1、§ 5.6 階電路的零輸入響應5.6.1 二階電路的初始條件初始條件在二階電路的分析進程中起著決定性作用，確定初始條件時，必須注意以下幾個方面。第一，在分析電路時，要始終仔細考慮電容兩端電壓UC的極性和流過電感電流iL的方向；第二，電容上的電壓總是連續的，即Uc(0)Uc(O)(5-31)流過電感的電流也總是連續的，即Ul(0)iL(0)(5-32)確定初始條件時，首先要用(5-31)和(5-32)式確定沒有突變的電路電流，電容電壓和電感電流的初始值。5.6.2 RLC串聯電路的零輸入響應如圖5-37所示為RLC串聯電路。開關S閉合前，電容已經充電，且電容的電壓uCU0,電感中儲存有

2、電場能，且初始電流為I。當t0時，開關S閉合，電容將通過Rl放電，其中一部分被電阻消耗，另一部分被電感以磁場能的形式儲存，之后磁場能有通過R轉換成電場能，如此反復；同樣，也有可能先是由電感儲存的磁場能轉換成電場能，并如此反復，當然也可能不存在能量的反復轉換。URUL由圖5-37所示參考方向，據圖5-37 RLC串聯電路的零輸入響應KVL可得且有iCCduCCR Ur式（5-33 ）Uc UrRi R喏LC嗎dt2UlUl 0diL -出duCRC一C dtd2uCLC C 。將其代入上式得 dtUc是RLC串聯電路放電過程以 uC為變量的微分方程,為一個線性常系數二階微分方程。如果以電流i作為

3、變量，則RLC串聯電路的微分方程為LCdpi RCdi i 0(5-34 )在此，僅以Uc為變量進行分析，令UcAept,并代入（5-33）,得到其對應的特征方程LCp2RCp10求解上式，得到特征根為'2P區工(5-35 )(5-36 )12L22LLCP2旦再2L.2LLC因此，電容電壓uc用兩特征根表示如下：PitP2tUcAieA2e從式（5-35）可以看出，特征根pi、p2僅與電路的參數和結構有關，而與激勵和初始儲能無關。Pi、P2又稱為固有頻率，單位為奈培每秒（Np/s）,它與電路的自然響應函數有關。10。將初始條件和式（5-36 ）C(5-37)根據換路定則，可以確定方程

4、（5-33）的初始條件為uc（0）uc（0）U0,i(0)i(0)I0,又因為icCduC,所以有CduCdtdt聯立可得AA2UoAPiA2P2首先討論有已經充電的電容向電阻電感放電的性質，即Uo 0 且 Io 0。有AA2(5-38 )P2U0P2PiPiU0P2Pi將A、A2的表達式代入（5-36）式即可得到RLC串聯電路的零輸入響應，但特征根Pi、奈培是一個無量綱單位，以奈培（JohnNaPier,英格蘭數學家）的名字命名。P2與電路的參數R、L、C有關，根據二次方程根的判別式可知卜面對這三種情況分別討論1. R2哈，過阻尼情況Pl、P2只有三種可能情況,在此情況下，訪、P2為兩個不相

5、等的實數，電容電壓可表示為(5-39 )U0PitP2tUcP2ePieP2PiUldueCU0PIP2CdtP2PiU 0Pit(eL(P2 Pi)PitP2 te eP2t)(5-40 )L包dtU。P2PiPitPieP2tP2e(5-41 )i其中利用了 P1P2的關系。LC由于Pi P2,因此t 0時,PitP2tP2P2PiPi0。所以t 0時uCP2Pi一直為正。從(5-40)可以看出，當t0時,i也一直為正,但是進一步分析可知,時,i(0 ) 0,當 t時，i()0,這表明i(t)將出現極值，可以求一階導數得到,PitP2tPieP2e其中tmaxP2lnRPiPitmax為電

6、流達到最大的時亥限UC、i、UL的波形如圖5-38所示。根據電壓電流的關系，可以求出電路的其他響應為圖5-38過阻尼放電過程中uC、i、u的波形CL從圖5-38可以看出，電容在整個過程中一直在釋放儲的電能，稱之為非振蕩放電，有叫做電感釋放能量，磁場衰減,過阻尼放電。當ttm時電感吸收能量，建立磁場；ttm時,趨向消失。當ttm時，電感電壓過零點。2. R2欠阻尼情況當R 2,歸時，特征根pi、 ,CP2是一對共軻復數，即Plk2Lj LC LC(5-42 )P2k2Lj.LC2RLC其中:R稱之為振湯電路的最減系數;LCR2稱之為振蕩電路的衰減角頻率。2L=稱之為無阻尼自由振蕩角頻率，或浮振角

7、頻率。LC顯然有222o,令 arctan 一 ,則有0 cos0 sin ,如圖 5-39所示。(5-43 )U0J2U0 0 t ej t e j t e J2U0e tsin( t )根據式(5-40) , (5-41 )可知.U0i 一eLUtsin( t)Ul00 - te sin( t )(544)(5-45 )(5-46 )從上述情況分析可以看出,Uc、i、Ul的波形呈振蕩衰減狀態。在衰減過程中，兩種儲能元件相互交換能量，如表5-2所示。Uc、i、Ul的波形如圖5-40所示。圖5-39n之間的關系0000根據歐拉公式jecosjsinj.ecosjsin可得Pi0e,P20e所以

