1、專題提升(十五)巧用旋轉進行證明與計算【經典母題】已知等邊三角形ABC(如圖)(1)以點A為旋轉中心，將ABC按逆時針方向旋轉30°，作出旋轉后的圖形；(2)經第(1)題旋轉所得的圖形與ABC之間有沒有互相垂直的邊？證明你的判斷 解：(1)如答圖所示；(2)ADBC，DEAC，ABAE.證明略【思想方法】旋轉前、后的圖形全等，所以借此可以在較復雜的圖形中發現等量(或全等)關系，或通過旋轉(割補)圖形，把分散的已知量聚合起來，便于打通解題思路，找到解題突破口【中考變形】1如圖，已知ABC和DCE均是等邊三角形，點B，C，E在同一條直線上，AE與BD交于點O，AE與CD交于點G，AC與B

2、D交于點F，連結OC，FG，則下列結論：AEBD；AGBF；FGBE；BOCEOC，其中正確結論的個數是 (D)A1個 B2個C3個 D4個2如圖，P是等腰直角三角形ABC外一點，把BP繞點B順時針旋轉90°到BP，已知APB135°，PAPC13，則PAPB(B)A1 B12C.2 D1 【解析】 如答圖，連結AP，PP，BP繞點B順時針旋轉90°到BP，BPBP，ABPABP90°.ABC是等腰直角三角形，ABBC，CBPABP90°，ABPCBP.在ABP和CBP中，ABPCBP(SAS)，APPC.PAPC13，AP3PA.PBP是等腰

3、直角三角形，BPP45°，PPPB.APB135°，APP135°45°90°，APP是直角三角形設PAx，則AP3x，根據勾股定理，得PP2x，PBPB2x，PAPBx2x12.3如圖，已知ACBC，垂足為C，AC4，BC3，將線段AC繞點A按逆時針方向旋轉60°，得到線段AD，連結DC，DB.(1)線段DC_4_；(2)求線段DB的長度解：(1)ACAD，CAD60°，ACD是等邊三角形，DCAC4；(2)如答圖，作DEBC于點E.ACD是等邊三角形，ACD60°，又ACBC，DCEACBACD90°

4、60°30°，在RtCDE中，DEDC2，CEDC·cos30°4× 2，BEBCCE32.在RtBDE中，BD.4如圖，在ABC中，AEBC于點E，AEBE，D是AE上的一點，且DECE，連結BD，CD.(1)判斷BD與AC的位置關系和數量關系，并給出證明；(2)如圖，若將DCE繞點E旋轉一定的角度后，BD與AC的位置關系和數量關系是否發生變化？為什么？(3)如圖，將(2)中的等腰直角三角形都換成等邊三角形，其他條件不變，求BD與AC夾角的度數解：(1)BD與AC的位置關系是BDAC，數量關系是BDAC.證明：中考變形4答圖如答圖，延長BD交

5、AC于點F.AEBC于點E，BEDAEC90°.AEBE，DECE，DBECAE(SAS)，BDAC，DBECAE，BDEACE.BDEADF，ADFACE.ACECAE90°，ADFCAE90°，BDAC；(2)否證明：如答圖，AC與BD交于點F，AEBDEC90°，AEBAEDDECAED，中考變形4答圖即BEDAEC.AEBE，DECE，BEDAEC(SAS)，BDAC，BDEACE，DBECAE.BFCACDCDEBDEACDCDEACE90°，BDAC；(3)如答圖，AC與BD交于點F.ABE和DEC是等邊三角形，AEBE，DEEC，

6、EDCDCE60°，BEADEC60°，中考變形4答圖BEAAEDDECAED，BEDAEC，在BED和AEC中，BEDAEC(SAS)，BDEACE，DFC180°(BDEEDCDCF)60°，BD與AC的夾角度數為60°或120°.5閱讀下面的材料：小偉遇到這樣一個問題：如圖，在正三角形ABC內有一點P，且PA3，PB4，PC5，求APB的度數小偉是這樣思考的：如圖，利用旋轉和全等的知識構造APC，連結PP，得到兩個特殊的三角形，從而將問題解決(1)請你回答：圖中APB_150°_；參考小偉同學思考問題的方法，解決下列問

7、題：(2)如圖，在正方形ABCD內有一點P，且PA2，PB1，PD，求APB的度數和正方形的邊長解：(1)如答圖，把APB繞點A逆時針旋轉60°得APC，由旋轉的性質，得PAPA3，PCPB4，PAP60°，APP是等邊三角形，PPPA3，APP60°，PP2PC2324225，PC25225，PP2PC2PC2，PPC90°，中考變形5答圖APCAPPPPC60°90°150°，APBAPC150°；(2)如答圖，把APB繞點A逆時針旋轉90°得到APD，由旋轉的性質，得PAPA2，PDPB1，PAP9

8、0°，APP是等腰直角三角形，中考變形5答圖PPPA×24，APP45°，PP2PD2421217，PD2()217，PP2PD2PD2，PPD90°，APDAPPPPD45°90°135°，APBAPD135°.APBAPP135°45°180°，P，P，B三點共線過點A作AEPP于點E，則AEPEPP2，BEPEPB213，在RtABE中，AB.【中考預測】(1)如圖，在正方形ABCD中，AEF的頂點E，F分別在BC，CD邊上，高線AG與正方形的邊長相等，求EAF的度數；(2)如圖

9、，在RtABD中，BAD90°，ABAD，M，N是BD邊上的任意兩點，且MAN45°，將ABM繞點A逆時針旋轉90°至ADH位置，連結NH，試判斷MN2，ND2，DH2之間的數量關系，并說明理由；(3)在圖中，若EG4，GF6，求正方形ABCD的邊長解：(1)在正方形ABCD中，BD90°，AGEF，ABE和AGE是直角三角形在RtABE和RtAGE中，ABEAGE(HL)，BAEGAE.同理，GAFDAF.EAFEAGFAGBAD45°；(2)MN2ND2DH2.由旋轉可知，BAMDAH，BAMDAN45°，HANDAHDAN45°.HANMAN.在AMN與AHN中，AMNAHN(SAS)，MNHN.BAD90°，ABAD，BADB45