1、本次教學內容v固有頻率和主振型v主振型的正交性和模態矩陣v模態坐標與正則坐標（模態分析法）v固有頻率的工程計算方法v彈性體振動的基本概念v桿的縱向振動v梁的橫向振動一、固有頻率和主振型一、固有頻率和主振型無阻尼多自由度系統振動方程： (1 )m x k xP 設解：x=A sin (wt+f)則 x= - w2A sin (wt+f) ( k w2m)A=0特征方程 |k w2m | =0 也稱頻率方程特征値 w1w2w3wn特征矢量 A (i) 對應特征値wi0二、主振型的正交性和模態矩陣二、主振型的正交性和模態矩陣（一）正交性（一）正交性 任意兩個不同的振型關于剛度矩陣和質量矩陣正交，即：

2、 T( )( )T( )( )0,0()srsrAmAandAkArs上述特性具有非常重要的工程應用價值，其證明如下：對于多自由度系統，有： 20nkmA 2nkAmA對第r階和s階兩個不同的振型，有： ( )( )2( )( )(4)TTrsrsnsAkAAmA ( )2( )(1)rrnrkAmA上述兩式分別左乘( )( ),TTsrAA得： ( )( )2( )( )(3)TTsrsrnrAkAAmA對（4）兩邊同時轉置得： ( )( )2( )( )(5)TTTTsrsrnsAkAAmA TTTTAB CCBA而： ,TTmmkk ( )2( )(2)ssnskAmA ( )( )2(

3、 )( )(6)TTsrsrnsAkAAmA ( )( )2( )( )(3)TTsrsrnrAkAAmA（3）-（6）得： 22( )( )0TsrnrnsAmA前面已假設：22nrns，顯然只有： ( )( )0(7)TsrAmA（7）代入（3）得： ( )( )2( )( )200(8)TTsrsrnrnrAkAAmA（二）模態矩陣（二）模態矩陣 (1)mxkxP1、多自由度振動方程解耦的必要性引入模態矩陣的目的是為了方便地求解如下形式的振動方程：1 12211 122iinniiiiinniiiiim xm xm xk xk xxPmkk xx上述方程組的第i方程為：特點：各廣義坐標及

4、其對時間的二次導數之間是相互耦合的，給方程的求解造成了困難，能不能有一種方法使方程（1）解耦，即在第i個方程中只有第i個廣義坐標及其對時間的二次導數，如下式：iiiiiM xKQx這樣，多自由度方程的求解就可以采用單自由度強迫振動的求解方法。實際上模態矩陣就有這樣的功能。2、模態矩陣（振型矩陣）、模態矩陣（振型矩陣）把n個振型（特征向量）依次排成一行，構成模態矩陣，即 (1)(2)( )(2)nAAA為了求解振動方程（1），令 (3)xq顯然還有： (4)xq（3）和（4）代入（1）得： mqkqP左乘 T (5)TTTmqkqP1）模態矩陣的定義）模態矩陣的定義 ,TTTMmKkQP (1)

5、MqKqQ模態方程可以證明， ,MK均為對角矩陣。 (1)(2)(1)(2)( )( )TTnTnAAMmAmAmAA (1)(2)( )(1)(2)( )TTnnMmAAAmAAA (1)(1)(1)(2)(1)( )(2)(1)(2)(2)(2)( )( )(1)( )(2)( )( ) TTTnTTTnTTTnnnnAmAAmAAmAAmAAmAAmAMAmAAmAAmA根據主振型的正交性，上述矩陣所有非對角線元素值均為零，即(1)(1)(2)(2)( )( ) 000 000 TTTnnAmAAmAMAmA12000000nMMMM其中rM叫第r階模態質量，由下式計算：( )( ) T

