1、二、曲面方程的概念三、旋轉曲面四、柱面曲面及其方程上頁下頁鈴結束返回首頁五、二次曲面一、常見曲面舉例上頁下頁鈴結束返回首頁 到定點的距離為定值的動點的軌跡. 球面一、常見曲面舉例 橢球面 由球面伸縮形變而得的曲面.稱定點為球心, 定值距離為半徑. 環(huán)面 一圓周繞其所在平面上位于圓外的一直線旋轉一周而成的曲面.上頁下頁鈴結束返回首頁 兩斜交直線中的一直線繞另一直線旋轉一周而成的曲面. 圓錐面一、常見曲面舉例 水平面上的圓周沿豎直方向平移而成的曲面. 圓柱面上頁下頁鈴結束返回首頁一、常見曲面舉例 拋物線繞其對稱軸旋轉一周而成的曲面. 旋轉拋物面 馬鞍面 拋物線 L 與 l 開口一上一下, 它們所在

2、的平面相互垂直,使 l 的頂點在 L上滑動, 平移 l 而得的曲面.lL上頁下頁鈴結束返回首頁 例1 設 S 為球心在點 M0(x0, y0, z0), 半徑為 R 的球面,則 S 上任一點 M(x, y, z) 的坐標滿足如下方程: (xx0)2(yy0)2(zz0)2R2. (1) 不在 S 上的點的坐標都不滿足方程(1). 球面 S 上的點的坐標一定滿足方程(1), 稱方程(1)為球面 S 的方程, 稱球面 S 為方程(1)的圖形.二、曲面方程的概念上頁下頁鈴結束返回首頁二、曲面方程的概念那么, 方程F(x, y, z)0就叫做曲面S的方程, 而曲面S就叫做方程F(x, y, z)0的圖

3、形. (1)曲面S上任一點的坐標都滿足方程F(x, y, z)0; (2)不在曲面S上的點的坐標都不滿足方程F(x, y, z)0,v曲面方程的定義 如果曲面S與三元方程 F(x, y, z)0有下述關系: 上頁下頁鈴結束返回首頁 (1)已知一曲面作為點的幾何軌跡時, 建立這曲面的方程; (2)已知坐標x、y和z間的一個方程時, 研究這方程所表示的曲面的形狀. v研究曲面的兩個基本問題 通過配方, 原方程可以改寫成 (x1)2(y2)2z25. 例2 方程x2y2z22x4y0表示怎樣的曲面？ 解 這是一個球面方程, 球心在點) 0 , 2 , 1 (0M、半徑為5R. 上頁下頁鈴結束返回首頁

4、三、旋轉曲面 以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周所成的曲面叫做旋轉曲面, 這條定直線叫做旋轉曲面的軸. 設yOz平面上有一曲線C, 它的方程為f(y, z)0. 曲線C繞z 軸旋轉一周得到一個旋轉曲面. 這就是所求旋轉曲面的方程. 設M(x, y, z)為曲面上任一點, 它是曲線C上點M1(0, y1, z1)繞 z 軸旋轉而得到的. 因此有如下關系等式 0) ,(11zyf, 0) ,(11zyf 1zz, 221|yxy1zz, 221|yxy, 從而得 0) ,(22zyxf, 上頁下頁鈴結束返回首頁將方程 zycot中的 y 改成22yx , 得 例3 試建立頂點在坐標原點O,

5、 旋轉軸為z軸, 半頂角為的圓錐面的方程. 解 在坐標面yOz內(nèi), 與z軸夾角為的zycot, 或 z2a2(x2y2), 這就是所求的圓錐面的方程, 其中acot . 曲線f(y, z)0繞 z 軸旋轉所得到的旋轉曲面的方程為 0) ,(22zyxf. cot22yxz, 直線的方程為提問:曲線f(y, z)0繞y軸旋轉所成的旋轉曲面的方程是什么?上頁下頁鈴結束返回首頁繞 x 軸和 z 軸旋轉所得的旋轉曲面的方程分別為 解 雙葉旋轉雙曲面單葉旋轉雙曲面例 5 將 zOx 坐標面上的雙曲線12222czax分別繞 x 軸和 z 軸旋轉一周, 求所生成的旋轉曲面的方程. 例4 122222czy

6、ax, 122222czyax 122222czayx. 上頁下頁鈴結束返回首頁在 xOy 面上, x2y2R2 表示圓 C. 例5 方程 x2y2R2 表示怎樣的曲面？ 解 在圓 C 上任取一點 M, 過此點作平行于 z 軸的直線 l, 當點 M 沿圓 C 移動時, 直線 l (沿圓 C)平移而得一曲面 S. S 為一圓柱面, M圓 C 叫做它的準線, 平行于 z 軸的直線 l 叫做它的母線. 點 P(x, y, z) 滿足方程 x2y2R2, 等價于點 M(x, y, 0) 在圓 C 上, 點 P 在母線 l 上. 在空間, x2y2R2 表示圓柱面.四、柱面也即上頁下頁鈴結束返回首頁 平

7、行于定直線并沿定曲線C移動的直線L形成的軌跡叫做柱面, 定曲線C叫做柱面的準線, 動直線L叫做柱面的母線. v柱面 上面我們看到, 不含z的方程x2y2R2在空間直角坐標系中表示圓柱面, 它的母線平行于z軸, 它的準線是xOy面上的圓x2y2R2. 一般地, 只含x、y而缺z的方程F(x, y)0, 在空間直角坐標系中表示母線平行于z軸的柱面, 其準線是xOy面上的曲線C: F(x, y)0. 上頁下頁鈴結束返回首頁 方程y22x表示母線平行于z軸的柱面, 它的準線是xOy面上的拋物線y22x, 該柱面叫做拋物柱面. 方程xy0表示母線平行于z軸的柱面, 其準線是xOy面上的直線xy0, 所以

