1、1.1.角的定義角的定義 角是由平面內一條射線繞其端點從一角是由平面內一條射線繞其端點從一個位置旋轉到另一個位置所組成的圖形個位置旋轉到另一個位置所組成的圖形. .A AOB B始邊始邊終邊終邊頂點頂點角是平面幾何中的一個基本圖形，角是角是平面幾何中的一個基本圖形，角是可以度量其大小的可以度量其大小的. .在平面幾何中，角的在平面幾何中，角的取值范圍如何？取值范圍如何？ 003600但在實但在實際問題際問題中還會中還會遇到其遇到其他角他角探究一：角的形成結果；探究一：角的形成結果；在齒輪傳動中，被動輪與主動輪是在齒輪傳動中，被動輪與主動輪是按相反方向旋轉的按相反方向旋轉的.一般地，一條射線繞其

2、端點旋轉，既可以一般地，一條射線繞其端點旋轉，既可以按逆時針方向旋轉，也可以按順時針方向旋轉按逆時針方向旋轉，也可以按順時針方向旋轉.你認為將一條射線繞其端點按逆時針方向旋轉你認為將一條射線繞其端點按逆時針方向旋轉60度所形成的角，與按順時針方向旋轉度所形成的角，與按順時針方向旋轉60度所度所形成的角是否相等？形成的角是否相等？如在體操、花樣滑冰、跳臺跳水等比賽中，如在體操、花樣滑冰、跳臺跳水等比賽中，常常聽到常常聽到“轉體轉體108010800 0”、“轉體轉體126012600 0”這樣這樣的解說因此，僅有的解說因此，僅有0 0360360范圍內的角范圍內的角是不夠的是不夠的角的形成過程角

3、的形成過程規定：規定：按按逆時針逆時針方向旋轉形成的角叫做方向旋轉形成的角叫做正角正角，按，按順時針順時針方向旋轉形成的方向旋轉形成的角叫做角叫做負角負角如果一條射線沒有作任何旋轉，則稱它形成了一個如果一條射線沒有作任何旋轉，則稱它形成了一個零角零角. . .角的方向角的方向度量一個角的大小，既要考慮度量一個角的大小，既要考慮旋轉方向旋轉方向，又要，又要考慮考慮旋轉量旋轉量，通過上述規定，通過上述規定，角的范圍就擴展到角的范圍就擴展到：任意大小任意大小.B B2 2A AB B1 1O O 對于對于你能用圖形表示這些角嗎？你能總結一下作你能用圖形表示這些角嗎？你能總結一下作圖的要點嗎？圖的要點

4、嗎？ 000660,150,210畫圖表示一個大小一定的角畫圖表示一個大小一定的角:(1)先畫一條射線作為角的始邊，先畫一條射線作為角的始邊，(2)再由角的正負確定角的旋轉方向，再由角的正負確定角的旋轉方向，(3)再由角的絕對值大小確定角的旋轉量，再由角的絕對值大小確定角的旋轉量，(4)畫出角的終邊，并用帶箭頭的螺旋線加以標注畫出角的終邊，并用帶箭頭的螺旋線加以標注.問題問題1： 鐘表經過鐘表經過4小時，時針與分針各小時，時針與分針各轉轉 (填度填度). 問題：如果你的手表慢了問題：如果你的手表慢了2020分鐘，或分鐘，或快了快了1.251.25小時，你應該將分鐘分別旋轉小時，你應該將分鐘分別

5、旋轉多少度才能將時間校準？多少度才能將時間校準？ 120120，450450. . 120120，-1440-1440. .探究二：探究二：象限角象限角 思考思考1 1：為了進一步研究角的需要，我們為了進一步研究角的需要，我們常在直角坐標系內討論角，并使角的頂常在直角坐標系內討論角，并使角的頂點與原點重合點與原點重合, ,角的始邊與角的始邊與x x軸的非負半軸的非負半軸重合，那么對一個任意角，角的終邊軸重合，那么對一個任意角，角的終邊可能落在哪些位置？可能落在哪些位置？ xoy象限角象限角：角的頂點為坐標原點，角的始邊為：角的頂點為坐標原點，角的始邊為x軸的正半軸，這樣一來，角的終邊落在第軸的

6、正半軸，這樣一來，角的終邊落在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限角。幾象限，我們就說這個角是第幾象限角。如果角的終邊在坐標軸上，就認為這個角不屬于如果角的終邊在坐標軸上，就認為這個角不屬于任何象限，或稱這個角為任何象限，或稱這個角為軸線角軸線角.那么下列各角：那么下列各角：-50，405，210, -200，450分別是第幾象限的角？分別是第幾象限的角？50 xyoxyo210 xyo405xyo200 xyo問題：問題：第二象限的角一定比第一象限的角大嗎？第二象限的角一定比第一象限的角大嗎？ 象限角只能反映角的終邊所在象限象限角只能反映角的終邊所在象限(位位置置)，不能反映角的大小，不能反映

