1、第八章第八章 假設檢驗假設檢驗基本概念基本概念正態總體均值的假設檢驗正態總體均值的假設檢驗正態總體方差的假設檢驗正態總體方差的假設檢驗假設檢驗假設檢驗參數假設檢驗參數假設檢驗非參數假設檢驗非參數假設檢驗這類問題稱作假設檢驗問題這類問題稱作假設檢驗問題 .總體分布已知，總體分布已知，檢驗關于未知參數檢驗關于未知參數的某個假設的某個假設總體分布未知時的總體分布未知時的假設檢驗問題假設檢驗問題 在本章中，我們將討論不同于參數估計的另在本章中，我們將討論不同于參數估計的另一類重要的統計推斷問題一類重要的統計推斷問題. 這就是這就是根據樣本的信根據樣本的信息檢驗關于總體的某個假設是否正確息檢驗關于總體的

2、某個假設是否正確.第八章第八章 假設檢驗假設檢驗1 基本概念基本概念讓我們先看一個例子讓我們先看一個例子.這一講我們討論對參數的假設檢驗這一講我們討論對參數的假設檢驗 .第八章第八章 假設檢驗假設檢驗1 基本概念基本概念 生產流水線上罐裝可樂不生產流水線上罐裝可樂不斷地封裝，然后裝箱外運斷地封裝，然后裝箱外運. 怎怎么知道這批罐裝可樂的容量是么知道這批罐裝可樂的容量是否合格呢？否合格呢？把每一罐都打開倒入量杯把每一罐都打開倒入量杯, 看看看容量是否合于標準看容量是否合于標準. 這樣做顯然不這樣做顯然不行！行！罐裝可樂的容量按標準應在罐裝可樂的容量按標準應在350毫升和毫升和360毫升之間毫升之

3、間.第八章第八章 假設檢驗假設檢驗1 基本概念基本概念 每隔一定時間，抽查若干罐每隔一定時間，抽查若干罐 . 如每隔如每隔1小時，抽小時，抽查查n罐，得容量為罐，得容量為n的樣本值的樣本值x1，xn，根據這，根據這些值來判斷生產是否正常些值來判斷生產是否正常. 如發現不正常，就應停產，找出原因，排除故障，如發現不正常，就應停產，找出原因，排除故障，然后再生產；如沒有問題，就繼續按規定時間再抽然后再生產；如沒有問題，就繼續按規定時間再抽樣，以此監督生產，保證質量樣，以此監督生產，保證質量. 在正常生產條件下，由于種種隨機因素的影響，在正常生產條件下，由于種種隨機因素的影響，每罐可樂的容量應在每罐

4、可樂的容量應在355毫升上下波動毫升上下波動. 這些因素這些因素中沒有哪一個占有特殊重要的地位中沒有哪一個占有特殊重要的地位. 因此，根據中因此，根據中心極限定理，假定每罐容量服從正態分布是合理的心極限定理，假定每罐容量服從正態分布是合理的.通常的辦法是進行抽樣檢查通常的辦法是進行抽樣檢查.第八章第八章 假設檢驗假設檢驗1 基本概念基本概念它的對立假設是：它的對立假設是：稱稱H0為原假設（或零假設）；為原假設（或零假設）；稱稱H1為備選假設（或對立假設）為備選假設（或對立假設）.在實際工作中，往在實際工作中，往往把不輕易否定的往把不輕易否定的命題作為原假設命題作為原假設. 0 H0：（ = 3

5、55）0 H1：0 這樣，我們可以認為這樣，我們可以認為 X1 , Xn 是取自正態總體是取自正態總體 的樣本，的樣本，),(2 N是一個常數是一個常數. 2 當生產比較穩定時，當生產比較穩定時，現在要檢驗的假設是：現在要檢驗的假設是：第八章第八章 假設檢驗假設檢驗1 基本概念基本概念那么，如何判斷原假設那么，如何判斷原假設H0 是否成立呢？是否成立呢？較小時，可以認為較小時，可以認為H0是成立的；是成立的；當當當當較大時，應認為較大時，應認為H0不成立，即生產已不正常不成立，即生產已不正常.第八章第八章 假設檢驗假設檢驗kX 0 是小概率事件，是小概率事件，在在H0為真時，為真時，由于由于

