1、建模模型和技巧常亮常亮常用數學建模思想常用數學建模思想一常用數學建模模型常用數學建模模型二如何處理建模中的特殊數據？如何處理建模中的特殊數據？三數學建模比賽注意？數學建模比賽注意？四常用數學建模思想常用數學建模思想 一一 一般包括問題分析、模型假設、建立模型、求解模型和驗證模型等五個步驟。 數學建模的常用思想數學建模的常用思想 一一 數學公式定理模型方程、函數、積分或微分 程序模型算法框圖 圖表模型折線、柱狀和餅圖等 注意：數據精準要有圖形說明和圖形結論 例如，微觀經濟學中的供給、需求曲線 文字模型數學建模的常用方法數學建模的常用方法 一一 定性分析和定量分析 機理分析建模和測試分析建模， 簡

2、稱機理建模和統計建模探尋內部規律并且數量化和定理化難點：分析能力、綜合能力 閱讀和學習文獻資料公式難 抽象難機理建模如同科學研究，例如氣象預報模型、地震預報模型但是機理建模卻是最有用、最能提高能力的建模主要有：微分方程模型（ODE和PDE）、差分方程模型、優化類模型（線性規劃、非線性規劃、排隊論、決策論、投入產出模型等）如何機理建模？如何機理建模？一 英國人馬爾薩斯（英國人馬爾薩斯（Malthus，1766-1834）認為人口的凈）認為人口的凈增長率為常數，即單位時間內人口增量與人口總量成正比，增長率為常數，即單位時間內人口增量與人口總量成正比，設設 t 時刻人口數位時刻人口數位 p(t)，則

3、有，則有 Malthus 人口模型人口模型(1) )(0,00ptpcarpdtdp如何機理建模？如何機理建模？一 用此模型估算用此模型估算17001961年間的人口數目，計算結果與年間的人口數目，計算結果與人口實際情況竟然驚人地相似。但是，當人口實際情況竟然驚人地相似。但是，當 t + ，計算結果，計算結果 p(t) + ，具體地說，此模型可以求得，具體地說，此模型可以求得2510年的人口總數為年的人口總數為2000億左右，可見，這一模型必須進行修正。問題出在億左右，可見，這一模型必須進行修正。問題出在Malthus只看到繁衍增長的一面，未看到種群內競爭（如人類只看到繁衍增長的一面，未看到種

4、群內競爭（如人類戰爭）對種族發展的抑制作用。戰爭）對種族發展的抑制作用。)(00)(ttreptp這個這個Cauchy問題的解為問題的解為00)()(ptppbprdtdp1837年荷蘭生物數學家年荷蘭生物數學家 Verhulst 考慮單了種群成員間考慮單了種群成員間沖突乃至殘害現象，得出容易理解的下述單種族數學模沖突乃至殘害現象，得出容易理解的下述單種族數學模型：型： 其解為：)0(000ttrerpbprrpp（2） 美國和法國都曾用這個公式預報過人口變化，結果相當符美國和法國都曾用這個公式預報過人口變化，結果相當符合實際。顯然合實際。顯然brpt(t)lim（3） r =0.029，b可

5、以如下求得：可以如下求得：1980年年5月月1日，我國日，我國公布的人口總數公布的人口總數1979年底為年底為97092萬人，當時人萬人，當時人口增長率為口增長率為1.45%，于是，于是 r-b9.7092 108 =0.0145，從而求得：，從而求得：b，及，及 =19.42(億），即，億），即，我國的人口極限約為我國的人口極限約為19.42億人。億人。br+ 例題1 碎紙片拼接（13年國賽B題）提示：關鍵是如何量化 imread imread（000.bmp） imwrite 假設：碎紙片中字等間距、等大小 程序模型 機理建模的關鍵：1）仔細分析、團隊討論 2）多閱讀、多學習、多交流 3）

6、合理假設，難易適中 4）注意小處、層層推進如何機理建模？如何機理建模？一如何統計建模？如何統計建模？一如何統計建模？如何統計建模？一 統計數學建模中常用的方法：常用數學建模方法和技巧常用數學建模方法和技巧二 數學建模中常用的方法：微積分（差分法、微積分（差分法、微分法、變分法等）微分法、變分法等）、圖論法、數學規劃數學規劃（線性規劃，非線性規劃，整數規劃，動態（線性規劃，非線性規劃，整數規劃，動態規劃，目標規劃）、排隊方法、對策方法、規劃，目標規劃）、排隊方法、對策方法、決策方法、模糊評判方法、時間序列方法、決策方法、模糊評判方法、時間序列方法、灰色理論方法、現代優化算法（禁忌搜索算灰色理論方