8、有ucU0p2ep1tPieP2tP2PiAAJtWAJt0ee0ee圖5-40欠阻尼情況下uc、i、uL的波形表5-20t0tt電容釋放釋放吸收電感吸收釋放釋放電阻消耗消耗消耗從欠阻尼情況下uc、i、ul的表達式還能得到以下結論：(1) tk,k0,1,2,3.為電流i的過零點，即uc的極值點。(2) tk,k0,1,2,3為電感電壓Ul的過零點，即電流i的極值點。(3) tk,k0,1,2,3.為電容電壓Uc的過零點。在上述阻尼的情況中,有一種特殊情況,0,此時p1、p2為一對共軻虛數,Pi j 0(5-47 )i U0CL-sin(0t)(5-48 )UlU°sin( 0t )

9、2(5-49 )P2j0代入至ij(5-44),(5-45),(5-46)式可得UcU°sin(由此可見，Ui、Ul各量都是正弦函數，隨時推移其振幅并不衰減。其波形如圖5-41所示3. Ruc、圖5-41 LC零輸入電路無阻尼時i、Ul波形2注,臨界阻尼情況在此條件下，特征方程具有重根，即P1P2R2L全微分方程(5-33)的通解為Uc(A1A2t )e 2t根據初始條件可得所以，很容易得到A UoA2 2UoUc iUlUo(1t)eUotte(5-50 )(5-51 )LdtUoe t(1t)(5-52 )顯然，uC、i圖5-47 RLC串聯電路的零狀態響應Ul不作振蕩變化，隨著

10、時間的推移逐漸衰減，其衰減過程的波形與圖5-38類似。此種狀態是振蕩過程與非振蕩過程的分界線，所以將R2屋的過程稱為臨界非振蕩過程，其電阻也被稱之為臨界電阻。§ 5.7 階電路的零狀態響應如果二階電路中動態元件的儲能（電容儲存電場能與電感儲存的磁場能）均為零時，其響應僅由外施激勵產生，稱為二階電路的零輸入響應。5.7.1 RLC串聯電路的零狀態響應電路如圖5-47所示，開關S閉合前，電容和電感電流均為零。t0時，開關S閉合。以Uc為電路的變量，根據VC濟口KVL,有LCd-uCRC-duCucUs（5-63）dt2dt方程（5-64）為二階常系數非齊次微分方程，其解由兩部分組成，一部

11、分為非齊次方程的特解UcUs,另一部分為對應齊次方程的通解UcAept,即UcUcUc。方程（5-63）對應的齊次微分方程12.,八ducduc(5-64 )LC2CRCcuc0dtdt方程（5-64）與方程（5-33）完全相同，其對應的特征方程的根也有三種情況。將結論分別表不如下其中UcS血即PiP2Piep2t)UsUlUsL(Pi P2)(ep1tep2t)PiU SPit(PieP2P2tP2e)Pi、p2為特征根，表達式與（5-35）式相同。UL、i和Uc的波形如圖5-48所示,圖5-48uL、i和Uc的波形圖其中t一1一in匹t，是電感電壓過零點，也是電流i達到最大值的時亥限max

12、max,P2PiP12.R2dL振蕩充電過程,c電路響應表布為UcUc(i2t)e2tUsULSte2tUlUset(it)R其中，此情況下的充電過程也為非振蕩充電。2L5.7.2RLC并聯電路的零狀態響應二階RLC并聯電路如圖5-49所示，uC(0)0,iL(0)0。t0時，開關S斷開。根據KCL有iCiRiLiS圖5-49 RLC并聯電路的零狀態響應如果以1為待求變量，則有LC,2.d iLdt2£diLR dti L iS(5-65 )方程以(5-65)是二階線性非齊次常微分方程，與(5-63)式的求解過程相同，其通解由特解iL和對應齊次微分方程通解iL兩部分組成。如果is為直

13、流激勵或正弦激勵，則取穩態解1為特解而通解iL與零輸入響應形式相同，其積分常數有初始條件來確定。§5.8二階電路的全響應在前兩節中所討論的二階電路中，要么只有初始儲能，要么只有外施激勵。分別得到二階微分方程求解的方法非常相似。如果二階電路既有初始儲能又接入了外施激勵，則電路的響應稱為二階電路的全響應。分析一階電路的全響應的方法在二階電路中同樣適用，一般用零輸入響應與零狀態響應疊加來計算全響應。例電路如圖5-51所示，已知uC(0)0,iL(0)0.5A,t0時開關S閉合，求開關閉合后電感中的電流iL(t)。例5-12圖圖5-51解：開關S閉合前，電感中的電流iL(0)0.5A,具有初始儲能；開關S閉合后，直流激勵源作用于電路，故為二階電路的全響應。(1)列出開關閉合后的電路微分方程,列結點KVL方程有10LdiLdt.RRLCd2iLdt2LdiL dtRiL 10將參數代入得也dt21 diL5 dt2RiL設電路全響應為iL(t) iL iL(2)根據強制分量計算出特解為10iL 一5(3)為確定通解，首先列出特征方程為2(A)特征根為:1 5pP10.1j0