1、3/22/202213/22/202223/22/2022314-1 理想氣體壓強和溫度的統計意義理想氣體壓強和溫度的統計意義 14-2 能量均分定理能量均分定理 理想氣體的內能理想氣體的內能 14-3 粒子的經典統計分布粒子的經典統計分布14-4 氣體分子的碰撞及其遷移現象氣體分子的碰撞及其遷移現象14-5 粒子的統計分布粒子的統計分布 414-1理想氣體壓強和溫度理想氣體壓強和溫度的統計意義的統計意義 51.系統的含義及其狀態參量系統的含義及其狀態參量 一、系統的狀態及其描述在熱學中，我們所研究的對象是由大量的微觀在熱學中，我們所研究的對象是由大量的微觀粒子所組成的物系，這個物系稱為粒子所

2、組成的物系，這個物系稱為熱力學系統熱力學系統，簡，簡稱稱系統系統。系統以外的物體稱為。系統以外的物體稱為外界外界。1)系統系統6TVp,壓強壓強 p： 力學力學描述描述 單位單位: 2mN 1Pa 1Pa 1001. 1atm 15標準大氣壓標準大氣壓:體積體積V : 幾何幾何描述描述l 10m 133單位單位: 溫度溫度T: 熱學熱學描述描述tT273單位單位: K ( (開爾文開爾文) ).2)狀態參量狀態參量73)平衡態平衡態一定量的氣體，一定量的氣體，在不受外界的影響下，經過一在不受外界的影響下，經過一定的時間，系統達到一個定的時間，系統達到一個穩定的宏觀性質穩定的宏觀性質不隨時間不隨

3、時間變化的狀態稱為平衡態變化的狀態稱為平衡態. . 氣體在平衡態下有確定的溫度，壓強，體積，在氣體在平衡態下有確定的溫度，壓強，體積，在PV圖中，一個點就表示氣體的一個平衡態。圖中，一個點就表示氣體的一個平衡態。TVp,TVp,真真 空空 膨膨 脹脹pVo),(TVp),(TVp8 宏觀宏觀量量: 表示大量分子集體特征的物理量表示大量分子集體特征的物理量(可可直接測量直接測量), 如如 p，V，T 等等. 微觀微觀量量: 描述個別分子運動狀態的物理量描述個別分子運動狀態的物理量(不不可直接測量可直接測量)，如分子的，如分子的m ， 等等.v宏觀宏觀量量微觀微觀量量統計平均統計平均2 .宏觀量與

4、微觀量宏觀量與微觀量 9理想氣體物態方程理想氣體物態方程 (1)mpVRTM(2) nKT單位體積的分子數其中VNn 稱玻爾茲曼常數稱玻爾茲曼常數pRTmVNNmo1231038. 1KJNRKomRTMV11KmolJ 31.8R摩爾氣體常量摩爾氣體常量質量質量m摩爾質量摩爾質量M普適氣體普適氣體恒量恒量R101 1）分子可視為質點；分子可視為質點；2 2）除碰撞瞬間除碰撞瞬間, , 分子間無相互作用力；分子間無相互作用力；1. 理想氣體分子模型理想氣體分子模型3 3）彈性質點（碰撞均為完全彈性碰撞）；彈性質點（碰撞均為完全彈性碰撞）；理想氣體可看成大量自由地、無規則運動著理想氣體可看成大量

5、自由地、無規則運動著的彈性球分子的集合。的彈性球分子的集合。二、理想氣體分子模型和統計假設112.統計假設統計假設1) 1) 分子按位置的分布是均勻的分子按位置的分布是均勻的，即每個分子在容，即每個分子在容器內空間任何一點出現的概率是一樣的。器內空間任何一點出現的概率是一樣的。 0zyxvvv各方向運動概率均等各方向運動概率均等222231vvvvzyx 各方向運動各方向運動概概率均等率均等2)2)分子速度按方向的分布是均勻的，分子速度按方向的分布是均勻的，即每個分子向即每個分子向各個方向運動的機會各個方向運動的機會( (或概率或概率) )是均等的，因此速度是均等的，因此速度的每個分量的平均值