6、是正態分布的期望值，它的無偏估計量是是正態分布的期望值，它的無偏估計量是樣本均值樣本均值 ，因此可以根據，因此可以根據 與與 的差距的差距XX 0 來判斷來判斷H0 是否成立是否成立.0 X0 X0 X1 基本概念基本概念則當樣本值落在區域則當樣本值落在區域 kxxxWn 01| ),( 時，小概率事件發生了，根據實際推斷原理，這與時，小概率事件發生了，根據實際推斷原理，這與H0的假設矛盾，因此，應該作出拒絕的假設矛盾，因此，應該作出拒絕H0的結論。的結論。第八章第八章 假設檢驗假設檢驗 kxxxWn 01| ),( 稱稱為拒絕域。為拒絕域。記記 ).10( ,0 kXP1 基本概念基本概念

7、在假設檢驗中，我們稱這個小概率為在假設檢驗中，我們稱這個小概率為顯著性水顯著性水平平，用，用 表示表示. 常取常取 的選擇要根據實際情況而定。的選擇要根據實際情況而定。 .05. 0,01. 0, 1 . 0 現在回到我們前面罐裝可樂的例中：現在回到我們前面罐裝可樂的例中：在提出原假設在提出原假設H0后，如何作出接受或拒絕后，如何作出接受或拒絕H0的結的結論呢？即如何確定論呢？即如何確定k. kXP0 ,/0 nknXPnXU 0 N(0,1)由于由于所以所以,/2/ unk 即拒絕域為即拒絕域為 2/01/),( unxxxWn第八章第八章 假設檢驗假設檢驗檢驗統計量檢驗統計量1 基本概念基

8、本概念假設檢驗會不會犯錯誤呢？假設檢驗會不會犯錯誤呢？由于作出結論的依據是下述由于作出結論的依據是下述實際推斷原理實際推斷原理小概率事件在一次試驗中小概率事件在一次試驗中基本上基本上不會發生不會發生 .不是一定不發生不是一定不發生第八章第八章 假設檢驗假設檢驗1 基本概念基本概念 如果如果H0成立成立，但統計量，但統計量的實測值落入拒絕域，從的實測值落入拒絕域，從而作出而作出否定否定H0的結論，那就犯了的結論，那就犯了“棄真棄真”的錯誤的錯誤 .如果如果H0不成立不成立，但統計量的實測值未落入否定域，但統計量的實測值未落入否定域，從而沒有作出否定從而沒有作出否定H0的結論，即的結論，即接受了接

9、受了H0，那就犯，那就犯了了“取偽取偽”的錯誤的錯誤 .我們把上面犯的兩個錯誤分別稱為我們把上面犯的兩個錯誤分別稱為第一類錯誤第一類錯誤和和第二類錯誤第二類錯誤 P拒絕拒絕H0|H0為真為真= , 犯第一類錯誤的概率犯第一類錯誤的概率: 第一類錯誤的概率第一類錯誤的概率 為檢驗的為檢驗的顯著性水平顯著性水平. 犯第二類錯誤的概率犯第二類錯誤的概率: P接受接受H0|H0不真不真= .第八章第八章 假設檢驗假設檢驗1 基本概念基本概念兩類錯誤的關系兩類錯誤的關系兩類錯誤是互相關聯的，兩類錯誤是互相關聯的， 當樣本容量當樣本容量固定固定時，一時，一類錯誤概率的減少導致另一類錯誤概率的增加類錯誤概率

10、的減少導致另一類錯誤概率的增加. 要同時降低兩類錯誤的概率要同時降低兩類錯誤的概率 ，或者要在，或者要在 不不變的條件下降低變的條件下降低 ，需要增加樣本容量，需要增加樣本容量. , 第八章第八章 假設檢驗假設檢驗在給定樣本量的情況下，一般來說，我們總是控在給定樣本量的情況下，一般來說，我們總是控制犯第一類錯誤的概率，使它不大于制犯第一類錯誤的概率，使它不大于 。 1 基本概念基本概念假設檢驗的步驟：假設檢驗的步驟：1) 根據問題提出原假設根據問題提出原假設;10HH 和備擇假設和備擇假設2) 確定檢驗統計量確定檢驗統計量),(1nXXT并根據原假設和備擇假設并根據原假設和備擇假設確定拒絕域的

11、確定拒絕域的W的形式的形式的的分分布布是是已已知知的的）為為真真時時，（在在TH03) 對給定的顯著性水平，利用關系式對給定的顯著性水平，利用關系式 第八章第八章 假設檢驗假設檢驗 ,2/2/1 tTtTP ,1 tTP , tTP中的某一個，求出水平為中的某一個，求出水平為 的拒絕域的拒絕域. 4) 根據樣本觀察值算出根據樣本觀察值算出T 的觀察值，并據此作出接受還的觀察值，并據此作出接受還是拒絕是拒絕 的判斷的判斷.0H1 基本概念基本概念第八章第八章 假設檢驗假設檢驗2 正態總體均值與方差的假設檢驗正態總體均值與方差的假設檢驗一、一個正態總體的均值的假設檢驗一、一個正態總體的均值的假設檢

