1、二次函數知識點一、二次函數概念1 .二次函數的概念：一般地，形如yax2bxc（a,b,c就是常數，a0）的函數，叫做二次函數。這里需要強調：與一元二次方程類似，二次項系數a0,而b,c可以為零.二次函數的定義域就是全體實數.22 、二次函數yaxbxc的結構特征：等號左邊就是函數，右邊就是關于自變量x的二次式，x的最高次數就是2.a,b,c就是常數,a就是二次項系數內就是一次項系數，c就是常數項.二、二次函數的基本形式1、二次函數基本形式：yax2的性質：a的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質a 0向上0, 0y軸x 0時，y隨x的增大而增大；x 0時，y隨x 的增大而減小；x 0時，y有最小值

2、0.a 0問卜0, 0y軸x 0時，y隨x的增大而減小；x 0時，y隨x 的增大而增大；x 0時，y有最大值0.減。a的絕對值越 大，拋物線的 開口越小。2、2y ax c 的性質：上加下a的符口勺開口方向頂點坐標對稱軸性質3、a0向上0,cy軸x0時，y隨x的增大而增大；x0時，y隨x的增大而減小；x0時，y有最小值c.ya的性質a0x0時，y隨x的增大而減小；x0時，y隨x右減。a1的符尹開0,c口方|rJ頂點心不對稱軸摩女而增人；x0時，丫慢撮大值c.的性(a0向上h,0X=hxh時，y隨x的增大而增大；xh時的增大而減小；xh時，y有最小值,y隨x0.三、aE科姓開卜保洞頂點坐標X桃軸

3、xh時，y隨x的增用嘛成小；xh時,y隨x的增大而增大；以小時，y有最大值xh時，y隔x的塔大而增大;xhHr0.1,y隨x次a0向上h,kX=h的增大而減小；xh時，y有最小值k.數a0問卜h,kX=hxh時，y隨x的增大而減小；xh時的增大而增大；xh時，y有最大值,y隨xk.4、質:左加2yaxh2xh平移1、平移步驟：2萬法一：將拋物線解析式轉化成頂點式yaxhk,確定其頂點坐標h,k二次函數知識點復習保持拋物線yax2的形狀不變，將其頂點平移到h,k處，具體平移方法如下_ 2y=ax2y= y=ax 2+k向右（h>0）【或左（h<0）】 平移|k|個單位y=a(x-h)

4、2向上（k>0）【或向下（k<0）】平移|k|個單位向上（k>0）【或下（k<0）】平移|k|個單位向上（k>0）或下（k<0） 平移|k|個單位向右（h>0）或左（h<0） 平移|k|個單位向右（h>0）或左（h<0）】平移|k|個單位y= y=a(x-h)2+k2、 平移規律在原有函數的基礎上概括成八個字“左加右減方法二：2四、二次函數y a x h2ax bx c的比較從解析式上瞧，yk與y ax2 bx c就是兩種不同的表達形式,后者通過配方可以得到前者22即y ax W翌c，其中h2b 4ac b一,k 2a 4a,_,2五

5、、二次函數y axbx c圖象的畫法h值正右移，負左移;k值正上移，負下移”.，上加下減”.yax2bxc沿y軸平移晌上（下）平移m個單位,yax2bxc變成2,j2,yaxbxcm(或yaxbxcm)yax2bxc沿軸平移：向左（右）平移m個單位，yax2bxc變成ya（xm）2b（xm）c（或2ya(xm)b(xm)c)五點繪圖法：利用配方法將二次函數yax2bxc化為頂點式ya（xh）2k,確定其開口方向、對稱軸及頂點坐標，然后在對稱軸兩側，左右對稱地描點畫圖、一般我們選取的五點為：頂點、與y軸的交點0,c、以及0,c關于對稱軸對稱的點2h,c、與x軸的交點4,0,x2,0（若與x軸沒有

