1、高中數學必修1知識點第一章集合與函數概念1.1集合【】集合的含義與表示1集合的概念集合中的元素具有確定性、互異性和無序性2常用數集及其記法N表示自然數集，N 或N表示正整數集，Z表示整數集，Q表示有理數集，R表示實數集3集合與元素間的關系對象a與集合M的關系是a M，或者a M，兩者必居其一 4集合的表示法 自然語言法：用文字表達的形式來描述集合 列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號內表示集合 描述法： x| x具有的性質，其中x為集合的代表元素. 圖示法：用數軸或韋恩圖來表示集合5集合的分類 含有有限個元素的集合叫做有限集含有無限個元素的集合叫做無限集不含有任何元素的集合叫做空集(

2、).【】集合間的根本關系6子集、真子集、集合相等名稱記號意義性質示意圖子集A B或B A)A中的任一元素都 屬于B(1) AA(2) A假設A B且B C，那么A C 假設A B且B A，那么A B)或(J真子集A B或 B AA B，且B中至少有一元素不屬于A1AA為非空子集假設A B且B C，那么A C集合 相等A BA中的任一元素都 屬于B, B中的任一 元素都屬于A(1) AB(2) BA7集合 A有n(n 1)個元素，那么它有2n個子集，它有2n 1個真子集，它有 2n 1個非空子集，它有2n2非空真子集.【】集合的根本運算8交集、并集、補集名稱記號意義性質示意圖二次函數2y ax

3、bx c(a 0)的圖象0001交集AQBx | x 代且x B1ADA A2An3ABAACBB并集AUBx|x 代或x B1AU A A 2AUA3AUB AAUB BCO1補集(U Ax| x U ,且x A1An 仏 a)C(ab) £a)1(Ub)CuWB) (£A)n(UB) 2AUGA) U【補充知識】含絕對值的不等式與一元二次不等式的解法1含絕對值的不等式的解法不等式解集|x| a(a 0)x| a x a|x| a(a 0)x| xa 或 x a| ax b| c,|ax b | c(c 0)把ax b看成一個整體，化成| x| a ,| x | a(a

4、0)型不等式來求解2一元二次不等式的解法判別式b2 4ac兀二次方程ax2 bx c 0(a0)X1,2b 、b2 4ac2aX-Ix2b2a無實根的根ax bx c 0(a0)的解集ax bx c 0(a 0)的解集x | X x-1 或 x x2x|X x x2x|x 2a其中 x-ix2)1.2函數及其表示【】函數的概念1函數的概念 設A、B是兩個非空的數集，如果按照某種對應法那么 f，對于集合A中任何一個數x , 在集合B中都有唯一確定的數 f(x)和它對應，那么這樣的對應包括集合 A，B以及 A到B的對應法那么f丨叫做集合 A到B的一個函數，記作 f : A B . 函數的三要素：定

5、義域、值域和對應法那么. 只有定義域相同，且對應法那么也相同的兩個函數才是同一函數.2區間的概念及表示法設a,b是兩個實數，且a b，滿足a x b的實數x的集合叫做閉區間，記做a,b； 滿足a x b的實數x的集合叫做開區間，記做 (a,b)；滿足a x b，或a x b 的實數x的集合叫做半開半閉區間，分別記做a,b) ,(a,b;滿足x a, x a,x b,x b 的實數 x 的集合分別記做a,),(a,),(, b,(, b).注意：對于集合x|a x b與區間(a,b)，前者a可以大于或等于b，而后者必須a b.3求函數的定義域時，一般遵循以下原那么： f(x)是整式時，定義域是全

6、體實數. f(x)是分式函數時，定義域是使分母不為零的一切實數. f(x)是偶次根式時，定義域是使被開方式為非負值時的實數的集合. 對數函數的真數大于零，當對數或指數函數的底數中含變量時，底數須大于零且不等于1. y tanx中，x k (k Z).2 零負指數幕的底數不能為零. 假設f (x)是由有限個根本初等函數的四那么運算而合成的函數時，那么其定義域一般是各根本初等函數的定義域的交集. 對于求復合函數定義域問題，一般步驟是：假設f (x)的定義域為a,b，其復合函數fg(x)的定義域應由不等式 a g(x) b解出. 對于含字母參數的函數，求其定義域，根據問題具體情況需對字母參數進行分類

7、討論. 由實際問題確定的函數，其定義域除使函數有意義外，還要符合問題的實際意義.4求函數的值域或最值求函數最值的常用方法和求函數值域的方法根本上是相同的事實上，如果在函數的值 域中存在一個最小大數，這個數就是函數的最小大值因此求函數的最值與值 域，其實質是相同的，只是提問的角度不同求函數值域與最值的常用方法： 觀察法：對于比擬簡單的函數，我們可以通過觀察直接得到值域或最值. 配方法：將函數解析式化成含有自變量的平方式與常數的和，然后根據變量的取值范 圍確定函數的值域或最值. 判別式法：假設函數 y f(x)可以化成一個系數含有 y的關于x的二次方程a(y)x2 b(y)x c(y) 0 ,那么

