1、第九章第九章 梁的強度和剛度計算梁的強度和剛度計算梁橫截面上的正應力 梁橫截面上的剪應力 梁的強度計算 彎曲中心的概念 梁的變形和剛度計算 應力狀態和強度理論 小結第七章第七章 梁的強度和剛度計算梁的強度和剛度計算 本章研究梁的應力和變形計算，解決梁的強度和剛度計算問題。 梁的一般情況是橫截面上同時存在剪力和彎矩兩種內力，稱作剪力（橫力）彎曲。與此相應的截面上任一點處有剪應力和正應力。且剪應力只與剪力Q有關，正應力只與彎矩M有關。 橫截面上只有彎矩而沒有剪力的彎曲稱作純彎曲。 如圖簡支梁，AC、DB段為橫力彎曲；CD段為純彎曲。第一節 梁橫截面上的正應力 一、實驗觀察與分析： 為推導梁橫截面上

2、的正應力，考慮純彎曲情況。 用三關系法：實驗觀察平面假設；幾何關系變形規律，物理關系應力規律，靜力學關系應力公式。橫線仍為直線,但傾斜角度d；縱線由直變彎,仍與橫線正交, 凸邊伸長, 凹邊縮短；橫截面相對于縱向伸長區域縮 短，縱向縮短區域伸長。假設假設:平面假設變形前 后橫 截面保持平面不變； 中性層長度不變的纖維層； 中性軸中性層與橫截面的交線。 單向受力假設縱向纖維之間互不擠壓僅伸長或縮短。 二、正應力公式的推導： （一）變形幾何關系：;ydyddxS 取梁微段dx考慮變形幾何關系，得應變規律： 當M0時：y0,0，為受拉區；y0,0,上壓下拉；M5為細長梁，其計算誤差滿足工程精度要求0.

3、167h0.125h; (工字形工字形矩形矩形圓形圓形) 使截面兩邊 同時達到許 用應力；綜合考慮梁的有關剛度、穩定、使用要求及制造工藝等因素。 如：過分強調加大h值，可能使截面側向失穩；木梁不用工、 環形截面，以避免增加加工費等。第四節 彎曲中心的概念 當外力作用在梁的縱向對稱平面內時，梁產生平面彎曲。但截面沒有縱向對稱軸時，沿形心主軸作用的荷載不產生平面彎曲。 如圖槽形截面，P力使梁彎曲；截面上的剪應力流形成扭矩(腹板上的剪力Q和翼緣上的T可求其作用在A點的合力Q，Q與P形成扭矩)使梁扭轉；梁產生彎扭組合變形。 若使梁僅產生平面彎曲，P必須作用在過彎曲中心的縱向平面內。 任何形狀的截面都存

4、在彎曲中心。彎曲中心的位置與梁所受的荷載無關，只取決于截面的幾何形狀。 可以證明，彎曲中心位于截面的對稱軸上；中線交點；與形心重合。型鋼截面的彎曲中心可查有關圖表。 彎曲中心梁僅產生平面彎曲時，外力在截面上的作用位置。第五節 梁的變形和剛度計算 一、撓度和轉角 1、梁的撓曲線(彈性曲線)梁彎曲后的軸線，為一條光滑的平面曲線。 2、撓度y梁橫截面形心垂直桿軸方向的線位移,稱為該截面的撓度，用y表示，向下為正。(水平方向線位移略去不計) 3、轉角梁橫截面繞中性軸轉過的角度,稱為該截面的轉角，用表示，順時針為正。 單位：弧度。梁的撓度方程（撓曲線方程）： y=f（x） xfdxdytg梁的轉角方程：

