1、3/22/20221第二節(jié) 定積分的計算()分部積分公式3/22/20222 設函數(shù)設函數(shù))(xu、)(xv在區(qū)間在區(qū)間 ba,上具有連續(xù)上具有連續(xù)導數(shù)，則有導數(shù)，則有 bababavduuvudv. . 定積分的分部積分公式定積分的分部積分公式推導推導: ,vuvuuv ,)(babauvdxuv , bababadxvudxvuuv . bababavduuvudv 定積分的分部積分法3/22/20223例例1 1 計算計算.arcsin210 xdx解解令令,arcsin xu ,dxdv ,12xdxdu ,xv 210arcsin xdx 210arcsin xx 21021xxdx

2、621 )1(112120221xdx 12 21021x . 12312 則則3/22/20224例例2 2 計算計算解解.2cos140 xxdx,cos22cos12xx 402cos1xxdx 402cos2xxdx xdxtan240 40tan21 xxxdxtan2140 40secln218 x.42ln8 3/22/20225例例3 3 計算計算解解.sin420 dxx xt 20sin2 tdtt 20)cos(2 tdt 2200cos2cos 2 tdttt20sin2 t 2 .sin420 dxx3/22/20226例例4 4 計算計算解解.)2()1ln(102

3、 dxxx 102)2()1ln(dxxx 1021)1ln(xdx102)1ln( xx 10)1ln(21xdx32ln dxxx 101121xx 2111 10)2ln()1ln(32lnxx . 3ln2ln35 3/22/20227 102102)1ln()1ln(xdxdxxx解：解： 1022)1ln(201)1ln(2xdxxxdxxx 1021212ln21dxxx)111(212ln2110 01)1ln(2212ln212 xxx41 .)1ln( 510dxxx計算例3/22/20228 edxx1)sin(ln解解： exxdexx1)sin(ln1)sin(ln

4、edxxe1)cos(ln1sin edxxee1)sin(ln11cos1sin.)sin(ln 61edxx計算例3/22/2022911cos1sin)sin(ln21 eedxxe)11cos1sin(21)sin(ln1 eedxxe求定積分也經(jīng)常采用遞推的方法，如下例：求定積分也經(jīng)常采用遞推的方法，如下例：3/22/202210例例 證明定積分公式證明定積分公式 2200cossinxdxxdxInnn nnnnnnnnnn,3254231,22143231 為正偶數(shù)為正偶數(shù)為大于為大于1的正奇數(shù)的正奇數(shù)證證 設設,sin1xun ,sin xdxdv ,cossin)1(2xdx

5、xndun ,cos xv 3/22/202211 dxxxnxxInnn 2202201cossin)1(cossinx2sin1 0dxxndxxnInnn 22002sin)1(sin)1( nnInIn)1()1(2 21 nnInnI積分積分 關(guān)于下標的遞推公式關(guān)于下標的遞推公式nI4223 nnInnI,直到下標減到直到下標減到0或或1為止為止3/22/202212,214365223221202ImmmmIm ,3254761222122112ImmmmIm ), 2 , 1( m,2200 dxI, 1sin201 xdxI,221436522322122 mmmmIm.325

6、476122212212 mmmmIm于是于是3/22/202213.)()()( 800 xxuodudxxfduuxufxf連續(xù)，證明：設例證：證： 利用定積分的分部積分法利用定積分的分部積分法 xuuoxduuufxdxxfududxxf000)(0)()( xxduuufdxxfx00)()(3/22/202214例例9 9 設設 求求解解 21,sin)(xdtttxf.)(10 dxxxf因因為為ttsin沒沒有有初初等等形形式式的的原原函函數(shù)數(shù)，無無法法直直接接求求出出)(xf，所所以以采采用用分分部部積積分分法法 10)(dxxxf 102)()(21xdxf 102)(21x

7、fx 102)(21xdfx)1(21f 102)(21dxxfx3/22/202215 21,sin)(xdtttxf,sin22sin)(222xxxxxxf 10)(dxxxf)1(21f 102)(21dxxfx 102sin221dxxx 1022sin21dxx 102cos21x ).11(cos21 , 0sin)1(11 dtttf3/22/202216設設)(xf 在在 1 , 0上上連連續(xù)續(xù)，且且1)0( f，3)2( f，5)2( f，求求 10)2(dxxfx. 例例1010 10d)2(xxfx 10)2(d21xfx 1010d)2(21)2(21xxfxfx 10)2(41)2(21xff )0()2(4125ff . 2 3/22/202217幾個特殊積分、定積分的幾個等式幾個特殊積分、定積分的幾個等式1、定積分的換元法、定積分的換