8、它是過z軸的平面. v柱面舉例 上頁下頁鈴結束返回首頁 方程z2x21表示母線平行于y軸的柱面, 它的準線是zOx面上的雙曲線z2x21, 該柱面叫做雙曲柱面. 方程y2+2z21表示母線平行于x軸的柱面, 其準線是yOz面上的橢圓y2+2z21, 該柱面叫做橢圓柱面. v柱面舉例 xyzO221zxxyzO2221yz上頁下頁鈴結束返回首頁v研究曲面的一種方法伸縮變形法 設S是一個曲面, 其方程為F(x, y, z)0, S是將曲面S沿x軸方向伸縮倍所得的曲面. 顯然, 若(x, y, z) S, 則(x, y, z)S; 若(x, y, z)S, 則Szyx) , ,1(. 這就是曲面S的

9、方程. 因此, 對于任意的(x, y, z)S, 有 0) , ,1(zyxF, 五、二次曲面上頁下頁鈴結束返回首頁五、二次曲面1.橢圓錐面 由方程22222zbyax所表示的曲面稱為橢圓錐面. 倍即得橢圓錐面軸方向伸縮沿把圓錐面abyzayx 2222. 橢圓錐面的形成 截痕 坐標面和平行于坐標面的平面與曲面相截得到的交線. 討論 圓錐面的截痕有哪幾種曲線? 上頁下頁鈴結束返回首頁倍軸方向伸縮再把旋轉橢球面沿aby , 2.橢球面 由方程1222222czbyax所表示的曲面稱為橢球面. 倍軸方向伸縮沿把球面aczazyx 2222, 得旋轉橢球面 122222czayx, 得橢球面 122

10、2222czbyax. 橢球面的形成 上頁下頁鈴結束返回首頁3.單葉雙曲面 由方程1222222czbyax所表示的曲面稱為單葉雙曲面. 把 zOx 面上的雙曲線12222czax繞 z 軸旋轉, 單葉雙曲面的形成 得旋轉單葉雙曲面 122222czayx, 倍軸方向伸縮再把旋轉單葉雙曲面沿aby , 得單葉雙曲面 1222222czbyax. 上頁下頁鈴結束返回首頁由方程1222222czbyax所表示的曲面稱為雙葉雙曲面. 4.雙葉雙曲面 雙葉雙曲面的形成 把 zOx 面上的雙曲線12222czax繞 x 軸旋轉, 122222cyzax, 倍軸方向伸縮再把旋轉雙葉雙曲面沿cby , 得雙

11、葉雙曲面 1222222czbyax. 得旋轉雙葉雙曲面 上頁下頁鈴結束返回首頁 由方程zbyax2222所表示的曲面稱為橢圓拋物面. 5.橢圓拋物面 橢圓拋物面的形成 把 zOx 面上的拋物線zax22繞 z 軸旋轉, 得旋轉拋物面zayx222, 倍軸方向伸縮再把旋轉拋物面沿aby , 得橢圓拋物面 zbyax2222. 上頁下頁鈴結束返回首頁由方程zbyax2222所表示的曲面稱為雙曲拋物面. 雙曲拋物面與平面yc的截痕為平面yc上的拋物線 截痕分析 6.雙曲拋物面 2222.xczab與平面xt的截痕為該平面上的拋物線2222:.tytlzba當 t 變化時, lt 的形狀不變, 位置

12、只作平移, 而 lt 的頂點的軌跡L為平面y0上的拋物線 22axz. 上頁下頁鈴結束返回首頁由方程zbyax2222所表示的曲面稱為雙曲拋物面. 雙曲拋物面與平面yc的截痕為平面yc上的拋物線6.雙曲拋物面 2222.xczab與平面xt的截痕為該平面上的拋物線2222:.tytlzba當 t 變化時, lt 的形狀不變, 位置只作平移, 而 lt 的頂點的軌跡L為平面y0上的拋物線 22axz. 截痕分析 上頁下頁鈴結束返回首頁由方程zbyax2222所表示的曲面稱為雙曲拋物面. 雙曲拋物面與平面yc的截痕為平面yc上的拋物線6.雙曲拋物面 2222.xczab與平面xt的截痕為該平面上的

13、拋物線2222:.tytlzba當 t 變化時, lt 的形狀不變, 位置只作平移, 而 lt 的頂點的軌跡L為平面y0上的拋物線 22axz. 截痕分析 上頁下頁鈴結束返回首頁由方程zbyax2222所表示的曲面稱為雙曲拋物面. 雙曲拋物面與平面yc的截痕為平面yc上的拋物線6.雙曲拋物面 2222.xczab與平面xt的截痕為該平面上的拋物線2222:.tytlzba當 t 變化時, lt 的形狀不變, 位置只作平移, 而 lt 的頂點的軌跡L為平面y0上的拋物線 22axz. 截痕分析 上頁下頁鈴結束返回首頁由方程zbyax2222所表示的曲面稱為雙曲拋物面. 雙曲拋物面與平面yc的截痕為平面yc上的拋物線6.雙曲拋物面 2222.xczab與平面xt的截痕為該平面上的拋物線2222:.tytlzba當 t 變化時, lt 的形狀不變, 位置只作平移, 而 lt 的頂點的軌跡L為平面y0上的拋物線 22axz. 截痕分析 上頁下頁鈴結束返回首頁由方程zbyax2222所表示的曲面稱為雙曲拋物面. 雙曲拋物面與平面yc的截痕為平面yc上的拋物線6.雙曲拋物面 2222.xczab與平面xt的截痕為該平面上的拋物線2222:.tytlzba當