5、 只要確定了梁的撓曲線方程，則任何橫截面的撓度和轉角都可由此求出。所以，求梁變形的關鍵是求出其撓曲線方程。單位：mm. 二、梁的撓曲線的近似微分方程式;(11zzEIxMxEIM）（推廣為式可由純彎曲梁的變形公忽略剪力對梁變形的影響，則工程中常用的細長梁的變形;)(),)(;)(1 )(1222222/3222zEIxMdxyddxdydxyddxdydxydx可得：的影響研究彈性小變形，忽略點的曲率公式考慮數學中曲線上任一 由所選坐標系和M的符號規定，取式中的負號。則得梁的撓曲線近似微分方程：zzEIxMyEIxMdxyd)()(22或 三、積分法計算梁的位移DcxdxdxxMEIy )()

6、(xMEIyCdxxMEIEIy)(; 0:; 0:0BAylxyx; 0:0: )(0AAylxx212121,;yyaxx懸臂梁： 在計算梁的位移時，對撓曲線近似微分方程 積分一次得轉角方程，積分兩次得撓度方程，此法稱為積分法。zEIxMy)( 對均質材料等截面直梁，EIz為常量。則由積分一次得轉角方程：積分兩次得撓度方程：式中積分常數C、D由邊界條件(梁中已知的截面位移)確定：簡支梁： 彎矩方程分段時的積分常數由連續條件(梁中已知的位移關系)確定： 積分常數確定后，即可由轉角方程和撓度方程求梁任一截面的轉角和撓度。例7-8 : 求圖示懸臂梁自由端的轉角和撓度，梁的EI為常數。xlpxMx

7、lpEIyCpxplxEI221DcxplxplxEIy326121lxEIplx22lxEIplxy362BByEIplB22maxEIplfyB33解：（1）建彎矩方程，列撓曲線微分方程： （2）將微分方程積分得： （3）當x=0時，A0, 得C=0； 當x=0時， yA=0, 得D=0; 所以轉角方程為： 撓度方程為：（4）求轉角 撓度 得： 四、疊加法計算梁的位移 1、疊加原理：在彈性小變形范圍內所求物理量（反力、內力、變形等）均與梁上荷載成線性關系，在這種情況下，幾項荷載同時作用產生的效應與每一項荷載單獨作用效應的代數和相等。 2、疊加法計算步驟：分解荷載(為每一荷載單獨作用情況)；

8、 分別計算各荷載單獨作用時梁的變形(對應截面的撓度和轉角可分別查梁的變形表確定，教材表8-1)； 疊加得最后結果(同一平面內荷載產生的變形代數相加，否則應該幾何相加)。2224143483845blEIpbffEIqlffpq324322453841pbpblqlEIfffpq 例7-9 求圖示簡支梁的最大撓度和轉角。梁的EI=常數,ab。 解：例7-10 等截面外伸梁如圖，試求C截面的撓度，梁的EI為常數。 解：分解梁為AB、BC兩段：alEIqaaEIlqaEIqayEIlqaEImlCB342468633242; ayyyyBcqccqcB例7-11 等截面懸臂梁如圖，試求C截面的撓度，

9、梁的EI為常數。解：分解荷載為1、2兩種情況：;841zcEIqly;38476)2(28)2(2434222zzzBBcEIqlEIlqlEIlqlyyzzzCCCEIqlEIqlEIqlyyy384413847844421五、梁的剛度校核 梁的剛度校核的目的是檢查梁在荷載作用下產生的位移是否超過設計規定的容許值。機械工程中，一般對撓度和轉角都進行校核；土建工程中，大多只校核撓度。 校核撓度時，通常是以撓度的容許值與跨度的比值 作為校核的標準。 由此建立梁的剛度條件：lf可查有關設計規范。_maxlfly 強度條件和剛度條件都是梁必須滿足的。土建工程中，一般情況下梁的強度條件起控制作用。設計

10、梁時，一般由強度條件選擇梁的截面，再校核剛度條件，不滿足時再設法減少梁的變形。 提高梁的抗彎剛度的措施：由 提高Wz/A的值；（與強度問題不同，局部增加慣性矩對梁整體變形的影響較小，應考慮加筋而不是加厚截面）減少梁跨度l或在跨中增加支座；增加材料的彈性模量E；但作用不大。因為高強度鋼材的E值與普通鋼材相近。znEIly系數荷載 例7-12 如圖，平面鋼閘門最底下一根主梁的計算簡圖，梁上作用有水壓力，其集度q=29.6kN/m，已選擇此梁為25b工字鋼， 試校核此梁的剛度。 解：梁的許用撓度為： ;500;101.25lfMPaE fmmmEIqlfcmImmlfzZ1 .120121. 010

