1、北京市東城區2020學年度第二學期高三綜合練習(一)數學(理科)學校 班級 姓名 考號第I卷(選擇題共40分)、本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目 要求的一項。(1)已知復數i (1+ai)為純虛數，那么實數 a的值為(A)1(B) 0(C) 1(D) 2(2)集合A x | x a, B x | x2 5x 0,若AI B B ,則a的取值范圍是(A) a 5(B) a 4(3)某單位共有職工150名，其中高級職稱 45人,中級職稱90人，初級職稱15人.現采用分層抽樣方法從中抽取容量為30的樣本，則各職稱人數分別為(A) 9,18,3(B)10,1

2、5,5(C) 10,17,3(D) 9,16,5(4)執行如圖所示的程序框圖，輸出的 S值為/八、1(A)(B) 12(C)2(D) 4(C)a 5(D) a 4開始1截得的線段長為(5)在極坐標系中，直線 sincos 1被曲線(B) 1(D) 72(6) 一個幾何體的三視圖如圖所示，那么該幾何體的最長棱長為(A) 2(B) 2拒一1 '1，側(左)視圖(C) 3(D) /O(7)已知三點P (5, 2)、Fi ( 6, 0)、F2 (6, 0)那么以 F1、F2為焦點且過點P的橢圓的短軸長為(A) 3(B) 6(C) 9(D) 12(8)已知已£2為平面上的單位向量,e1

3、與e2的起點均為坐標原點uuv平面區域D由所有滿足OPe2的點P組成，其中1,，那么平面區域的面積為(A)2(B) 33(D)費45第II卷(共110分)二、填空題：本大題共 6小題，每小題5分，共30分。(9)在(2x 2)5的展開式中，x3的系數值為_.(用數字作答 4x(10)已知等比數列an中，a2 2 , a3ga4 32 ,那么a8的值為.(11)如圖，圓。的半徑為1, A,B,C是圓周上的三點，過點 A作圓O的切線與OC的延長線交于點 P,若CP AC ,則 COA _; AP3 一(12)右sin(一)一,且45(0,-),則sin 2的值為4(13)某貨運員擬運送甲、乙兩種貨

4、物，每件貨物的體積、重量、可獲利潤以及運輸限制如 卜表：貨物體積(升/件)重量(公斤/件)利潤(元/件)甲20108乙102010運輸限制110100在最合理的安排下，獲得的最大利潤的值為(14)已知函數f(x) lnx,關于x的不等式f(x) f (X0)c(x x°)的解集為(0,),其中M (0,), c為常數.當x0 1時，c的取值范圍是 ;H x0 ,時，c的值是一 2三、解答題：本大題共 6小題，共80分。解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。(15)(本小題共13分)ABC 中，BC 2戶AC 2 ,且 cos AAB的長度;(H)若f(x) sin(2x C),求y

5、 f(x)與直線y相鄰交點間的最小距離.2(16)(本小題共14分)已知三棱柱 ABC AB1G中，A1A 底面ABCBAC 90,AiA 1, AB v'3 , AC 2,E、F分別為棱C1C、BC的中點.(I)求證AC A1B ；(n)求直線EF與A1B所成的角;(出)若G為線段AA的中點，A1在平面EFG內的射影為H ,求 HAA.(17)(本小題共13分)現有兩個班級，每班各出 4名選手進行羽毛球的男單、女單、男女混合雙打(混雙)比賽(注：每名選手打只打一場比賽).根據以往的比賽經驗，各項目平均完成比賽所需時間如圖表所示，現只有一塊比賽場地，各場比賽的出場順序等可能比賽項目男單

6、女單混雙平均比賽時間25分鐘20分鐘35分鐘(I)求按女單、混雙、男單的順序進行比賽的概率;(II )求第三場比賽平均需要等待多久才能開始進行;(III )若要使所有參加比賽的人等待的總時間最少，應該怎樣安排比賽順序(寫出結論即可).(18)(本小題共14分)設函數 f (x) aex x 1 , a R .(I)當a 1時，求f(x)的單調區間;(n)當 x (0,)時，f(x) 0恒成立，求a的取值范圍;(出)求證：當 x (0,)時,xe 1lnx(19)(本小題共13分)已知拋物線C:y2 2 Px (p 0),焦點F , O為坐標原點，直線 AB (不垂直x軸) 過點F且與拋物線C交

7、于A, B兩點，直線OA與OB的斜率之積為 p .(I)求拋物線C的方程；4 一，、 OD(n)若M為線段AB的中點，射線 OM交拋物線C于點D ,求證： 2 2.OM(20)(本小題共13分)m-1數列an中，給定正整數m (m 1) , V(m)ai 1 ai .定義：數列an滿足i 1ai 1 ai (i 1,2,L L ,m 1),稱數列an的前m項單調不增.(I)若數列an通項公式為：an ( 1)n,(n N*),求V(5).(n)右數列an滿足：a1 a, am b, (m 1, m N , a b),求證 V(m) a b 的 充分必要條件是數列an的前m項單調不增.(出)給定

