1、階矩陣階矩陣設設n),(21212222111211 nnnnnnnaaaaaaaaaA 為為中中的的變變換換定定義義其其中中)(,21xTyRaaanniiii ),( ,)(RxAxxTn .為線性變換為線性變換則則T那那么么為為單單位位坐坐標標向向量量設設,21eeen,00112122221112111 aaaaaaaaaeAnnnnnn,100212222111211 nnnnnnnnaaaaaaaaaeA ,), 2 , 1( )( nieTeAiii 即即.)(,)(, 為為列列向向量量應應以以那那么么矩矩陣陣有有關關系系式式如如果果一一個個線線性性變變換換因因此此eTAAxxT

2、Ti 那那么么使使如如果果一一個個線線性性變變換換反反之之), 2 , 1()(, nieTTii )(xT),(21xeeeTn )(2211exexexTnn )()()(2211eTxeTxeTxnn xeTeTeTn)(,),(),(21 xn),(21 .Ax 其其中中表表示示都都可可用用關關系系式式中中任任何何線線性性變變換換,)()(, RxAxxTTRnn )(,),(),(21eTeTeTAn , 212222111211 aaaaaaaaannnnnn.,21為單位坐標向量為單位坐標向量eeen可可知知綜綜上上所所述述, ,22112222112212211111nnnnn

3、nnnnnaaaTaaaTaaaT 定義設定義設 是線性空間是線性空間 中的線性變換，在中的線性變換，在 中取定一個基中取定一個基 ，如果這個基在變換，如果這個基在變換下的象為下的象為nVnVn ,21TT其中其中,212222111211 nnnnnnaaaaaaaaaA ATnn ,2121 上式上式 ,2121nnTTTT 記記可表示為可表示為那末，那末， 就稱為線性變換就稱為線性變換 在基在基 下的下的矩陣矩陣n, 21AT.)(,),(,1唯一確定唯一確定由基的象由基的象矩陣矩陣顯然顯然 nTTA?,),(),( , 21212121需要滿足什么條件呢需要滿足什么條件呢變換變換那么那

4、么下的象為下的象為在變換在變換也就是說基也就是說基的矩陣的矩陣下下在基在基是線性變換是線性變換假設假設現在現在TATTTAnnnn 有有設設,1 iniinxV )( T)(1 iniixT niiiTx1)( xxxTTTnn2121)(,),(),( ,),(2121 xxxAnn .),(),( 21212121 xxxAxxxTnnnn 即即., 為為矩矩陣陣的的線線性性變變換換是是以以變變換換并并且且所所確確定定的的變變換換上上式式唯唯一一地地確確定定了了一一個個ATT.由上式唯一確定由上式唯一確定為矩陣的線性變換為矩陣的線性變換以以TA.,TAATVn個個線線性性變變換換也也可可唯

5、唯一一地地確確定定一一由由一一個個矩矩陣陣確確定定一一個個矩矩陣陣可可唯唯一一地地由由線線性性變變換換中中取取定定一一個個基基后后在在.,一對應的一對應的線性變換與矩陣是一線性變換與矩陣是一在給定一個基的條件下在給定一個基的條件下結論結論:),(),( 21212121可可知知從從關關系系式式 xxxAxxxTnnnn ,21下下在在基基 n; 21 xxxn 的坐標為的坐標為.)( )(21 xxxATTn 的坐標為的坐標為有有因因此此按按坐坐標標表表示示,.)( AT ., 1, , 4322313的的矩矩陣陣求求微微分分運運算算取取基基中中在在DpxpxpxpxP 例例1 1解解 ,00

6、000,10001,02002,00303432144321343212432121pppppDpppppDppppxpDppppxpD在在這這組組基基下下的的矩矩陣陣為為所所以以D.0100002000030000 A.,)(, 上的一個線性空間上的一個線性空間構成構成數與多項式的乘法數與多項式的乘法它對于多項式的加法和它對于多項式的加法和組成的集合記作組成的集合記作式式包括零多項包括零多項的所有一元多項式的所有一元多項式中次數小于中次數小于記作記作合合上所有一元多項式的集上所有一元多項式的集實數域實數域RxRnxRxRRn例2例2.,:)(),()( , 微微分分變變換換這這個個變變換換也

