1、整理ppt1第三章第三章 插值法插值法第五節(jié)第五節(jié) Hermite插值插值整理ppt2埃爾米特插值埃爾米特插值埃爾米特埃爾米特Hermite插值問題插值問題其中其中), 1 , 0(nixi 互異，互異，im為正整數(shù)，記為正整數(shù)，記，10 mmnii)(xfy 給定給定)1()1(1)1(0)1()1()1(1)1(0101010)()()( nimnmmmnnnfffxffffxffffxfxxxx函數(shù)值函數(shù)值表及各階表及各階導(dǎo)數(shù)值導(dǎo)數(shù)值表如下：表如下：),()()()(ikikxfxP ) 1, 1 , 0;, 1 , 0( imkni尋求尋求m次多項式次多項式P( (x) )使?jié)M足插值條

2、件：使?jié)M足插值條件：Hermite插值問題插值問題共有共有m+1+1個條件個條件)()(),()(iiiixfxPxfxP我們只討論我們只討論 的情形。的情形。).(15整理ppt3一一 討論討論Hermite插值問題插值問題,)(1baCxfy 函數(shù)函數(shù)表表及導(dǎo)數(shù)表及導(dǎo)數(shù)表nnnyyyxfyyyxfxxxx 101010)()(已知已知 ), 1 , 0()()(1212niyxHyxHiiniin其中其中互異互異,尋求尋求), 1 , 0(nixi 12 n次多項式次多項式使?jié)M足使?jié)M足)(12xHn 插值條件插值條件:).(25,)(1baCxf 且已知且已知)(xf函數(shù)表及導(dǎo)數(shù)表，函數(shù)表

3、及導(dǎo)數(shù)表，如果如果12 n 次多項式次多項式 滿足插值條件滿足插值條件(5.2).則存在唯一次數(shù)不超過則存在唯一次數(shù)不超過)(12xHn 證明：證明：先證唯一性。先證唯一性。下證下證存在性。存在性。（用（用構(gòu)造構(gòu)造法，同構(gòu)造法，同構(gòu)造L L- -插值多項式的方法）插值多項式的方法） ), 1 , 0( , 0)(, 0, 1)(nkxjkjkxkjkj 時時當(dāng)當(dāng)時時當(dāng)當(dāng)?shù)牡?2 n次多項式次多項式。),.1 , 0(),(njxj 第一，求第一，求Hermite Hermite 插值基函數(shù)插值基函數(shù)1.1.求滿足插值條件：求滿足插值條件：問題問題定理定理整理ppt4其中其中C C為待定常數(shù)為待

4、定常數(shù), , ,于是可令于是可令由由為為)(xj 的二重零點且的二重零點且njjxxxxx,1110 1)( jjx ).(35 )(xlj njiiijixxxx0 (5.3)(5.3)式求導(dǎo)，得式求導(dǎo)，得)()( 1)( 2)()(2xlxlxxcxclxjjjjj ，得由0)(jjx)()(2)()(02jjjjjjjjxlxlxclx )(2)()(2jjjjjjxlxlxlc 所以所以), 1 , 0()(1)(21)(20njxlxxxxxjnjiiijjj )(1 (jxxc ）（xlj2 njiiijxx012221212120)()()()()(njjxxxxxxxxxx 2

5、21212120221212120)()()()()()()()()()()(1 ()(njjjjjjjnjjjjxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxcx 221212120221212120)()()()()()()()()()(njjjjjjjnjjxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 整理ppt5 (2) 已知已知，001000)(0000)(10 xfxfxxxxxnj 由于由于njjxxxxx,1110 為為)(xj 的二重零點且的二重零點且,0)( jjx )()()()(12212120njjjjjjxxxxxxxxA 又由又由1)( jjx ，則，則有有221212

6、120)()()()()()(1njjjjjjjjjxxxxxxxxxxAx ).(45212120)()()()( jjjxxxxxxxxAx 221)()(njxxxx 則可令則可令), 1 , 0(),()()(2njxlxxxjjj 于是于是求求12 n次多項式次多項式), 2 , 1 , 0()(njxj , ,使?jié)M足插值條件：使?jié)M足插值條件： ), 1, 0( , 0)(nkxkj 時時當(dāng)當(dāng)時時當(dāng)當(dāng)jkjkxkj, 0, 1)( 整理ppt6第二，求第二，求多項式多項式)(12xHn njjjjjnyxyxxH012)()()( ).(55 injjijjijinyyxyxxH)(

7、)()(012 ), 1 , 0(ni （滿足插值條件（滿足插值條件(5.2)(5.2)的多項式）的多項式）)(12xHn njijijiijinyyxyxxH012)()()( 事實上事實上, ,有有即即(5.5)(5.5)式是滿足插值條件式是滿足插值條件(5.2)(5.2)的插值多項式的插值多項式 . .所以存在所以存在2 2n n+1+1次多項式滿足插值條件次多項式滿足插值條件(5.2).(5.2). #；)()()(2xlxxxjjj ), 1 , 0(),(),(njxxjj 為為HermiteHermite插值基函數(shù)插值基函數(shù), ,即即其中其中ijinjiijxxxxxl 0)(？