6、應相等，即的每個分量的平均值應相等，即 ddNNnVV12密集雨點對雨密集雨點對雨傘的沖擊力傘的沖擊力1.理想氣體壓強公式理想氣體壓強公式大量氣體分子對器壁持大量氣體分子對器壁持續不斷的碰撞產生壓力續不斷的碰撞產生壓力 類似氣體分子氣體分子器器壁壁三、理想氣體的壓強1. 一個分子碰撞器壁給器壁的沖量；2. 所有分子碰撞給器壁的總沖量；3. 總沖量除以時間、面積即得壓強。壓強公式推導的步驟：13oyzxyzx1) 一個分子與一個分子與 A 1 碰撞時動量變碰撞時動量變化及施于化及施于 A1 的沖量的沖量2.統計解釋統計解釋長方體容器內有長方體容器內有 N 個同類氣體分子個同類氣體分子,每個分子質

7、量每個分子質量 m。由統計假設，各器面壓強相等。由統計假設，各器面壓強相等。考察考察 A 1 面面ivi速速度度分分子子2222iziyixivvvv 完全彈性碰撞完全彈性碰撞 , 動能不動能不變，故速度大小不變變，故速度大小不變 ：ixixiziyvvvv 變變為為不不變變，、與與 A1 碰撞一次，動量變化為碰撞一次，動量變化為()2ixixixm vm vm v xvmxvm-2Av1A14xvmxvm-2Avoyzxyzx1A 一個分子一個分子與與A1 碰撞一次，動量變化為碰撞一次，動量變化為()2ixixixmvmvmv 等于等于 A 1 施于分子的沖量施于分子的沖量分子施于分子施于

8、A1 沖量沖量2ixm v ixivlt/21 所所用用時時間間t 時間內碰撞次數時間內碰撞次數12/ltvttixi t 時間內分子施于時間內分子施于 A1 的沖量為的沖量為21122ixixixvtmtm vvll分子從分子從A1A2A115t 時間內分子施于時間內分子施于 A1 的沖量為的沖量為21122ixixixvtmtm vvll2 ) 全部氣體分子與全部氣體分子與 A1碰撞時施于碰撞時施于A1的總沖量的總沖量3）求壓強）求壓強tFI 221111NNixixiimtmtIvvll212m v為氣體分子平均動能平均值SFP tllI 32211 2 3Niximvl l l21 2

9、 3ixvNml l lN22xxNm vnm vV21233nm vn1623pn 統計關系式統計關系式壓強的物理壓強的物理意義意義宏觀可測量量宏觀可測量量微觀量的統計平均值微觀量的統計平均值思考思考 ： 為何在推導氣體壓強公式時不考慮分為何在推導氣體壓強公式時不考慮分子間的相互碰撞子間的相互碰撞 ？17四、溫度的統計意義mPVRTMnP32P = nKT將將 式比較式比較氣體溫度的本質：氣體的溫度是氣體分子氣體溫度的本質：氣體的溫度是氣體分子平均平動功能的量度。含有統計的意義。平均平動功能的量度。含有統計的意義。nkTnP3221322m vkT方均根速率方均根速率21322m vkT23

10、3kTRTvmM 18 14-2 能量均分定理能量均分定理 理想氣體內能理想氣體內能19一、自由度確定物體空間位置所需要的獨立坐標數目確定物體空間位置所需要的獨立坐標數目剛性分子剛性分子：分子內原子間距離保持不變的分子：分子內原子間距離保持不變的分子He2OOH23NH20單原子分子單原子分子 ： i = 3 (平動自由度平動自由度)xzy),(zyxC單原子分子單原子分子雙原子分子雙原子分子 ： i = 3（平動）（平動）+ 2（轉動）（轉動）= 5 xzy),(zyxC雙原子分子雙原子分子三原子及多原子分子三原子及多原子分子: i = 3(平動平動)+ 3（轉動）（轉動）= 6剛性分子的自

11、由度剛性分子的自由度 ：21213()22tm vkT平均平動動能)(312222統統計計假假設設vvvvzyx 22211122212xyzm vm vm vkT推廣到轉動和振動推廣到轉動和振動，則有，則有 在溫度為在溫度為 T 的平衡態下，物質（氣、固、液）分子的平衡態下，物質（氣、固、液）分子的每一個自由度的平均動能都是的每一個自由度的平均動能都是 k T / 2 能量均分定理（統計規律）能量均分定理（統計規律）二、能量均分定理22簡諧振動一周期內的平均動能等于平均勢能簡諧振動一周期內的平均動能等于平均勢能 。 對于一個振動自由度，分子平均動能和平均勢能各為對于一個振動自由度，分子平均動