7、也稱稱為為變變換換上上的的一一個個線線性性是是則則由由導導數數性性質質可可以以證證明明定定義義變變換換中中在在線線性性空空間間xRxRxfxfdxdxfxRnnn 則則有有的的基基為為現現取取, 112xxxxRnn , 0)1( , 1)( x ,2)(2xx ,下的矩陣為下的矩陣為在基在基因此因此xxxn 12, 1, 0000100002000010nAxnxnn21)1()( 即即變變換換平平面面的的線線性性表表示示將將向向量量投投影影到到中中在在, 3xOyTR例例3 3,)(j yi xkzj yi xT .,)2(;,)1(的矩陣的矩陣求求取基為取基為的矩陣的矩陣求求取基為取基為

8、TkjijiTkji 解解 , 0, )1(kTjjTiiT.000010001),(),( kjikjiT即即 , , , )2( jiTjTiT.000110101),(),( T即即此例表明：同一個線性變換在不同的基下一般此例表明：同一個線性變換在不同的基下一般有不同的矩陣有不同的矩陣同一個線性變換在不同的基下有不同的矩陣，同一個線性變換在不同的基下有不同的矩陣，那么這些矩陣之間有什么關系呢？那么這些矩陣之間有什么關系呢？上面的例子表明上面的例子表明,;,2121nn 定理定理設線性空間設線性空間 中取定兩個基中取定兩個基nV由基由基 到基到基 的過渡矩陣為的過渡矩陣為 ， 中的線性變換

9、中的線性變換 在這兩個基下的矩陣依次為在這兩個基下的矩陣依次為 和和 ，那末，那末 n ,21n ,21nV.1APPB PTAB于是于是 nnTB ,2121 ,21PTn PTn ,21 證明證明 Pnn ,2121 ,2121ATnn BTnn ,2121 APn ,21 APPn121, 因為因為 線性無關，線性無關，n, 21所以所以.APPB1 證畢證畢.定理表明：定理表明： 與與 相似，且兩個基之間的過渡相似，且兩個基之間的過渡矩陣矩陣 就是相似變換矩陣就是相似變換矩陣BAP例例., , 1222211211212下下的的矩矩陣陣在在基基求求下下的的矩矩陣陣為為在在基基中中的的線

10、線性性變變換換設設 TaaaaATV ,0110),(),(2112 解解,0110 P即即,0110 1 P求得求得下的矩陣為下的矩陣為在基在基于是于是),(12 T 0110011022211211aaaaB.11122122 aaaa 011012112221aaaa).(,ARTTA的的秩秩就就是是則則的的矩矩陣陣是是若若.,rnSTrTT 的維數為的維數為的核的核則則的秩為的秩為若若.,)( 的的秩秩性性變變換換稱稱為為線線的的維維數數的的象象空空間間線線性性變變換換定定義義2 2TVTTn.,987654321 ,3 132321下的矩陣下的矩陣在基在基求求下的矩陣為下的矩陣為在基

11、在基的線性變換的線性變換維線性空間維線性空間已知已知 AV例5例5解解由條件知由條件知 987654321),(),(321321 321332123211963)(852)(74 )( 即即下的矩陣為下的矩陣為在基在基因此因此 132, 74)(396)(285)( 132113231322從而有從而有.174396285 B給定了線性空間給定了線性空間 的一組基以后，的一組基以后， 中的線中的線性變換與性變換與 中的矩陣形成一一對應因此，在中的矩陣形成一一對應因此，在線性代數中，可以用矩陣來研究變換，也可以用線性代數中，可以用矩陣來研究變換，也可以用變換來研究矩陣變換來研究矩陣nRnRnnR 同一變換在不同基下的矩陣是相似的同一變換在不同基下的矩陣是相似的的兩個線性變換的兩個線性變換已知已知22 R 22, RXMXXSXNXT 1111,0201NM.,22211211下下的的矩矩陣陣在在基基試試求求EEEEST )( 11EST 解解)()(1111ESET