范圍

34、內，誤差出現的概率相同，-m ,m區間以外出現的概率為零。例如，游標卡尺的儀器誤差，儀器度盤或其它傳動齒輪的回差所產生的誤差，機械秒表在其分度值內不能分辨引起的誤差，指零儀表判斷平衡的誤差等，都屬于均勻分布。 均勻誤差的概率密度函數為f()根據標準誤差的定義，可以求出儀器的標準誤差與儀器誤差限m儀3儀的物理含義與標準誤差3 .儀器的靈敏閾儀器的靈敏閾是指足以引起儀器示值可覺察變化的被測量的最小變化值，即當被測量值小于這 個閾值時，儀器將沒有反響。例如，數字式儀表最末一位數所代表的量就是數字式儀表的靈敏閾。 對指針式儀表，由于人眼能覺察到的指針改變量一般為分度值，于是可以把分度值所代表的量作為

35、指針式儀表的靈敏閾。靈敏閾越小，說明儀器的靈敏度越高。一般地講，測量儀器的靈敏閾應該小 于示值誤差限，而示值誤差限應該小于最小分度值。但是也有一些儀器，特別是實驗室中頻 頻使用的儀器，準確度等級可能降低了或靈敏閾變大了，因而使用這樣的儀器前，應檢查其靈敏閾。 當儀器靈敏閾超過儀器示值誤差限時，儀器示值誤差限便應由儀器的靈敏閾來代替，這一點并 不難理解。§3有效數字的記錄與運算一、有效數字的一般概念cm、13.5cm、13.6cm都可以。換不同的測量者進行測量，前兩位數不會變化， 我們稱之為 準確數字，但最后一位數字各人估計的結果可能略有不同，我們把這位數稱為欠準數字或可疑數字。雖然最

36、后這位數字欠準，但是記上它能客觀地反映出該物體比13cm長，比14cm短的實際情況，比擬合理。我們把測量結果中可靠的幾位數字加上可疑的一位數字，統稱為測量結果的有效數字。有效數字的上述定義，適用于直接測量量和間接測量量。圖8有效數字概念“ 5 “ 5是準確測量出來的，而百分位上的“0才是欠準的。因為有效數字只有最后一位是欠準的，因此大體上說有效數字的位數越多，相對誤差就越小。1 2一般來說。測量結果有兩位有效數字時，對應于 10 10 量級的相對誤差；有三位有效數字時，對應于10 2 10 3量級的相對誤差。X 105m X 10-7s分別表示兩個量的有效數字是2位和4位，而如果將3 .8 X

37、 105記成380 000m不但繁瑣，而且有效數字的位數錯誤，人為地將精度提高了4個數量級。.直接測量量的有效數字的讀取在進行直接測量時，要用到各種各樣的儀器和量具。從儀器和量具上直接讀數，必須正確讀取 有效數字，它是進一步估算誤差和數據處理的根底。一般而言，儀器的分度值是考慮到儀器誤差所在位來劃分的。由于儀器多種多樣，讀數規那么也 略有區別。正確讀取有效數字的方法大致歸納如下：1. 一般讀數應讀到最小分度以下再估一位，但不一定估讀十分之一，也可根據情況如分度的間距、刻線、指針的粗細及分度的數值等估讀最小分度值的1/5、1/4或1/2。但無論怎樣估計，最小分度位總是準確位，最小分度的下一位是估

38、計的欠準位。2. 有時，讀數的估計位就取在最小分度位。如儀器的最小分度值為0.5，那么0.1、0.2、0.3、0.4及0.6、0.7、0.8、0.9都是估計的；如儀器最小分度值為 0.2，貝U 0.3、0.5、0.7、0.9都是估 計的。這類情況都是不必再估到下一位。3. 游標類量具，只讀到游標分度值，一般不估讀，特殊情況估讀到游標分度值的一半。4. 數字式儀表及步進讀數儀器如電阻箱不需要進行估讀，儀器所顯示的末位就是欠準數字。5. 特殊情況下，直讀數據的有效數字由儀器的靈敏閾決定。例如，在測量靈敏電流計臨界電阻時，調節電阻箱的“X10"QQ，測量值也只能記錄到“X10QX 103Q