7、角的大小. 問題問題2：銳角是第幾象限的角？第一象限的角銳角是第幾象限的角？第一象限的角是否都是銳角？小于是否都是銳角？小于90的角是銳角嗎？的角是銳角嗎？ 思考：思考：在直角坐標系中，在直角坐標系中，135135角的角的終邊在什么位置？終邊在該位置的角一終邊在什么位置？終邊在該位置的角一定是定是135135嗎？嗎？xyo探究三：探究三：終邊相同的角終邊相同的角 思考思考1 1：3232，328328，392392是第幾是第幾象限的角？這些角有什么內在聯系？象限的角？這些角有什么內在聯系？32392xyo o3280003603232800036032392與與32角終邊相同的角有多少個？角終

8、邊相同的角有多少個？這些角與這些角與32角在數量上相差多少？角在數量上相差多少？ Zkk,3603200思考思考2 2：所有與所有與3232角終邊相同的角，角終邊相同的角，連同連同3232角在內，可構成一個集合角在內，可構成一個集合S S，你能用描述法表示集合你能用描述法表示集合S S嗎？嗎？ S=|=S=|=k360k360，kZkZ，即任，即任一與一與終邊相同的角，都可以表示成角終邊相同的角，都可以表示成角與整數個周角的和與整數個周角的和. .思考思考3 3：一般地，所有與角一般地，所有與角終邊相同的終邊相同的角，連同角角，連同角在內所構成的集合在內所構成的集合S S可以怎可以怎樣表示？樣

9、表示？ Zkk,3603200 129 1294848，第二象限角，第二象限角. . 300 300，-60-60. .例題分析例例1在在0360范圍內，找出與范圍內，找出與95012角終邊相同的角，角終邊相同的角，并判定它是第幾象限角并判定它是第幾象限角. 例例2求與求與3900終邊相同的最小正角和最大負角終邊相同的最小正角和最大負角. 例2: 寫出終邊在Y軸上的角的集合 分析:首先寫出在Y軸的正半軸上的角的集合,然后寫出在Y軸的負半軸上的角的集合解答:終邊在Y軸的正半軸上的角的集合為終邊在Y軸的負半軸上的角的集合為001|90360 ,SkkZ 002|270360 ,SkkZ xyoxy

10、o 所以,終邊在Y軸上的角的集合為12SSS00|902180 ,kkZ 000|901802 180 ,kk Z 00|902180 ,kkZ 00|90(21)180 ,kk Z 00|90180 ,nnZ xyo鞏固與提高 寫出終邊在X軸上的角的集合 寫出終邊在坐標軸上的角的集合Zkk,1800 xyoxyo ZkkZkk,18090,180000Zkk,900 xyoxyo,360zkk,36090zkk小結小結1:1:終邊在軸線上的角的集合終邊在軸線上的角的集合 xyoxyoZkk,36018000Zkk,36027000Zkk,36018000Zkk,3609000例例4用集合的形

11、式表示象限角用集合的形式表示象限角第一象限的角表示為第一象限的角表示為第二象限的角表示為第二象限的角表示為第三象限的角表示為第三象限的角表示為第四象限的角表示為第四象限的角表示為 |k 360 k 360 +90 ，（，（k Z） |k 360 +90 k 360 +180 ，（，（k Z） |k360+180k360+270，（kZ） |k360+270k360+360，（kZ） 或|k36090k360，（kZ） 小結小結2 2：第一、二、三、四象限的角的集第一、二、三、四象限的角的集合分別如何表示？合分別如何表示？ 第一象限：第一象限：S=|k360S=|k3600 090900 0k3

12、60k3600 0,kZ,kZ；第二象限：第二象限：S=|90S=|900 0k360k3600 01801800 0+k360+k3600 0,kZ,kZ；第三象限：第三象限：S=|180S=|1800 0k360k3600 02702700 0+k360+k3600 0,kZ,kZ；第四象限：第四象限：S=|S=|90900 0k360k3600 0k360k3600 0，kZ.kZ. 例3:寫出終邊在直線 上的角的集合S,并把S中適合不等式 的元素 寫出來yx00360720 中適合的元素 452x180= - 315 451x180= - 135 45+0 x180= 45 45+1x