7、法、現代優化算法（禁忌搜索算法，模擬退火算法，遺傳算法，神經網絡）法，模擬退火算法，遺傳算法，神經網絡）等等9種方法。種方法。常用數學建模方法和技巧常用數學建模方法和技巧二 其他技巧：1、論文排版2、文獻資料查找3、論文寫作4、論文修改5、文獻閱讀使用技巧常用數學建模方法和技巧常用數學建模方法和技巧二 插值與數據擬合就是通過一些已知數據去確定某類函數的參數或尋找某個近似函數，使所得的函數與已知數據具有較高的精度，并且能夠使用數學分析的工具分析數據所反映的對象的性質 幾種常用的方法：幾種常用的方法：（ 1、一般插值法 2、樣條插值法 3、最小二乘曲線 4、曲面的擬合常用數學建模方法和技巧常用數學

8、建模方法和技巧二2、常用數學建模方法和技巧常用數學建模方法和技巧二常用數學建模方法和技巧常用數學建模方法和技巧二曲曲 線線 插插 值值 擬擬 合合 案例案例已知一組（二維）數據，即平面上已知一組（二維）數據，即平面上 n個點個點（xi,yi) i=1,n, 尋求一個函數（曲線）尋求一個函數（曲線）y=f(x), 使使 f(x) 在某種準則下與所在某種準則下與所有數據點最為接近，即曲線擬合得最好。有數據點最為接近，即曲線擬合得最好。 +xyy=f(x)+1、插值問題： 不知道某一函數f(x)在待定范圍a,b上 的具體表達式，而只能通過實驗測量得到該 函數在一系列點ax1, x2 , ., xn

9、b上的值 y0, y1, y2, ., yn，需要找一個簡單的函數P(x) 來近似地代替f(x)，要求滿足： P(xi)=yi (i=1,2,.,n)2、插值函數：P(x) ，3、插值法：求插值函數P(x)的方法常用插值函數1、多項式函數2、樣條函數1、多項式插值方法（1）n次代數插值（2）拉格朗日插值幾點說明：（1）拉格朗日插值基函數僅與節點有關，而 與被插值函數f(x)無關。（2）拉格朗日插值多項式僅由數對(xi,yi)(i 1,2,n)確定，而與數對排列次序無關。（3）多項式插值除了上述插值法外還有其它 插值法，如如newton插值法、插值法、hermite（埃爾埃爾 米特米特）插值、分

10、段插值值法等。）插值、分段插值值法等。注意下面圖中注意下面圖中曲線曲線的變化情況！的變化情況！例例 ：在在 5, 5上考察上考察 的的Ln(x)。取。取211( )f xx 1050(,., )ixi inn -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 Ln(x) f (x) 2n ( )yf x 5n 10n 二、常用插值函數1、多項式函數2、樣條函數2、樣條插值方法（1）樣條函數m次半截冪函數（2）k次B樣條或k次基本樣條函數的定義（1）二次樣條的定義 設a,b 的一個劃分：a=x0 x1, x2 , ., xn= b，函數f ( x

11、 )各節點的值分別為： f ( xi )=yi (i=1,2,.,n) 如果二次樣條函數：滿足： S ( xi )=yi (i=1,2,.,n) （2）三次樣條函數的定義 設a,b 的一個劃分：a=x0 x1, x2 , ., xn= b，函數f ( x )各節點的值分別為： f ( xi )=yi (i=1,2,.,n) 如果三次樣條函數：3滿足： S ( xi )=yi (i=1,2,.,n) 命令1 interp1 功能 一維數據插值。該命令對數據點之間計算內插值。它找出一元函數f(x)在中間點的數值。其中函數f(x)由所給數據決定。 yi = interp1(x,Y,xi,method