12、驗.,),(,21未未知知的的一一個個樣樣本本為為總總體體設設 NXXXnnXU/00 即即統統計計量量).1 , 0( N)/,(20nNXH 為真時，為真時，在在的的檢檢驗驗，均均值值）設設已已知知方方差差 2021 0100:,:1 HH）（ ,2/ uUP對給定的水平對給定的水平.2/的值的值得得 u)2/1)(2/ u第八章第八章 假設檢驗假設檢驗計算樣本值計算樣本值,/00nxu ,/2/00 unx 若若.,00HH就接受就接受否則否則則拒絕則拒絕即拒絕域為即拒絕域為 2/001/),( unxxxWn2 正態總體均值與方差的假設檢驗正態總體均值與方差的假設檢驗第八章第八章 假設

13、檢驗假設檢驗0100:,:2 HH）（kX 0 是小概率事件，是小概率事件，在在H0為真時，為真時，故拒絕域為故拒絕域為 kxxxWn 01| ),( ,/,00 unXP對給定的水平對給定的水平.的值的值得得 u,/00 unx 若若.,00HH就接受就接受否則否則則拒絕則拒絕即拒絕域為即拒絕域為 unxxxWn/),(0012 正態總體均值與方差的假設檢驗正態總體均值與方差的假設檢驗第八章第八章 假設檢驗假設檢驗0100:,:3 HH）（拒絕域為拒絕域為 1001/),(unxxxWn的的檢檢驗驗未未知知時時，均均值值）方方差差 220100:,:1 HH）（nSXT/0 取取統統計計量量

14、).1( nt為真時，為真時，在在0H ,)1(,2/ ntTP對給定的水平對給定的水平.)1(2/的值的值得得 nt 2 正態總體均值與方差的假設檢驗正態總體均值與方差的假設檢驗第八章第八章 假設檢驗假設檢驗計算樣本值計算樣本值,/0nsxt ),1(/2/0 ntnsx 若若.,00HH就接受就接受否則否則則拒絕則拒絕即拒絕域為即拒絕域為 )1(/),(2/01ntnsxxxWn 2 正態總體均值與方差的假設檢驗正態總體均值與方差的假設檢驗第八章第八章 假設檢驗假設檢驗0100:,:2 HH）（拒絕域為拒絕域為 )1(/),(01ntnsxxxWn )1(/),(101ntnsxxxWn

15、0100:,:3 HH）（拒絕域為拒絕域為2 正態總體均值與方差的假設檢驗正態總體均值與方差的假設檢驗 例例1 某工廠生產的一種螺釘，標準要求長度是某工廠生產的一種螺釘，標準要求長度是32.5毫米毫米. 實際生產的產品，其長度實際生產的產品，其長度X假定服從正態分布假定服從正態分布 未知，現從該廠生產的一批產品中抽取未知，現從該廠生產的一批產品中抽取6件件, 得尺寸得尺寸數據如下數據如下:),(2 N2 32.56, 29.66, 31.64, 30.00, 31.87, 31.03問這批產品是否合格問這批產品是否合格?第八章第八章 假設檢驗假設檢驗5 .32:, 5 .32:10 HH)5(

16、65 .32tSXT 解解: : 對給定的顯著性水平對給定的顯著性水平 = =0.01，查表確定臨界值，查表確定臨界值0322. 4)5()5(005. 02 tt )01. 0( 2 正態總體均值與方差的假設檢驗正態總體均值與方差的假設檢驗將樣本值代入算出統計量將樣本值代入算出統計量 T 的值的值, ,| T |=2.9972.33，即認為即認為新生產織物比過去的織物強力有提高新生產織物比過去的織物強力有提高.2 正態總體均值與方差的假設檢驗正態總體均值與方差的假設檢驗正態總體均值的檢驗正態總體均值的檢驗原假設原假設檢驗統計量檢驗統計量備擇假設備擇假設拒絕域拒絕域0 已知）已知）（2 nXU

17、/0 nSXT/0 uU 0H0 0 0 0 0 uU 2/| uU 0 未知）未知）（2 0 0 0 0 0 )1( ntT )1( ntT )1(|2/ ntT 1H 21),(222已知已知 ),(2221未知未知 nmYXU2221 nmSYXTw11 21122212 nmSnSmSw其中其中正態總體均值的檢驗正態總體均值的檢驗原假設原假設檢驗統計量檢驗統計量備擇假設備擇假設拒絕域拒絕域0H1H 21 21 uU uU 2/| uU 21 21 21 21 21 21 21 21 21)2( nmtT )2( nmtT )2(|2/ nmtT 原假設原假設檢驗統計量檢驗統計量備擇假設