6、rrrKAkA同樣可以得： 12000000nKKKK第r階模態剛度( )( ) TrrrMAmA (1)MqKqQ111122220000000000000nnnnMqKqMqKqMqKq自由振動方程0rrrrM qK q2rrrKM2122220000000n 2KM 三、模態坐標與正則坐標（模態分析法三、模態坐標與正則坐標（模態分析法） 12(1)(2)( )nnqqxqAAAq1 1、模態坐標的物理含義、模態坐標的物理含義 前面已介紹了模態坐標：( )1nrrrqA若 ，則上式變為：11,0,(1)rqqr結論：原廣義坐標x1，x2，xn是n個主振型的線性組合，也即系統的任何振動狀態都

7、是由各個主振型按照一定的比例疊加起來的。 (1)xA 由此可見，系統的位移列陣正好與第一階主振型相等，這就是q1取單位值得物理含義。或者說，每個模態坐標的值反映了其對應的振型在位移響應中所占的比例。2 2、正則坐標、正則坐標 我們學習了解耦的動力學方程：rrrrrM qK qQ如果想辦法使1rM ，則上述方程變為：rrrrqK qQ模態正則方程這時，2nrrK1rM 目標： T( )( )(1)rrrMAmA而把1rM 所對應的振型記作( )rNA，稱為正則主振型，則( )( )(2)rrNrAA T( )( )1(3)rrNNAmA根據定義（2）代入(3)： T( )( )1rrrrAmA

8、T( )( )11rrrrrMAmA 12000000n正則模態矩陣為： (1)(2)( )(1)(2)( )12nNNNNnnAAAAAA 由于：1rM 因此， 100001MI3 3、利用模態分析法的一般過程、利用模態分析法的一般過程1）建立微分方程 mxkxP2）計算固有頻率和振型 212det0nnnnnkm 2( )( )0rrnrkmAA3）列出模態矩陣 (1)( )nAA4）計算模態質量矩陣和模態剛度矩陣 11KTnTnMmdiag MMkdiag KK5）計算正則模態質量矩陣和正則模態剛度矩陣 (1)( )1nNnAA 1100TNNNnnKMKkKM 1rrM6）變量置換 ,

9、TNNNxqQPrNrrNrqK qQrNrrNrqK qQ2NrNrK0( )sintrNrNrqQtd Nxq例，已知振動方程為： 1003100101210001013mxkx試寫出其正則模態方程。1）特征方程：222302003nnnkmkkkmkkkm得：1233,2nnnkkkmmm 222302003nnnkmkkkmkAkkm2）求振型：(1)121A (2)101A(3)111A 3）模態質量矩陣 111201111 600020003TMmm 6000600012TKkk112233001000003000400NKMKkKMmKM11223300030000400kmqq

10、kqqmqqkm 四、固有頻率的工程計算方法四、固有頻率的工程計算方法1 1、動力矩陣、動力矩陣 20nkmA 2(1)nkAmA作用力方程：位移方程： 21(2)nAmA 210nImA方程(2)就是矩陣理論中典型的特征方程，實際上也可把(1)化成特征方程的形式：21n思考： 12(3)nmkAA 21(2)nmAA 12(3)nmkAA 1(4)mDmk位移方程作用力方程動力矩陣：221(5)nn位移方程作用力方程特征值： (6)DAA統一的特征方程：2 2、矩陣迭代法的基本原理、矩陣迭代法的基本原理1）設初始迭代向量為： ，關于初始向量的選取，可以有多種方法，最簡單的是令 111121n

11、AAAA 11 11A2）迭代計算： 21ADA為了減少迭代計算量，通常要把新矩陣 進行規格化，即找出絕對值最大的元素，用該元素去除所有的元素，保證各元素中最大的數為1。 2A3）進行下一輪的迭代計算，每一輪的迭代結果均需進行規格化處理，這樣經過m次迭代后，有： 1(7)mmADA 可以證明，當迭代次數足夠大時，迭代的向量最終收斂于最低階振型（位移方程）或最高階振型（作用力方程），工程實際中主要關心低頻振動，下面我們討論低頻形式。令21(1,2,)iniin因此：12n而： (1)(2)( )121nnACACACA于是： (1)(2)( )1221(1)(2)( )1 122(1)(2)(