39、 .6. 在讀取數據時，如果測值恰好為整數，那么必須補“0，一直補到可疑位。例如，用最小刻度為1mm的鋼卷尺測量某物體的長度恰為12 mm寸，應記為12.0mm如果改用游標卡尺測量同一物體，讀數也為整數，應記為 12.00mm；如再改用千分尺來測量，讀數仍為整數，那么應記為12.000 mm切不可一律記為 12mm三、間接測量量有效數字的運算間接測量量測量結果的有效數字，最終應由測量不確定度的所在位來決定詳見§ 4有關內容但是在計算不確定度之前，間接測量量需要經過一系列的運算過程。運算時，參加運算的量可能很多，有效數字的位數也不一致。如果數字相乘，位數會增加；如果相除而又除不盡，位數

40、可以無止 境。為了簡化運算過程，一般可以按以下規那么進行運算：1. 幾個數進行加減運算時，其結果的有效數字末位和參加運算的諸數中末位數數量級最大的那一位取齊，稱為“尾數取齊。例如，278.2+12.451=290.7。2. 幾個數進行乘除運算時，其結果的有效數字的位數與參與運算的諸數中有效數字位數最少的 那個相同，稱為“位數取齊 X 20.5=110。3. 一個數進行乘方、開方運算，其結果的有效數字位數與被乘方、開方數的有效數字位數相同。 例如，,200=14.1.4. 一般說來，函數運算的有效數字，應按間接量測量誤差傳遞公式進行計算后決定。在普通實 驗中，為了簡便統一起見，對常用的對數函數、

41、指數函數和三角函數按如下規那么處理：對數函數運算結果的有效數字中， 小數點后面的位數取成與真數的位數相同；指數函數運算結果的有效數字中,小數點后的位數取成與指數中小數點后的位數相同；三角函數結果中有效數字的取法，可采用試探 法，即將自變量欠準位上、下波動一個單位，觀察結果在哪一位上波動，結果的欠準位就取在該位 上。以上所述有效數字的運算規那么，只是一個根本原那么，在實際問題中，為防止屢次取舍而造成誤 差的累積效應，常常采用在中間運算時多取一位的方法。在計算器和微機已經相當普及的今天，中 間過程多取幾位有效數字不會給我們帶來太多的麻煩，所以在中間運算過程中，可以適當多取幾位如多取2、3位。最后表

42、達結果時，有效數字的取位再由不確定度的所在位來一并截取。四、有效數字尾數的舍入法那么過去對有效數字的尾數采用“四舍五入的規那么來修約，但是這樣處理“入的時機總是大于“舍的時機，引起最后結果偏大。為了彌補這一缺陷，目前普遍采用“小于五舍3.542 2 t3.543.546 6 t3.553.535 0 t 3.54小于五舍去3.545 0 t 3.54等于五湊偶 大于五進位 小于五舍去去，大于五進位，等于五湊偶的規那么來修約。例如，將以下數據保存三位有效數字的修約結果是:大于五進位3.545 01t 3.55等于五湊偶3.544 99t 3.54§測量結果的不確定度評定、測量不確定度的

43、根本概念前面對測量中可能存在的各種誤差做了簡單介紹。這些誤差的存在，使得測量結果具有一 定程度的不確定性。所以，對某一物理量進行測量，我們只能知道測量值N與真值N0之差的絕對值以一定概率分布在-u u之間，用公式表示為N N0 u置信概率為P 13其中，u值可以通過一定的方法進行估算，稱為不確定度，它表征真值以某置信概率存在的范圍，是對測量結果不確定性的度量。1980年，國際計量局提出了關于“實驗不確定度的建議書，建議用不確定度來評價測量的質量。1981年，第17屆國際計量大會通過了采納“建議書的決議。我國計量科學院在1986年也發出了用不確定度作為誤差指標名稱的通知。國家技術監督局決定于19