18、備擇假設拒絕域拒絕域)( 未未知知 正態總體方差的檢驗正態總體方差的檢驗0H1H202 2022)1( Sn )1(22 n 202 202 202 202 202 )1(212 n 或或)1(22/2 n )1(22/12 n ),(21未未知知 2221 2221SSF )1, 1(21 nnFF 2221 2221 2221 2221 2221 )1, 1(211 nnFF 或或)1, 1(212/ nnFF )1, 1(212/1 nnFF 原假設原假設檢驗統計量檢驗統計量備擇假設備擇假設拒絕域拒絕域)(成成對對數數據據正態總體方差的檢驗正態總體方差的檢驗0H1H00 nSDTD/0

19、)1( ntT )1(1 ntT )1(|2/ ntT 00 00 00 00 00 第八章第八章 假設檢驗假設檢驗2 正態總體均值與方差的假設檢驗正態總體均值與方差的假設檢驗例例3 3 假設有假設有A,BA,B兩種藥兩種藥, ,試驗者欲比較它們在服試驗者欲比較它們在服用用2 2小時后血液中的含量是否一樣小時后血液中的含量是否一樣. .對藥品對藥品A,A,隨隨機抽取了機抽取了8 8個病人個病人, ,測得他們服藥測得他們服藥2 2小時后血液小時后血液中藥的濃度為中藥的濃度為1.23, 1.42, 1.41, 1.62, 1.55, 1.51, 1.60, 1.76.對藥品對藥品B,B,隨機抽取了

20、隨機抽取了6 6個病人個病人, ,測得他們服藥測得他們服藥2 2小小時后血液中藥的濃度為時后血液中藥的濃度為1.76, 1.41, 1.87, 1.49, 1.67, 1.81.假定這兩組觀測值是具有相同方差的正態分布假定這兩組觀測值是具有相同方差的正態分布, ,試在顯著水平試在顯著水平 下下, ,檢驗病人血液中這兩種檢驗病人血液中這兩種藥的濃度是否有顯著不同藥的濃度是否有顯著不同? ?10. 0 第八章第八章 假設檢驗假設檢驗2 正態總體均值與方差的假設檢驗正態總體均值與方差的假設檢驗0:, 0:211210 HH取統計量取統計量78. 1)12()2(05. 02 tnmt 查表得查表得拒

21、絕域為拒絕域為 W：由樣本值可計算得由樣本值可計算得由于由于 | T |= 1.541.78， 故接受故接受H0 ,解解: : )2(110 nmtnmSYXTw 21122212 nmSnSmSw其中其中)2(|2/ nmtT ,034. 0,03. 0,66. 1,51. 12221 SSYX18. 0 WST= -1.54即認為即認為血液中這兩種藥的濃度沒有顯著不同血液中這兩種藥的濃度沒有顯著不同. .第八章第八章 假設檢驗假設檢驗2 正態總體均值與方差的假設檢驗正態總體均值與方差的假設檢驗例例4 4 有兩臺光譜儀，用來測量材料中某種金屬有兩臺光譜儀，用來測量材料中某種金屬的含量，為鑒定

22、他們的測量結果有無顯著的差的含量，為鑒定他們的測量結果有無顯著的差異，制備了異，制備了9 9件試塊（它們的成份、金屬含量、件試塊（它們的成份、金屬含量、均勻性等均各不相同），現在分別用這兩臺儀均勻性等均各不相同），現在分別用這兩臺儀器對每一試件測量一次，得到器對每一試件測量一次，得到9 9對觀察值如下：對觀察值如下：x% 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00y% 0.10 0.21 0.52 0.32 0.78 0.59 0.68 0.77 0.89d=x% -y% 0.10 0.09 -0.12 0.18 -0.18 0.11 0.12 0.13 0.11問能否認為這兩臺儀器的測量結果有顯著的差異？）問能否認為這兩臺儀器的測量結果有顯著的差異？）（取（取01. 0 第八章第八章 假設檢驗假設檢驗2 正態總體均值與方差的假設檢驗正態總體均值與方差的假設檢驗0:, 0:0100 HH取統計量取統計量3554. 3)8()1(005. 02 tnt 查表得查表得拒絕域為拒絕域為 W：由樣本值計算得由樣本值計算得: :由于由于 | T | = 1.467 3.3554， 故