13、180= 225 45+2x180= 405 45+3x180= 58500360720 S=|=45S=|=45k180k180，kZ.kZ.(確定整數k)例4：已知已知 與與240角的終邊相同，判斷角的終邊相同，判斷是第幾象限的角。是第幾象限的角。2110110， 230230， 350350. .3例例5已知角已知角的終邊與的終邊與30角的終邊關于角的終邊關于x軸對稱軸對稱試在試在0360范圍內，找出與范圍內，找出與 終邊相同的角終邊相同的角. 弧度制弧度制一）問題的提出 1、度量角的方法度分秒制把圓周角分為360等份1度的角60等份1分的角60等份1秒的角.2、在同一個圓中，圓心角的大

14、小與它所對的弧長一一對應. 當半徑不同時，同樣大的圓心角所對的弧長不相等. /0024446 .35計計算算：/0/024443635080半徑rr1=1r2=2r3=3r4=4弧長L弧長與半徑的比值當當n=300時時練習練習:當當n=600時呢時呢?可以計算弧長可以計算弧長L=180rn6632236663rL3、實驗結果表明：當半徑不同時，同樣的圓心角所對的弧長與半徑的比是常數.Rl642-2-4-6-8-10-10-551015終邊終邊始邊始邊半徑弧長弧長半徑136.632.094.982.38O拖動點增減角的大小拖動點增減角的大小A642-2-4-6-8-10-10-551015終邊終

15、邊始邊始邊半徑弧長弧長半徑136.633.418.142.38O拖動點增減角的大小拖動點增減角的大小A稱這個常數為該角的弧度數.能否用弧長來定義角的大小呢?二、1弧度角的定義弧度角的定義我們把等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做我們把等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角。弧度的角。1弧度弧度單位符號是 rad,讀作弧度弧度把角度單位與長度單位統一起來.三）弧度數1、在單位圓中，當圓心角為周角時，它所對的弧長為2，所以周角的弧度數為2，周角是2rad 的角.2、任意一個003600的角的弧度數必然適合不等式 0 x2.3、任一正角的弧度數都是一個正實數； 任一負角的弧度數都是一個負實數； 零角

16、的弧度數是0. 弧度制下的角與實數之間的關系是怎樣的呢?Rl4、用弧度來度量角，實際用弧度來度量角，實際上上角的集合角的集合 與與實數集實數集R之間建立一一對應的關系：之間建立一一對應的關系：實數集實數集R R角的集合角的集合正角正角零角零角負角負角正實數正實數零零負實數負實數對應角的對應角的弧度數弧度數角度制與弧度制的換算角度制與弧度制的換算 用用“弧度弧度”與與“度度”去度量每一個去度量每一個角時，除了零角以外，所得到的量數都角時，除了零角以外，所得到的量數都是不同的，但它們既然是度量同一個角是不同的，但它們既然是度量同一個角的結果，二者就可以相互換算的結果，二者就可以相互換算 若弧是一個

17、整圓，它的圓心角是周角，若弧是一個整圓，它的圓心角是周角，其弧度數是，而在角度制里它是，其弧度數是，而在角度制里它是，2360rad2360因此 rad2360因為 1度角等于多少弧度？度角等于多少弧度？1弧度角等于多少度？弧度角等于多少度？57.301180rad0.01745rad1801rad度度把化成弧度把化成弧度0367例121670367解解：rad832167rad1800367角度制與弧度制互化時要抓住弧度這個關鍵180把化成度把化成度例2rad5414418054rad54解：角度弧度0601201352704265230寫出一些特殊角的弧度數寫出一些特殊角的弧度數 6453

18、903243150180233600例3計算：計算：（1）；（2）4sin5 . 1tan4542245sin4sin解：（1） 758595.855 . 130.57（2）12.147585tan5 . 1tan. 試推出弧長公式和扇形面積公式試推出弧長公式和扇形面積公式(角用弧度角用弧度). ;213;212;12lRSRSRl）（分析圓扇2212122222rlrrS：S:1分析,2 Rl因為扇形為整個圓的所所以以扇扇形形面面積積為為圓扇形SRlS222RRllR21xyoxyo,2zkk,22zkk用弧度表示用弧度表示終邊在軸線上的角的集合終邊在軸線上的角的集合 xyoxyoZkk,2Zkk ,223Zkk,2Zkk ,22（1）；（2）；（3）1把下列各角化成的形式：kk，202316315711下列角的終邊相同的是（）A4kkk，42與與與與B322kk，3C2kkk，2D 12kkk ，3B)() 12(2|. 3kxxA已知66|xxB BA:則則xxx0,6|或問題：問題：任意兩個角的數量大小可以相任意兩個角的數量大小可以相加、相減，如加、相減，如 50 508080=130=130， 50508080= =3030，你能解釋一下這兩，你