44、92年10月1日正式開始采用不確定度進行誤差的評定工作。在實驗中全面采用不確定度來評價測量的結果已成為必然的趨 勢。嚴格的不確定度理論比擬復雜。考慮到本課程的性質，對不確定度評定的介紹將在保證其 科學性的前提下，適當加以簡化，以免初學者不得要領。2. 不確定度的分量由于誤差的來源很多，測量結果的不確定度一般也包含幾個分量。在修正了可定系統誤差 之后，把余下的全部誤差歸為A、B兩類不確定度分量。不確定度A類分量Ua：屢次重復測量，用統計方法求出的分量。直接測量量的A類不確定度分量就用平均值的實驗標準差表示，即Ua S(X) 14不確定度B類分量Ub：用其他非統計方法估算的分量。在實驗中盡管有多方

45、面的因素存在，本講義中一般只考慮儀器誤差這一主要因素。我們用儀器的等價標準差儀近似表示不確定度B類分量，式中m可以是儀器的c示值誤差限、根本誤差或儀器的靈敏閾。因子c與儀器誤差的分布規律有關。如果儀器誤差服從均勻分布規律，那么 c ,3;假設服從正態分布，那么 c=3 ；在不能確定其分布規律的情況下，本著 不確定度取偏大值的原那么，也取c . 3。本講義中，我們一律將 c取為3，即U B儀15埒'3二、直接測量結果的不確定度評定1. 合成不確定度在各不確定度分量相互獨立的情況下，將兩類不確定度分量按“方和根的方法合成，構 成合成不確定度，即j22-u(x) . Ua Ub 16在許多情

46、況下，需要采用95% 99%或 99.7%等較高的置信概率。這時，可以在合成不確定度前乘以一個包含因子 k來求擴展不確定度U(X)。待測量的不確定度服從正態分布時，對應于置信概率P=68.3%,近似地取k=1;對應于置信概率 P=95%近似地可取k= 2;對應與置信概率 P=99.7%, k = 3。我們認為，物理實驗課對誤差處理的要求，主要在于建立正確的概念，而不拘泥于對某一 值的精確計算，從這一觀點出發，置信概率均取68.3%。按照國際計量局1980年的建議書，直接測量量X的測量結果可表示為X X u(x)(單位)P=(17)對于測量結果，同時還可以用相對不確定 度表示：E(x)鑿 100

47、%(18)x這里應特別注意兩點：(1) 不確定度有效數字的取位由于不確定度本身只是一個估計范圍，所以其有效數字一般只取一或二位。在本課程中為了教學標準，我們約定對測量結果的合成不確定度或總不確定度只取一位有效數字，相對不確定度可取兩位有效數字。此外，我們還約定，截取剩余尾數一律采取 進位法處理，即剩余尾數只要不為零，一律進位，其目的是保證結果的置信概率水平不降低。(2) 測量結果有效數字的取位對測量結果本身有效數字的取位必須使其最后一位與不確定度最后一位取齊。截取時，剩余尾數按“小于 5舍去，大于5進位，等于5湊偶的規那么修約。所以，x (9.800.03) cm是正確的表示，而x (9.80

48、40.03) cm或x (9.80.03) cm均是不正確的表示。例如，用數字毫秒計測得某單擺周期的算術平均值為2.18305s，經計算，求出置信概率P=68.3%時的不確定度為 0.0031s，其結果應表示為T (2.183 0.004)s P=68.3%該式表示此單擺周期的真值落在2.183 0.004,2.183 + 0.004 范圍內的概率有 68.3%。這一測量列的相對不確定度為E(T) = 0.17 %假設某直接測量量為 X,其不確定度評定的步驟歸納如下:1修正測量數據中的可定系數誤差；2計算測量列的算術平均值 X作為測量結果的最正確值;3計算測量列任一次測量值的實驗標準差S(x)