12、)211211nnnnnnnnADAC DACDACDACACACACACACA這說明，經過第1次迭代后，第1階以外的振型所占的分量已經相對縮小了，再進行第2次迭代，得： (1)(2)( )2112211nnnACACACA11(1)ii222(1)(2)( )211211nnnCACACA 32ADA結論：當迭代次數m足夠大時，由于11(1)mii因此 (1)11mmACA即，m次迭代后的向量即為一階振型（需要進行規格化處理）。在實際工程計算中，當 和 比較接近時，迭代結束。下面簡單介紹一下第2階固有頻率和振型的計算方法。前面利用動力矩陣 D作為迭代計算的矩陣，而二階迭代的矩陣為： 1mA

13、mA 11DDS 1213110010000100001nS(1)1(1)11(2,3,)iiiM AinM A 11mmADA迭代公式：3 3、示例、示例柔度矩陣為：11213113k223211433kkk33111733kkkk 11111443147k質量矩陣： 400020001mm1x2x3x 4214843487mDmk動力矩陣 11 1 1TA 211971619330.36840.8421 1TTmmADAkk 315.21044.157812.21040.36815.210440.8421 10.2734330.80281TTTADmmkk 414.51603.699211

14、.51600.27314.516040.8028 10.2548330.7933 1TTTADmmkk 514.36563.605811.36560.25414.365680.793310.2510330.7911 1TTTADmmkk 614.33283.586211.33280.25114.332800.7911 10.2502330.79061TTTADmmkk 714.32563.582011.32560.25014.32560.2500320.7900.79053161TTTADmmkk因此：(1)0.25000.79051TA (1)(1)114.3250.25000.790516

15、3TmDAAk而：1110.4570nkm (1)(1)3322(1)(1)11111001.581010010001001m Am Am Am AS 1104.323.001.670301.673.0mDDSk 11mmADA 11 1 1TA 1217.321.00000.22810.63807.321.674.6733TTmmADAkk (2)1.001.0A 221nkm其他近似計算方法：里茲法(Ritz method）子空間迭代法霍爾茲法（Holzer method）傳遞矩陣法五、彈性體振動的基本概念1 1、彈性體振動、彈性體振動 任何機器零件和結構元件那是由質量和剛度連續分布的彈性

16、體所組成的，需要無限多個坐標來描述其運動，因此，它們是無限多自由度的連續系統。彈性體上任意一點的振動不僅與時間變量有關，還與該點的位置有關，從而彈性體的振動必須用偏微分方程來描述。2、建立彈性體振動模型的若干假設 1）彈性體的質量和剛度均勻分布；2）在振動過程中應力不超過彈性極限（否則發生塑性變形）；3）只限于線性范圍內，應力和應變之間的關系服從胡克定律 ；4）材料滿足各向同性。六、桿的縱向振動六、桿的縱向振動1、運動方程1）已知條件：均質等截面，面積為A，桿長為l，密度為，拉壓彈性模量為E。2）變量描述：以桿左端中心為O點，Ox軸沿其中心線，x表示桿未變形時桿上各點的位置，u表示桿x處的縱向

17、位移（變形），則( , )uu x t3）運動方程微元左端（x）受力：S，位移：( , )u x t微元右端（x+dx）受力： ，位移：SSdxx( , )( , )u x tu x tdxx微元的質量：Adx牛二定律：22uSAdxSdxStx22uSAdxdxtxuudxuuxSAAEAEAEdxxuSAEx22SuAExx22uSAtx2222uuAAEtx22222221uuuxEtat式中：Ea為聲波在桿中縱向傳播速度。二階波動方程2 2、固有頻率和振型、固有頻率和振型222221uuxatHow to solve it？而多自由度系統的自由振動解： i tuU e U振幅（主振型）

18、，有n個分量對于連續系統，可以理解為n ，因此，連續系統的自由振動解可寫為：,( )( )u x tU xt這種方法在數學上叫分離變量法。于是：22222222,( )( ),( )( )u x td U xtxdxu x tdtU xtdt22222( )1( )( )( )d U xdttU xdxadt22222( )1( )( )( )d U xdttU xdxadt22222( )1( )( )( )d U xadtdxU xtdt思考：方程左邊和右邊各是哪些變量的函數？222222( )1( )( )( )nd U xadtdxU xtdt 2222222( )( )0( )( )