6、交點，則取兩組關于對稱軸對稱的點）、畫草圖時應抓住以下幾點：開口方向，對稱軸，頂點，與x軸的交點，與y軸的交點、2六、二次函數Vaxbxc的性質2bb4acb當a0時，拋物線開口向上，對稱軸為x旦，頂點坐標為一，2a2a4a2當x2時，y隨x的增大而減小；當x2時，y隨x的增大而增大；Hx_b時，y有最小值4acb2a2a2a4a二次函數知識點復習2b4acb2、當a0時，拋物線開口向下，對稱軸為x工,頂點坐標為_,4acb.當x_b時，y隨x的增大而2a2a4a2a2bb4acb增大；當X2時，y隨x的增大而減小；當xH時，y有最大值b.2a2a4a七、二次函數解析式的表示方法1、 一般式：

7、yax2bxc(a,b,c為常數，a0);2、頂點式：ya(xh)2k(a,h,k為常數，a0);3、兩根式：ya(xxi)(xx2)(a0,x,x2就是拋物線與x軸兩交點的橫坐標卜注意:任何二次函數的解析式都可以化成一般式或頂點式，但并非所有的二次函數都可以寫成交點式，只有拋物線與x軸有交點，即b24ac0時，拋物線的解析式才可以用交點式表示.二次函數解析式的這三種形式可以互化、八、二次函數的圖象與各項系數之間的關系1、二次項系數a二次函數yax2bxc中，a作為二次項系數，顯然a0.當a0時拋物線開口向上田的值越大，開口越小，反之a的值越小，開口越大；當a0時拋物線開口向下，a的值越小，開

8、口越小，反之a的值越大，開口越大.總結起來，a決定了拋物線開口的大小與方向，a的正負決定開口方向，a|的大小決定開口的大小.2、 一次項系數b在二次項系數a確定的前提下由決定了拋物線的對稱軸.在a0的前提下，當b0時，0,即拋物線的對稱軸在y軸左側；當b0時，0,即拋物線的對2a2a稱軸就就是y軸;當b0時，0,即拋物線對稱軸在y軸的右側.2a在a0的前提下，結論剛好與上述相反，即當b0時，0,即拋物線的對稱軸在y軸右側；2a當b0時，0,即拋物線的對稱軸就就是y軸;當b0時，0,即拋物線對稱軸在y軸的左側.2a2a總結起來，在a確定的前提下，b決定了拋物線對稱軸的位置.bab的符號的判定：對

9、稱軸x在y軸左邊則ab0,在y軸的右側則ab02a3、常數項c當c0時，拋物線與y軸的交點在x軸上方，即拋物線與y軸交點的縱坐標為正；當c0時，拋物線與y軸的交點為坐標原點，即拋物線與y軸交點的縱坐標為0;當c0時，拋物線與y軸的交點在x軸下方，即拋物線與y軸交點的縱坐標為負.總結起來儲決定了拋物線與y軸交點的位置.二次函數解析式的確定：根據已知條件確定二次函數解析式，通常利用待定系數法.用待定系數法求二次函數的解析式必須根據題目的特點，選擇適當的形式，才能使解題簡便.一般來說，有如下幾種情況：1、已知拋物線上三點的坐標，一般選用一般式；2、已知拋物線頂點或對稱軸或最大(小)(1,一般選用頂點

10、式；3、已知拋物線與x軸的兩個交點的橫坐標，一般選用兩根式；十、二次函數與一元二次方程：1、二次函數與一元二次方程的關系（二次函數與x軸交點情況）：一元二次方程ax2bxc0就是二次函數yax2bxc當函數值y。時的特殊情況、圖象與x軸的交點個數：當b24ac。時,圖象與x軸交于兩點A8,0,B%,0（x1x2）淇中的、，x2就是一元二次方程b24acaxbxc0a0的兩根.這兩點間的距離ABx?x、a當0時,圖象與x軸只有一個交點；當0時,圖象與x軸沒有交點、1'當a。時，圖象落在x軸的上方，無論x為任何實數，都有y0；2'當a0時，圖象落在x軸的下方，無論x為任何實數，都有