12、能和平均勢能各為 k T / 2 。分子平均總能量分子平均總能量kTikTsrt2221 ）（ 平均振動勢能平均振動勢能 若氣體分子平動自由度為若氣體分子平動自由度為 t ，轉動自由度為，轉動自由度為 r ，振動自由，振動自由度為度為 s，則，則分子平均總動能分子平均總動能kTsrt）（ 21 23內能內能動能動能勢能勢能理想氣體內能理想氣體內能動能（平動、轉動、振動）動能（平動、轉動、振動）振動勢能振動勢能2iNkT2i mRTM2ipV理想氣體內能是溫度的單值函數：理想氣體內能是溫度的單值函數：E = E（T）。）。實際氣體內能是狀態的單值函數：實際氣體內能是狀態的單值函數：E = E（T

13、，V）。）。三、理想氣體的內能NE 24例例14-3 求求 1 mol He 、N2、NH4 氣體在氣體在T=300K時的內時的內能之和。能之和。 解：解：He 單原子分子，單原子分子， i = 3 2HeiERT38.31 300233.74 10 J雙原子分子，雙原子分子，i = 5252OERT36.2310 J多原子分子，多原子分子，i = 6262COERT37.4810 JN2NH4把把He 、N2、NH4 都看作理想氣體都看作理想氣體2514-3 粒子的經典統計分布粒子的經典統計分布26一、測定氣體分子速率分布的實驗OOT2SRABC1S3SGAB 分子束中分子束中各個分子的速率

14、不同各個分子的速率不同，因而打在，因而打在玻璃板玻璃板G上的位置上的位置也不同，速率高的分子打在也不同，速率高的分子打在A端端，速率低的打在，速率低的打在B端端。由于各種。由于各種速率的分子數不一樣，所以，在玻璃板上各速率區間分子數的速率的分子數不一樣，所以，在玻璃板上各速率區間分子數的分布情況如右圖。分布情況如右圖。 27設設 ：氣體總分子數：氣體總分子數：N速率分布在速率分布在 v v + dv 區間內的分子數：區間內的分子數：dN定義：定義： 在速率在速率 v 附近單位速率區間內的分子數占總分子數的附近單位速率區間內的分子數占總分子數的百分比百分比 為為 速率分布函數速率分布函數Ndvd

15、vvf )( v1 v2 內分子數占總分子數的百分比內分子數占總分子數的百分比dvvfNNvv 21)(2. 歸一化條件歸一化條件dvvfNdN)( dNN 0)(dvvfN0()1fv d v1. f（v）二、速率分布函數281. 定律內容定律內容 在平衡狀態下，當氣體分子間的相互作用可以忽略時在平衡狀態下，當氣體分子間的相互作用可以忽略時 , 分布在任一速率區間分布在任一速率區間 v v + dv 內的分子數為內的分子數為 232224()2m vkTmdNNev dvkTN：氣體分子總數：氣體分子總數T：氣體熱力學溫度：氣體熱力學溫度2. 速率分布函數速率分布函數223224()2m v

16、kTmevkTNdvdNVf )(m :每個分子質量每個分子質量三、麥克斯韋速率分布律2923222( )4()2m vkTmf vevkT0v0)(vf v0)(vf2220m vkTevov)(vfPv1v2vS3. 速率分布曲線及其特征速率分布曲線及其特征30 與與f（v）的極大值相對應的）的極大值相對應的速率速率 最概然速率最概然速率 。 物理意義：物理意義： 把氣體分子速率分成許多相等的小區間，則氣體在一定把氣體分子速率分成許多相等的小區間，則氣體在一定溫度下分布在溫度下分布在 v p 所在區間內的相對分子數最多。所在區間內的相對分子數最多。 v p 的大小的大小（求極值）（求極值）

17、2PkTvm2RTM1.41RTM223222224 ()2022m vm vkTkTdfmm vevevdvkTkTov)(vfPvPv1. 最概然速率最概然速率四、3種特征速率31v大量氣體分子速率的算術平均值大量氣體分子速率的算術平均值平均速率平均速率 NiiNvv1應用速率分布函數計算應用速率分布函數計算dvvNfdN)( d N 個分子速率的總和為個分子速率的總和為dvvNvfvdN)( Nvdvv 0)(dvvvf2322304 ()2mvkTmev dvkT322124()()22mkTkTm8kTvm8RTM1.60RTM2. 平均速率平均速率32大量氣體分子速率平方平均值的平

18、方根大量氣體分子速率平方平均值的平方根 方均根速率方均根速率 。 022)(dvvfvv3 k Tm事實上事實上：23122tkTm v23kTvm23kTvm3RTM1.73RTM2v3. 方均根速率方均根速率33例例 14-5 求：求：(1)在標準狀態下，氮分子的三種速率；在標準狀態下，氮分子的三種速率；(2)當分子以最概然速率運動時的平均平動動能當分子以最概然速率運動時的平均平動動能(T=273.15 K, ，），）11R8.31J Kmol21M2.8 10 kg mol解解 ： (1) 2222 8.31 273.154.03 102.8 10PRTvM21288 8.31 273.