49、；4審查各測值，如有壞值那么予以剔除，易V除后再重復步驟(2)、5)計算平均值的實驗標準差S(X)作為不確定度A類分量Ua；2 2. Ua Ub及擴展不確定度U(x)ku(x),68.3%、95%和99.7%時,k可分別取近似值為 1、2、3;6計算不確定度 B類分量uB7求合成不確定度u(x)當不確定度正態分布時，置信概率取8寫出最終結果表示式：xx U xE xU x(P=)100%x例用一級千分尺對一小球直徑測量8次，測量結果見下表第二行數據，千分尺的零點讀數為0.008mm,試處理這組數據并給出測量結果。次數12345678D'/mmD/mm解 (1)修正千分尺的零點誤差：?(

50、D' 0.008)mm,填入上表第三行；2直徑的算術平均值 D ；3某次測值的實驗標準差為n_8S(D) (Di D)2 = 0.0033 mm (中間運算多取一位，下同) V81 i ix 0.0033mm x 0.0033mn。經檢查，無壞值。5A類分量的估算值平均值的實驗標準差：uA S( D) S(,D)0.0011 mmv'86B類分量的估算值：按照國家計量標準，一級千分尺在測量范圍0 100mm內的儀器誤差限儀=0.004mm； u b 0.0023 mm V3 0.003mm；7合成不確定度 u(D) . S(D)28測量結果為+mmP=68.3%E(D)=0.0

51、03=0.15%2.118假設取P=95%，那么擴展不確定度 UD=2 x u (D)=0.006mm，測量結果為+mm P=95%E(D)=0.006=0.29%2.118在這里，我們還應該特別說明對于單次測量的不確定度處理。在實際測量中，有些量是隨時間 變化的，無法進行重復測量；也有些量因為對它的測量精度要求不高，沒有必要進行重復測量；還 有些量由于儀表的精密度較差，不能反映測量值的隨機誤差，幾次測量值都相同，這時可按單次測 量來處理。般情況下，我們就約定單次測量的不確定度簡單地取Am。三、間接測量量的不確定度評定 設間接測量量N與直接測量量X,y,z,的函數關系為N = f (x,y,z

52、,)(19)由于x,y,z具有不確定度u( x),u(y),u(z),，N也必然具有不確定度u(N),所以對間接測量量N的結果也需采用不確定度評定。在直接測量中，我們以算術平均值X,y,z,作為最正確值。在間接測量中，可以證明N f (X, y, z,)為間接測量量的最正確值，即間接測量量的最正確值由各直接測量量的算術平均 值代入函數關系式而求得。19兩邊取微分:dN也可以先對19dNN丄 dx dy x y式兩邊取自然對數,ln f lndxxdz z再取微分，得In fdzz(20)y dy21由于直接測量量具有不確定度，從而導致間接測量量也具有不確定度。 因為不確定度是一個微小量，故可以

53、借助于微分手段來研究。對式其中dN對應于u(N) , d( x)對應于u X，式20和式21中各求和項稱為不確定度項，各直接測量量不確定度前面的系數丄、丄、丄及一、一1、一1稱為不確定度傳遞系數x y zx y z當直接測量量x,y,z,彼此獨立時，間接測量量N的不確定度為各分量的均方根：u(N)2u(y) y2 f u(z) z222In fu(z) 23 zA y,A z項，要先合并同類項,再求均i22u(N)ln f /、ln f /、E(N)u(x) u(y)N xy求均方根時要保證各項是獨立的。如果出現多個 x或方根。對于以加減運算為主的函數，先用式22求不確定度u(N)，再用求相對不確定度比擬N簡便；而對以乘除運算為主的函數，那么先用式23求出其相對不確定度 曰N，再用u(N) N E(N)求不確定度比擬簡便。