8、；)()1)( 21 ()(20 xlxxxxxjnjiiijjj 整理ppt7Hermite插值余項插值余項)(12xHbn ）（為為Hermite插值多項式，插值多項式， 證明與拉格朗日余項公式證明類似證明與拉格朗日余項公式證明類似. .舉例時再證舉例時再證. .存存在在，于于設(shè)設(shè)),()(,)()()22(12baxfbaCxfann ,(baxi ), 1 , 0互互異異ixni 有有關(guān)關(guān)。且且與與 xba),( ),()!22()(21)22(xnfnn 22120)22()()()()!22()(nnxxxxxxnf )()()(1212xHxfxRnn 則則定理定理整理ppt8二

9、二 帶導(dǎo)數(shù)的兩點插值（特例帶導(dǎo)數(shù)的兩點插值（特例: : ）1 n,)(1baCxf 函數(shù)表及導(dǎo)數(shù)表函數(shù)表及導(dǎo)數(shù)表111)( )( kkkkkkmmxfyyxfxxx 已知已知).( 75求求3次多項式次多項式)(3xH使?jié)M足插值條件使?jié)M足插值條件: : 11331133)(,)()(,)(kkkkkkkkmxHmxHyxHyxH).(85).(95)(3xH存在且唯一，表達(dá)式為存在且唯一，表達(dá)式為)()()()()(11113xmxmxyxyxHkkkkkkkk 21111)(21 ()(kkkkkkkxxxxxxxxx 211)()( kkkkkxxxxxxx ,)()(2111kkkkkx

10、xxxxxx ,1 kkxxx2111)(21()( kkkkkkkxxxxxxxxx 其中其中).(105；)()()(2xlxxxjjj ；)()1)( 21 ()(20 xlxxxxxjniijjjji ijinjiijxxxxxl 0)(問題問題結(jié)論結(jié)論整理ppt9余項公式為余項公式為:2124334)()(!)()()()()(kkxxxxfxHxfxR例例已知已知)(xfy 函數(shù)表及導(dǎo)數(shù)表函數(shù)表及導(dǎo)數(shù)表1210210)()(fxfyyyxfxxxx 1133)()2 , 1 , 0( ,)(fxpiyxPii)(3xP使?jié)M足插值條件：使?jié)M足插值條件：求次數(shù)不超過求次數(shù)不超過3 3的

11、多項式的多項式已知已知),(),(),(221100yxyxyx三點，由牛頓插值多項式，三點，由牛頓插值多項式，可確定可確定2 2次多項式，在此基礎(chǔ)上，增加了節(jié)點，則增加三次項即次多項式，在此基礎(chǔ)上，增加了節(jié)點，則增加三次項即可，并使前三個插值條件不受影響。可，并使前三個插值條件不受影響。分析分析整理ppt10解：解： )(,)(,)()(1021001002xxxxxxxfxxxxfxfxP 221100,yxyxyx的的2 2次牛頓插值多項式為次牛頓插值多項式為過過3 3點點 21210,xxxxxf 2110,xxxxf 1021001003)(,)()(xxxxxxxfxxxxfxfx

12、P )()(,)(210101210101xxxxxxxxxfxxfxfA 12101012101013)()(,)(fxxxxAxxxxxfxxfxP 由由- - 帶重節(jié)點的牛頓插值多項式帶重節(jié)點的牛頓插值多項式 1021001003)(,)()(xxxxxxxfxxxxfxfxP 設(shè)所求多項式為設(shè)所求多項式為113)(fxP 確定確定A . .再由條件再由條件,11xxf重節(jié)點定義重節(jié)點定義)(1xf 011011,xxxxfxxf 110,xxxf 21210110,xxxxxfxxxf 重節(jié)點定義重節(jié)點定義)()(210 xxxxxxA )()(,2102110 xxxxxxxxxxf

13、 )(01xx )(01xx 整理ppt11插值余項（誤差估計）插值余項（誤差估計）:存存在在。，）（)(,)(43xfbaCxf xxx且且依依賴賴于于20, 。)()(! 4)()()()(2210)4(3xxxxxxfxPxfxR ; 00)(,)2 , 1 , 0(1 右端右端時時）當(dāng)）當(dāng)（iixRixx,)2 , 1 , 0(2時時）當(dāng)當(dāng)（ ixxi)()()()()()(22103xtxtxtxktPtft 構(gòu)造構(gòu)造函數(shù)（作輔助函數(shù)函數(shù)（作輔助函數(shù)):):至至少少有有四四個個互互異異根根)(t 至少有一個根，至少有一個根，）（)(4t 0,420 ）（使使即即至至少少存存在在一一點

14、點）（ xx!4)(4 xkf）（）（ !4)(4）（）（ fxk )()(! 4)()(2210)4(xxxxxxfxR 設(shè)設(shè))()()()(2210 xxxxxxxkxR , 其中其中)(xk為待定函數(shù)。為待定函數(shù)。的的根根是是的的根根，且且為為)()(,1210txtxxxx 則則條件條件結(jié)論結(jié)論證明證明整理ppt12P.88 15作業(yè)作業(yè): : (1) (1)理解理解H-H-插值多項式的插值多項式的構(gòu)造構(gòu)造方法（方法（基函數(shù)法基函數(shù)法與與例的方法例的方法）；）； (2)(2)能能根據(jù)具體條件根據(jù)具體條件求出求出插值多項式及插值余項。插值多項式及插值余項。整理ppt13HermiteHermite插值插值（以（以 mi=2, i=0,1,n 為例）為例）；)()()(2xlxxxjjj ), 1 , 0(),(),(njxxjj 為為Hermite插值基函數(shù)插值基函數(shù),