8、正整數 m (m 1),若數列an滿足：an 0, (n 1,2,L L ,m),且數列an的前m項和m2,求V(m)的最大值與最小值.(寫出答案即可)北京市東城區2015-2016學年度第二學期高三綜合練習(一) 數學參考答案及評分標準(理科)一、選擇題(本大題共 8小題，每小題5分，共40分)(1) B A (3) A (4) C (5) D (6) C (7) B (8) D、填空題（本大題共 6小題，每小題5分，共30分）(9) 20( 10) 128 (11),事3(12) (13)6225(14)1,0 ,2.注：兩個空的填空題第一個空填對得3分,第二個空填對得 2分.三、解答題（

9、本大題共 6小題，共80分）（15）（本小題共13分）解：(I) Q cosC coscos A B -2450Q BCAB2AB2,2, ACAC2BC2(n)由 f (x)sin(2 x解得解得因為所以2x2k（I ）證明XiXiki當 f(x)(16)(共 14 分)所以因為所以2,2AC ? BC cosC (2 . 2) 2 22 8、2 cos45°一或2x 32k4或24(kiX2k25,K,卜2 Z .24k2)） 一,當kk2時取等號6e時,相鄰兩交點間最小的距離為2因為三棱柱 ABC A1B1C1, AA1 底面ABCAC AA .BAC 90 ,AC AB .1

10、3因為 A1AI AB A,所以AC 平面AABBi.因為AB 平面A1ABB1,所以AC A1B.(n)解如圖建立空間直角坐標系 A xyz ,則 A1 0,0,1 , B 33,0,0 ,1E 0,2,2,3F 子1,0 .所以 AB73,0, i ， ef , % 122所以因為AB EFAiB EF90°,所以直線EF與A1B所成的角為45_ 1（出）解 設G 0,02則 GE 0,2,0 , GFAH所在直線的向量與平面 GEF的法向量平行v設平面GEF的法向量為，n (x, y,z),因為GEGF所以2y 0, 3 x y 20.令 z 石，則 n1,0,73.所以 AH

11、所在直線的單位向量為 e 1 0 立2, 2uuv 因為 AA1 (0,0,1),所以 cos AA1,e3-.uuu r.因為 0 (AAi,e),所以HA1A .1 4分16（17）（本小題共13分）解：（I）三場比賽共有 A3 6種方式，其中按按女單、混雙、男單的順序進行比賽只有11種，所以按女單、混雙、男單的順序進行比賽的概率為1 .分6（II ）令A表示女單比賽、B表示男單比賽、C表示混雙比賽.按ABC順序進行比賽，第三場比賽等待的時間是：t1 20 25 45 （分鐘）.按ACB順序進行比賽，第三場比賽等待的時間是：t2 20 35 55 （分鐘）.按BAC順序進行比賽，第三場比賽

12、等待的時間是：t3 20 25 45 （分鐘）.按BCA順序進行比賽，第三場比賽等待的時間是：t4 35 25 60 （分鐘）.按CAB順序進行比賽，第三場比賽等待的時間是：t5 35 20 55 （分鐘）.按CBA順序進行比賽，第三場比賽等待的時間是：t6 35 25 60 （分鐘）.1且上述六個事件是等可能事件，每個事件發生概率為1 ,所以平均等待時間為645 45 55 55 60 60 160八- 11分63（III ）按照比賽時間從長到短的順序參加比賽，可使等待的總時間最少13分(18)(共 14 分)解：(i)當a 1時，則f (x)則 f '(x) ex 1.令 f

13、9;(x) 0,得 x 0.所以當x 0時，f'(x) 0,f (x)在當 x 0 時，f'(x) 0 , h(x)在(0,當 x 0 時，f(x)m.f(0) 0.(n)因為 ex 0 ,x,000,f'(x)一0+f(x)0,0上單調遞減;）上單調遞增;x 1所以f (x) ae x 1 0恒成立，等價于a 一二恒成立. e x 1僅 g(x)x 0,),e得 g(x)ex (x 1)ex2xe當 x 0,)時，g'(x) 0,所以 g(x)在0,)上單調遞減，所以 x (0,)時，g(x) g(0) 1 .x 1因為a恒成立，e所以a 1,).xxe 1

14、x(出)當 x (0,)時，lne ，等價于 ex xe2 1 0.x 2x設 h(x) ex xe2 1, x 0,).xx x x求導，得 h'(x) ex e2 e2 e2(e2 - 1) .2211分由（I）可知，x （0,）時,xe x 1 0恒成立.所以 x (0,)時，-(0, 2x二 x)，有 e2 1 0.2所以 h'(x)0 .h(x) h(0) 0 .所以h(x)在(0,)上單調遞增，當x (0,)時, ex 114分因此當x (0,)時，Ine一1 x(19)(共 13 分) 解：(I)因為直線AB過點F且與拋物線C交于A, B兩點,P f(5,0),設 A(x1,y1), B(x2,y2),直線 AB (不垂直 x軸)的方程可設為 y k(x -p) (k 0).222_所以 y12 px1( p 0) , y22 px2 .因為直線OA與OB的斜率之積為所以空x1x2所以呼)2xx2y k(x 1),y2 2 px,2 2消 y 得 k2x2 (k2p 2 p)x 04其中 V (k2p 2p)2 k2p2k2 02所以 xx2- , xx24k2P 2Pk2所以p 4 ,拋物線C :