19、0nndttdtd U xU xdxa( )sinntAt11( )cossinnnU xCxDxaa11( , )cossinsincossinsinnnnnnnu x tCxDxAtaaCxDxtaa該解包括幾個待定系數？,C D如何確定它們？邊界條件和初始條件l1兩端為自由端，應力為零l2兩端固定，位移為零lm3左端位移為零，右端力平衡lk4左端位移為零，右端力平衡應力為零：00E?( , )sincossinnnnnu x tCxDxtxaaa0|0cos00nxnuDtDxa|0sinsin0sin0nnnx lnuCltlxaaa (1,2,3,)njljja(1,2,3,)njj

20、ajEjll主振型： ( )sinsinnijU xCxCxal思考：2、3、4的邊界條件如何寫？2、兩端固定(0, )( , )0sin0nutu l tla3、左端固定，右端集中質量22( , )( , )1(0, )0,nnlu l tu l tEAutEAmtgxtama 4、左端固定，右端彈簧( , )(0, )0,( , )nnlu l tEAutEAku l ttgxaka 七、梁的橫向自由振動七、梁的橫向自由振動1 1、運動方程、運動方程1）橫向振動的定義：梁的彎曲變形引起的運動。2）建模的基本假設： 梁的橫截面為均勻截面，且尺寸與長度之比較小，忽略轉動慣量和剪切變形的影響（不

21、考慮角變形）。3）已知條件：橫截面積為A，密度為，抗彎剛度為EJ彎矩剪切力牛頓第二定律22VyVVdxAdxxt橫向變形力矩平衡：022dxMVdxMVMdxVdxxx22VyAxt 忽略高階微小量有：MVx22VMxx由材料力學：22yMEJx4242yyEJAxt 最終得：424221yyxat EJaA2 2、固有頻率和振型、固有頻率和振型分離變量法：( , )( )( )y x tY xt4444( , )( )( )y x td Y xtxdx2222( , )( )( )y x tdtY xtdt222444( )( )0( )( )0ndttdtd Y xY xdx242242(

22、 )1( )( )( )nad Y xdtY xdxtdt 22( )sincosnntCtDt242na444( )( )0d Y xY xdxHow to solve this equation?( )sxY xe通解：4(4)44sxd YYs edx特征方程：440s1,23,4,sis 1234( )i xi xxxY xAeA eA eA e方程解：,cossin,cossinxxi xi xech xsh xech xsh xexixexix雙曲余弦、正弦函數( )scossinY xAch xB h xCxDx方程解：22( , )scossinsincosnny x tAch

23、 xB h xCxDxCtDt方程解：, ,A B C D由邊界條件確定22,CD由初始條件確定對于考慮彎曲變形的梁，不同的支撐條件決定了不同的邊界條件，如下所示：支撐條件 邊界條件自由端 彎矩和剪切力為零固定端 位移和轉角為零簡支梁 位移和彎矩為零右端集中質量 牛頓第二定律23230,0yyMEJVEJxx0,0dyydx220,0d yyMEJdx注意：由于( , )( )( )y x tY xt，因此上述運算，可直接把y換成Y322322,0d yd yd yVEJmMEJdxdtdx( )scossinY xAch xB h xCxDxs,s2,2xxxxeeh xh xch xeec

24、h xch xsh x( )sincosY xAsh xBch xCxDxx222( )scossinY xAch xB h xCxDxx333( )sincosY xAsh xBch xCxDxx1）兩端自由左端：V(0,t)=0，M(0,t)=000BDBDACAC222( )cosssinY xA ch xxBh xxx333( )sincosY xA sh xxB ch xxx右端：V(l,t)=0，M(l,t)=0cosssin0A ch llBh llsincos0A sh llB ch llsincos0cossinsh llch llch llsh llcos1ch ll222( )scossinY xAch xB h xCxDxx333( )sincosY xAsh xBch xCxDxxc