12、) %用指定的算法計算插值： nearest：最近鄰點插值，直接完成計算； linear：線性插值（缺省方式），直接完成計算； spline：三次樣條函數插值。 cubic:分段三次Hermite插值。用于對向量x與y執行分段三次內插值。該方法保留單調性與數據的外形； 要求要求x0,y0 x0,y0單調；單調；x x，y y可取可取為矩陣，或為矩陣，或x x取取行向量，行向量，y y取為列向量，取為列向量，x,yx,y的值分別不能超出的值分別不能超出x0,y0 x0,y0的范圍。的范圍。z=interp2(x0,y0,z0,x,y,method)被插值點插值方法用用MATLAB作網格節點數據的

13、插值作網格節點數據的插值插值節點被插值點的函數值nearest nearest 最鄰近插值最鄰近插值linear linear 雙線性插值雙線性插值cubic cubic 雙三次插值雙三次插值缺省時缺省時, , 雙線性插值雙線性插值 插值函數插值函數griddata格式為格式為: cz =griddata（x，y，z，cx，cy，method）用用MATLABMATLAB作散點數據的插值計算作散點數據的插值計算 要求要求cxcx取行向量，取行向量，cycy取為列向量取為列向量。被插值點插值方法插值節點被插值點的函數值nearest nearest 最鄰近插值最鄰近插值linear linear

14、 雙線性插值雙線性插值cubic cubic 雙三次插值雙三次插值v4- Matlab提供的插值方法提供的插值方法缺省時缺省時, , 雙線性插值雙線性插值 命令3 interp3 功能 三維數據插值（查表） 格式 VI = interp3(X,Y,Z,V,XI,YI,ZI，method) ： linear：線性插值（缺省算法）； cubic：三次插值； spline：三次樣條插值； nearest：最鄰近插值。 說明 在所有的算法中，都要求X,Y,Z是單調且有相同的格點形式。當X,Y,Z是等距且單調時，用算法 *linear，*cubic，*nearest，可得到快速插值。 曲線擬合問題最常用

15、的解法曲線擬合問題最常用的解法線性最小二乘法的基本思路線性最小二乘法的基本思路第一步: :先選定一組函數先選定一組函數 r1(x), r2(x), rm(x), mn, 令令 f(x)=a1r1(x)+a2r2(x)+ +amrm(x) （1）其中其中 a1,a2, am 為待定系數。為待定系數。 第二步: 確定確定a1,a2, am 的準則（最小二乘準則）：的準則（最小二乘準則）：使使n個點個點（xi,yi) 與與曲線曲線 y=f(x) 的距離的距離 i 的平方和最小的平方和最小 。記記 )2()()(),(211211221iiknimkkininiiimyxrayxfaaaJ 問題歸結為

16、，求問題歸結為，求 a1,a2, am 使使 J(a1,a2, am) 最小。最小。線性最小二乘擬合線性最小二乘擬合 f(x)=a1r1(x)+ +amrm(x)中中函數函數rr1 1(x), r(x), rm m(x)(x)的選取的選取 1. 1. 通過機理分析建立數學模型來確定通過機理分析建立數學模型來確定 f(x)f(x)；+f=a1+a2xf=a1+a2x+a3x2f=a1+a2x+a3x2f=a1+a2/xf=aebxf=ae-bx 2. 2. 將數據將數據 (xi,yi) i=1, n 作圖，通過直觀判斷確定作圖，通過直觀判斷確定 f(x)：+f=a1+a2xf=a1+a2x+a3

17、x2f=a1+a2x+a3x2f=a1+a2/xf=aebxf=ae-bx判斷擬合效果標準：擬合度判斷擬合效果標準：擬合度R R2 2, ,值越接近于值越接近于1 1，效果越好，效果越好用用MATLAB解擬合問題解擬合問題1 1、線性最小二乘擬合、線性最小二乘擬合2 2、非線性最小二乘擬合、非線性最小二乘擬合用用MATLAB作線性最小二乘擬合作線性最小二乘擬合1. 1. 作多項式作多項式f(x)=a1xm+ +amx+am+1擬合擬合, ,可利用已有程序可利用已有程序:a=polyfit(x,y,m)2.2.多項式在多項式在x x處的值處的值y y可用以下命令計算：可用以下命令計算： y=po