11、y0.2、拋物線yax2bxc的圖象與y軸一定相交，交點坐標為（0,c）;3、二次函數常用解題方法總結：求二次函數的圖象與x軸的交點坐標，需轉化為一元二次方程；求二次函數的最大（小）值需要利用配方法將二次函數由一般式轉化為頂點式根據圖象的位置判斷二次函數yax2bxc中a,b,c的符號，或由二次函數中a,b,c的符號判斷圖象的位置,要數形結合；（4）二次函數的圖象關于對稱軸對稱，可利用這一性質，求與已知一點對稱的點坐標，或已知與x軸的一個交點坐標，可由對稱性求出另一個交點坐標、0拋物線與x軸有兩個交點一兀二次方程有兩個/、相等實根二次函數0拋物線與x軸只什-個交點一兀二次方程有兩個相等的實數根

12、二次方程-At-0拋物線與x軸尢交點一兀二次方程無實數根、內在聯系:函數的下面以例，揭示與一元之間的a0時為應用剎車距離二次函數應用何時獲得最大利潤最大面積是多少二次函數考查重點與常見題型1 .考查二次函數的定義、性質，有關試題常出現在選擇題中，如：已知以x為自變量的二次函數y（m2）x2m2m2的圖像經過原點，則m的值就是2 .綜合考查正比例、反比例、一次函數、二次函數的圖像，習題的特點就是在同一直角坐標系內考查兩個函數的圖像，試題類型為選擇題，如：如圖，如果函數ykxb的圖像在第一、二、三象限內，那么函數ykx2bx1的圖像大致就是（）3 .考查用待定系數法求二次函數的解析式，有關習題出現

13、的頻率很高，習題類型有中檔解答題與選拔性的綜合題，如：5已知一條拋物線經過(0,3),(4,6)兩點，對稱軸為x,求這條拋物線的解析式。34 .考查用配方法求拋物線的頂點坐標、對稱軸、二次函數的極值，有關試題為解答題，如：3已知拋物線yaxbxc(aw0)與x軸的兩個交點的橫坐標就是一1、3,與y軸交點的縱坐標就是一-(1)確定拋物線的解析式;(2)用配方法確定拋物線的開口方向、對稱軸與頂點坐標、5 .考查代數與幾何的綜合能力，常見的作為專項壓軸題。【例題經典】由拋物線的位置確定系數的符號例1、已知二次函數y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于點(-2,0)、(xi,0),且1<xi<

14、;2,與y軸的正半軸的交點在點(0,2)的下方.下列結論：a<b<0;2a+c>0;4a+c<0;2a-b+1>0,其中正確結論的個數為()A1個B、2個C、3個D.4個答案:D會用待定系數法求二次函數解析式例2、已知：關于x的一元二次方程ax2+bx+c=3的一個根為x=2,且二次函數y=ax2+bx+c的對稱軸就是直線x=2,則拋物線的頂點坐標為()A(2,-3)B、(2,1)C(2,3)D.(3,2)答案:C例3、已知拋物線y=x2+x-5.22(1)用配方法求它的頂點坐標與對稱軸.(2)若該拋物線與x軸的兩個交點為A、B,求線段AB的長.【點評】本題(1)

15、就是對二次函數的“基本方法”的考查，第(2)問主要考查二次函數與一元二次方程的關系.12例4、“已知函數y-x2bxc的圖象經過點A(c,-2),II2求證：這個二次函數圖象的對稱軸就是x=3。”題目中的矩形框部分就是一段被墨水污染了無法辨認的文字。(1)根據已知與結論中現有的信息，您能否求出題中的二次函數解析式？若能，請寫出求解過程，并畫出二次函數圖象；若不能，請說明理由。(2)請您根據已有的信息，在原題中的矩形框中，填加一個適當的條件，把原題補充完整。點評：對于第(1)小題,要根據已知與結論中現有信息求出題中的二次函數解析式，就要把原來的結論“函數圖象的對稱軸就是x=3”當作已知來用，再結