8、在a(y) 0時，由于x, y為實數，故必須有2b (y) 4a(y) c( y) 0 ,從而確定函數的值域或最值. 不等式法：利用根本不等式確定函數的值域或最值. 換元法：通過變量代換到達化繁為簡、化難為易的目的，三角代換可將代數函數的最值問題轉化為三角函數的最值問題. 反函數法：利用函數和它的反函數的定義域與值域的互逆關系確定函數的值域或最值. 數形結合法：利用函數圖象或幾何方法確定函數的值域或最值. 函數的單調性法.【】函數的表示法5函數的表示方法表示函數的方法，常用的有解析法、列表法、圖象法三種.解析法：就是用數學表達式表示兩個變量之間的對應關系.列表法：就是列出表格來表 示兩個變量之

9、間的對應關系.圖象法：就是用圖象表示兩個變量之間的對應關系.6映射的概念 設A、B是兩個集合，如果按照某種對應法那么f，對于集合 A中任何一個元素，在集合B中都有唯一的元素和它對應，那么這樣的對應包括集合A , B以及A到B的對應法那么f丨叫做集合 A到B的映射，記作f : A B . 給定一個集合 A到集合B的映射，且a A,b B .如果元素a和元素b對應，那么我們把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象.1.3函數的根本性質【】單調性與最大小值1函數的單調性定義及判定方法函數的 性質定義圖象判定方法函數的 單調性如果對于屬于定義域1內 某個區間上的任意兩個 自變量的值Xi、X2,當

10、x 1 <X2 時，都有 f(x i)<f(x 2), 那么就說f(x)在這個區 間上是增函.數.y y=f(X)J ) 阿丨0XiX2Xi利用定義2利用函數 的單調性3利用函數圖象在某個區間圖象上升為增4利用復合函數如果對于屬于定義域1內 某個區間上的任意兩個 自變量的值Xi、X2,當Xi<X2 時，都有 f(x i)>f(x 2), 那么就說f(x)在這個區 間上是減函.數.yf糾y=f(X)f(X2) j1利用定義2利用函數 的單調性3利用函數圖象在某個區間圖 象下降為減4利用復合函數0XiX2X在公共定義域內，兩個增函數的和是增函數，兩個減函數的和是減函數，增函

11、數減去一個減函數為增函數，減函數減去一個增函數為減函數.對于復合函數 y fg(x)，令u g(x)，假設y f(u)為增，u g(x)為增，那么y fg(x)為增;假設y f(u)為減，u g(x)為減，那么y fg(x)為增;假設y f(u)為增，ug(x)為減，那么y fg(x)為減；假設y f (u)為減，ug(x)為增，那么y fg(x)為減.a2打"/'函數f(x) x (a 0)的圖象與性質xf (x)分別在(，a、.a,)上為增函數，分別在a,o)、(0, .a上為減函數.3最大小值定義一般地，設函數y f (x)的定義域為I，如果存在實數滿足：1對于任意的x

12、I，都有f(x) M ;2存在xoI，使得f(x。) M那么，我們稱 M函數f (x)的最大值，記作f max ( x) 一般地，設函數y f (x)的定義域為I，如果存在實數 m滿足：1對于任意的x I ,都有f (x) m ；2存在Xo I，使得f(xo) m .那么，我們稱 m是函數f (x)的最小值，記作fmax(x) m .【132】奇偶性4函數的奇偶性定義及判定方法函數的 性質定義圖象判定方法函數的 奇偶性如果對于函數f(x)定義域內任意一個x，都有f( x) = f(x),那么函y(a.-f (a)/T .1利用定義要 先判斷定義域是否 關于原點對稱2利用圖象圖 象關于原點對稱數

13、f(x)叫做奇函數.1/(-a. FD)如果對于函數f(x)定義域內任意一個x，都有f( x)= f(x),那么函數f(x)叫做偶函數.y(-a. f(a. f l邊)1利用定義要 先判斷定義域是否 關于原點對稱2利用圖象圖 象關于y軸對稱-a oai假設函數f(x)為奇函數，且在 x 0處有定義，那么f(0) 0 . 奇函數在y軸兩側相對稱的區間增減性相同，偶函數在y軸兩側相對稱的區間增減性相反. 在公共定義域內，兩個偶函數或奇函數的和或差仍是偶函數或奇函數兩個偶函數或奇函數的積或商是偶函數，一個偶函數與一個奇函數的積或商是奇函數.補充知識函數的圖象1作圖利用描點法作圖：化解函數解析式;畫出函數的圖象.確定函數的定義域；反比例函數、指數函數、對數函數、幕函數、三角函 討論函數的性質奇偶性、單調性； 利用根本函數圖象的變換作圖： 要準確記憶一次函數、二次函數、 數等各種根本初等函數的圖象.平移變換y f(x)h 0,左移h個單位h 0,右移| h|個單位y f(x h)y f(x)k 0,上移k個單位 :0,下移| k|個單位y f(x) k伸縮變換x)y f(x)y f(x)縮 y Af(x)對稱變換yf(x)y f (x)yf (x)yf ( x)yf(x)原點y f ( x)yf ( x)直線 y xyf 1(x)yf(x)去掉y軸