19、154.54 102.8 10RTvm sM221233 8.31 273.154.93 102.8 10RTvm sM(2) 22222212312.8 104.027 103.77 10222 6.023 10kPPAMEmvvN34五、玻爾茲曼分布律分子處于保守力場時，麥克斯韋速率分子處于保守力場時，麥克斯韋速率分布律中的指數項應以總能量分布律中的指數項應以總能量 代替動能代替動能 ，這樣在保守力場，這樣在保守力場中分子的空間分布也不均勻。中分子的空間分布也不均勻。pkEEE221mvEk 玻爾茲曼計算得到系統在某一微小區域玻爾茲曼計算得到系統在某一微小區域 x-x+dx，y-y+dy，

20、z-z+dz 及及 vx-vx+dvx， vy-vy+dvy， vz-vz+dvz 的分子的分子數為數為dN玻爾茲曼玻爾茲曼EkTxyzdNCedv dv dv dxdydz35C為比例常數，與速率和位置無關。令為比例常數，與速率和位置無關。令，可得經典粒子按能量而分布的函數。，可得經典粒子按能量而分布的函數。1CA 1EEkTkTf ECeeA麥克斯韋麥克斯韋-玻耳茲曼分布，簡稱玻耳茲曼分布，簡稱MB分布。分布。3614-4 氣體分子的碰撞氣體分子的碰撞及其遷移現象及其遷移現象37一、氣體分子碰撞為此，克勞修斯為此，克勞修斯提出了提出了分子碰撞次數分子碰撞次數與與自由程自由程的的概念。概念。

21、molMRT60. 1氮氣分子在氮氣分子在270C時的平均速率為時的平均速率為476m.s-1.矛盾矛盾氣體分子熱運動平均速率高，氣體分子熱運動平均速率高，但氣體擴散過程進行得相當慢。但氣體擴散過程進行得相當慢。氣體分子氣體分子平均速率平均速率38設一個分子以平均速度運動，其余分子不動。設一個分子以平均速度運動，其余分子不動。1.平均碰撞次數平均碰撞次數39設一個分子以平均速度運動，其余分子不動。設一個分子以平均速度運動，其余分子不動。1.平均碰撞次數平均碰撞次數分子的分子的碰撞截面碰撞截面 = d 2 t內，內，A走過的路程走過的路程tv tv 圓柱體的體積圓柱體的體積 t時間內與時間內與A

22、相碰的分子數相碰的分子數vnttvnZ nvdnvZ222 平均碰撞次數平均碰撞次數考慮其它分子的運動考慮其它分子的運動402.平均自由程平均自由程ndZv221pdkT22 nkTp 在標態下，多數氣體平均自由程在標態下，多數氣體平均自由程 10-8m，只有氫氣約為，只有氫氣約為10-7m。一般一般d10-10m，故，故 d。可求得平均碰撞次數。可求得平均碰撞次數109/秒。秒。平均自由程與平均平均自由程與平均速率無關，與分子有效直速率無關，與分子有效直徑及徑及分子數密度有關分子數密度有關。p 1.013105 1.33102 1.33 1.3310-2 1.3310-4 610-8 510

23、-5 510-3 0.5 50 41熱傳導現象熱傳導現象由于氣體內部由于氣體內部溫度溫度不同而產生的能不同而產生的能量的遷移現象量的遷移現象擴散現象擴散現象 由于氣體內部由于氣體內部分子數密度分子數密度不同而產生不同而產生的質量的遷移現象的質量的遷移現象粘滯現象粘滯現象由于氣體內部各氣層由于氣體內部各氣層流速流速不同而產生不同而產生的動量的遷移現象的動量的遷移現象二、氣體的遷移現象氣體內部因密度、溫度、流速氣體內部因密度、溫度、流速不均勻不均勻而引而引起的由非平衡態向平衡態轉變的過程，稱為氣起的由非平衡態向平衡態轉變的過程，稱為氣體內的遷移現象或輸運現象。體內的遷移現象或輸運現象。 422）宏觀規律）宏觀規律在在dt內通過內通過dS面傳遞的這種面傳遞的這種組分的質量為組分的質量為1）基本概念：）基本概念：兩種物質