11、96.5283101 . 238432. 4106 .295384596.52836 .不滿足剛度條件，應重新設計。選擇28b工字鋼，查表得：Iz=7480cm2。 fmmmf54. 800854. 0107480101 . 238432. 4106 .29581143所以應選28b工字鋼。 7-13 矩形截面懸臂梁如圖,已知: , 單位跨度內的許用撓度 .試校核該梁的強剛度. MPaEMPalf5102,120;2501 解:1.強度校核mkNPlM45315max322667620106cmbhWz MPaWMz5 .6710667104536max

12、max22010cmhb2.剛度校核433666712;3cmbhIEIPlfzzlfEIPllfz29411066671023315000381122結論: 該梁滿足強剛度要求.第六節 應力狀態和強度理論一、應力狀態的概念 過受力構件內一點所有截面上的應力情況總和，稱為該點的應力狀態。如拉壓桿斜截面應力：;2sin2;cos22 研究方法：取單元體。 主平面剪應力為零的面； 主應力主平面上的正應力； 主單元體三主平面組成的單元體； 三個主應力按代數值排列為：123 應力狀態的分類： 三向（空間）應力狀態三個主應力都不為零； 雙向（平面）應力狀態兩個主應力不為零；(為本節研究重點) 單向(簡單

13、)應力狀態兩個主應力為零。此外為復雜應力狀態。純剪切狀態各面只有剪應力而無正應力。如簡支梁。 二、平面應力狀態分析解析法)(2cos2sin2bxyx 1、平面應力狀態任意截面應力計算公式： 符號規定：拉為正；順時針為正；逆時針為正。 用與橫截面夾角為 的斜截面(面積為dA)截取楔形體，由)(2sin2cos22axyxyx 利用三角公式化簡整理可得： 同理，由Fy=0 可得： 0sinsinsincoscoscoscossin:0dAdAdAdAdAFyyxxn 2、主應力、主平面、主剪應力 由(a)、(b)式可確定應力的極值及其作用面方位。;90;),(,),(,)(2)2(;)2(2:0

14、12min1max112221minmaxxyxxyxyxXxyxyxtgdd;90;2)2(;)2(:01222minmaxxyxxyxtgdd；關系：45;121minmaxyx;22231max22minmaxxyx 三、平面應力狀態分析圖解法2222)2()2(xyxyx 整理(a)、(b)式得應力圓方程：)0 ,2(yx圓心坐標：22)2(xyx半徑：2. 對應關系： 單元體面上應力值應力圓上點的坐標； 單元體上角應力圓上同轉向2 角； 單元體起算面x面應力圓起算點C點。1. 應力圓的畫法：取坐標系o；作圓：以D為圓心，DC(DC)為半徑作圓。定圓心D：連C,C交軸于D點；定特征點C

15、,C：按比例量取x,y,x,y； 3. 用應力圓求解斜截面上的應力： 4. 用應力圓求主應力和主平面： 從應力圓上按比例量取B1,B2點的坐標即主應力1,2；量取圓心角21即可確定主平面（或用作圖法定）。 從C點按角轉向量出2圓心角定E點，按比例量E點坐標（OE,EE)即為，。;90;),(,),(,)(2)2(;)2(2:012min1max112221minmaxxyxxyxyxXxyxyxtgdd),(,max1xyx),(,min1xyx 5. 用應力圓求主剪應力： 從應力圓上按比例量取G1、G2點的縱坐標即max、min。且由圖上幾何關系知：;45;2121minmaxminmax