18、lyvaly=polyval（a a，x x）輸出擬合多項式系數輸出擬合多項式系數a=a1, am , am+1 (數組數組) )）輸入同長度輸入同長度的數組的數組X，Y擬合多項擬合多項式次數式次數1. lsqcurvefit1. lsqcurvefit已知數據點數據點： xdata=xdata=（xdata1，xdata2，xdataxdatan n），）， ydata=ydata=（ydataydata1 1，ydataydata2 2，ydataydatan n） 用用MATLAB作非線性最小二乘擬合作非線性最小二乘擬合 Matlab Matlab的提供了兩個求非線性最小二乘擬合的函數：

19、的提供了兩個求非線性最小二乘擬合的函數：lsqcurvefitlsqcurvefit和lsqnonlinlsqnonlin。兩個命令都要先建立。兩個命令都要先建立M-M-文件文件fun.mfun.m，在其中定義函數在其中定義函數f(x)f(x)，但兩者定義，但兩者定義f(x)f(x)的方式是不同的的方式是不同的, ,可參可參考例題考例題.最小 ),(21niiiydataxdataxF lsqcurvefitlsqcurvefit用以求含參量用以求含參量x x（向量）的向量值函數（向量）的向量值函數F(x,xdata)=F(x,xdata)=（F F（x x，xdataxdata1 1），），

20、F F（x x，xdataxdatan n）T T中的參變量中的參變量x(x(向量向量),),使得使得 fun是一個事先建立的是一個事先建立的定義函數定義函數F(x,xdata) 的的M-文件文件, 自變量為自變量為x和和xdata說明：x = lsqcurvefit (fun,x0,xdata,ydata,options);function f=ni(C,x1)f=C(1)*exp(x1)+C(2)*x1.2+C(3)*x1.3end保存為文件保存為文件 ni.mx1=0:0.1:1;y1=3.1,3.27,3.81,4.5,5.18,6,7.05,8.56,9.69,11.25,13.17

21、;x0=0,0,0;x,resnorm=lsqcurvefit(ni,x0,x1,y1)迭代初值迭代初值已知數據點已知數據點選項見無選項見無約束優化約束優化說明：x= lsqnonlinlsqnonlin （fun，x0，options）；）；fun是一個事先建立的是一個事先建立的定義函數定義函數f(x)的的M-文件，文件，自變量為自變量為x迭代初值迭代初值選項見無選項見無約束優化約束優化數學模型按照不同的角度劃分會得出不同的模型：常用數學建模模型常用數學建模模型三常用數學建模模型常用數學建模模型三常用數學建模模型常用數學建模模型三1 1、優化模型、優化模型: :線性規劃線性規劃, ,整數規劃

22、整數規劃, ,非線性規劃非線性規劃, ,動態規劃動態規劃, ,多目標規劃多目標規劃, ,隨機規劃等隨機規劃等2 2、預測模型、預測模型: :灰色預測灰色預測, ,回歸分析回歸分析, ,指數平滑法指數平滑法, , 時間序列等時間序列等3 3、評價模型、評價模型: :綜合評價，主因子分析，聚類分綜合評價，主因子分析，聚類分 析析, ,因子分析等因子分析等4 4、方程模型、方程模型: :常微分方程常微分方程, ,差分方程，偏微分方差分方程，偏微分方 程等程等常用數學建模模型常用數學建模模型三1、視頻數據2、圖片數據3、大數據4、文本數據如何處理特殊數據如何處理特殊數據四例題1 碎紙片拼接（13年國賽

23、B題）提示：關鍵是如何量化 imread imread（000.bmp） imwrite 假設：碎紙片中字等間距、等大小 程序模型 機理建模的關鍵：1）仔細分析、團隊討論 2）多閱讀、多學習、多交流 3）合理假設，難易適中 4）注意小處、層層推進如何如何處理處理特殊數據特殊數據四數學建模比賽注意數學建模比賽注意五4、時間和體力的問題、時間和體力的問題 競賽中時間分配也很重要，分配不好可能完不成論文，所以開始時要大致做一下安排。不必分的太細，比如第一天做第一小題，第二天做第二小題，這樣反而會有壓力，一切順其自然。開始階段不忙寫作，可以將一些小組討論的要點記錄下來，不要太工整，隨便寫一下，到第三天再開始寫論文也不遲的。也不要到第三天晚上才開始。另外要說的就是體力要跟上，三天一般睡眠只有不到10 個小時，所以沒有體力