16、由圖還知：主剪應力平面上的正應 力值不為零。G1、G2點的橫坐標與圓心相同，等于 。)(21yx 應力圓上任一點都代表相應的應力情況。利用同弧圓周角是圓心角的一半的幾何關系，任意斜截面的方位、主平面、主剪應力作用平面的方位等，均可由主點K與相應點E、B1、B2、G1、G2等的連線方向直觀表示。 四、 三向應力圓： 最大剪應力作用面與3主平面垂直,且與1和2 主平面成450 角。231max 由空間應力狀態的主單元體，分別作三個主方向的平面應力圓，可得三向應力圓。 三向應力圓中的最大剪應力對應B點的縱坐標： 三向應力狀態中的最大正應力是1,最小正應力是3。min321max 其中的等號為三向應力

17、圓退化為平面應力圓或點圓。 五、 雙向和三向應力狀態的虎克定律： 彈性范圍內，材料處于單向應力狀態時的虎克定律: )(1)(1)(1123331223211EEEEE11211垂直該方向的線應變為EE22122垂直該方向的線應變為同理： 雙向應力狀態的虎克定律： 主應變-單元體在三個主應力作用下,沿著三個主 應力方向產生的正應變,用1 ,2, 3表示。主應變也存在關系：一般平面應力情況：GEExyxyxyyyxx/ )(/ )(EEE/ )(/ )(/ )(123122211 三向應力狀態的虎克定律：（各向同性材料的廣義虎克定律）min321max 六、復雜應力狀態下的應變能： 應變能由于彈性

18、變形而積蓄的變形能，稱為“彈性應變能”；簡稱應變能。 比能單位體積的應變能，也稱為能密度。以u表示。)(221133221232221Eu 比能可分解為兩部分：體積比能相應于體積改變而形狀不變的部分，以uv表示；形狀改變比能（歪形能密度）相應于形狀改變而體積不變的部分，以uf表示。2321)(621Euv)(31133221232221Euuuvf 七、主應力跡線的概念：22)2(2;12231tgbIQSIMyzzz梁內任一點都有兩個主應力,一為拉應力,二為壓應力, 兩者的方向是互相垂直的。 1. 梁的主應力：2. 梁的主應力跡線： 曲線上各點切線方向既為該點主應力方向的曲線。(各點主應力方

19、向的軌跡線） 在鋼筋混凝土梁中，受拉鋼筋的布置大致與主拉應力跡線一致。八、強度理論1. 單向拉（壓）強度條件：o極限應力;可由試驗確定。 塑性材料：os；脆性材料:ob；K0max復雜應力狀態下的材料實驗不易做。3. 強度理論關于材料破壞的主要因素的假說。四種常見的強度理論：（1）最大拉應力理論（第一強度理論）： 破壞因素：最大拉應力 破壞條件： 強度條件： 適用范圍：脆性材料b1相當應力。xdxd;11 ,（2）最大拉應變理論（第二強度理論）： 破壞因素：最大拉應變 破壞條件： 強度條件： 適用范圍：脆性材料bo)(;32111)(3212 .xd2. 材料的破壞形式:(1)脆性斷裂； （2

20、）塑性剪切；（3）最大剪應力理論（第三強度理論）： 破壞因素：最大剪應力 破壞條件： 強度條件： 適用范圍：塑性材料2231max313 ,xd（4）形狀改變比能理論（第四強度理論）： 破壞因素：形狀改變比能 破壞條件： 強度條件： 適用范圍：塑性材料s2/ )()()(2132322212/ )()()(2132322214,xd塑性材料梁的主應力強度計算：34; 0;)2(2224,223 ,2231xdxd例7-14 20a工字鋼制成簡支梁如圖所示,已知=150MPa,=95MPa,P=100KN,a=0.32m,l=2m,試對此梁進行強度校核。解 ： 作M圖,Q圖。Mmax=32KM.m Qmax=100KN 查表:Iz=2370cm4 ，W=237cm3， 20a工字鋼簡支梁,校核強度。已知:=150MPa,=95MPa，=100KN，a=0.32m，