16、合條件“圖象經過點A(c,2)”，就可以列出兩個方程了，而解析式中只有兩個未知數，所以能夠求出題中的二次函數解析式。對于第(2)小題，只要給出的條件能夠使求出的二次函數解析式就是第(1)小題中的解析式就可以了。而從不同的角度考慮可以添加出不同的條件，可以考慮再給圖象上的一個任意點的坐標，可以給出頂點的坐標或與坐標軸的一個交點的坐標等。1解答根據y -x22bx c的圖象經過點 A(c, -2),圖象的對稱軸就是1c2bcc2,23,解得3,12c C-X2 3x 2.圖象如圖所不。23x 2 0,解得 x1 3 J5,x2 3 J5.2.所以所求二次函數解析式為y1c（2）在解析式中令y=0,

17、得x22所以可以填“拋物線與x軸的一個交點的坐標就是（3+U5,0）”或“拋物線與x軸的一個交點的坐標就是(3.5,0).*，-5令x=3代入解析式，得y-,215所以拋物線yx3x2的頂點坐標為（3,-）,22所以也可以填拋物線的頂點坐標為（3,5）等等。2函數主要關注：通過不同的途徑（圖象、解析式等）了解函數的具體特征；借助多種現實背景理解函數；將函數視為“變化過程中變量之間關系”的數學模型；滲透函數的思想；關注函數與相關知識的聯系。用二次函數解決最值問題例5、某產品每件成本10元，試銷階段每件產品的銷售價x（元）？與產品的日銷售量y（件）之間的關系如下表：x（元）152030y（件）25

18、2010若日銷售量y就是銷售價x的一次函數.（1） 求出日銷售量y（件）與銷售價x（元）的函數關系式；（2） 要使每日的銷售利潤最大，每件產品的銷售價應定為多少元？此時每日銷售利潤就是多少元？15kb25【解析】（1）設此一次函數表達式為y=kx+b.則解得k=-1,b=40,?即一次函數表達式為2kb20y=-x+40.（3） 設每件產品的銷售價應定為x元，所獲銷售利潤為w元w=（x-10）（40-x）=-x2+50x-400=-（x-25）2+225.產品的銷售價應定為25元，此時每日獲得最大銷售利潤為225元.【點評】解決最值問題應用題的思路與一般應用題類似，也有區別，主要有兩點：（1）

19、設未知數在“當某某為何值時，什么最大（或最小、最省）”的設問中,?“某某”要設為自變量，“什么”要設為函數；（2）?問的求解依靠配方法或最值公式，而不就是解方程.例6、您知道不？平時我們在跳大繩時，繩甩到最高處的形狀可近似地瞧為拋物線.如圖所示，正在甩繩的甲、乙兩名學生拿繩的手間距為4m,距地面均為1m,學生丙、丁分別站在距甲拿繩的手水平距離1m2.5m處.繩子在甩到最高處時剛好通過她們的頭頂.已知學生丙的身高就是1.5m,則學生丁的身高為（建立的平面直角坐標系如右圖所示）()A.1.5 m B.1.625 mC.i.66mD.i.67m分析：本題考查二次函數的應用答案:B二次函數單元測評、選

20、擇題i、下列關系式中，屬于二次函數的就是（x為自變量）（）A、C、1 =-22、函數y=x2-2x+3的圖象的頂點坐標就是A、 (1,-4)B、(-1,2)C、() (i,2)D、(0,3)3、拋物線y=2（x-3）2的頂點在（）A、 5、A、 C、A、第一象限1 a不,¥ = 一 一X" -+x 44、拋物線 4x=-2 B、x=2的對稱軸就是（C、 x=-4已知二次函數y=ax2+bx+c的圖象如圖所示ab>0,c>0ab<0,c>0B、ab>0,c<0D、ab<0,c<06、二次函數A、C、D、x軸上x=4，則下列結論中

21、y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，則點B、C、D、且在第四D、y軸上7、如圖所示，已知二次函數y=ax2+bx+c（aw0）的圖象的頂點P的橫坐標就是4 圖象交x軸于點A（m,0）與點B,且m>4,那么AB的長就是（）A、 4+mC、 2m-8D、8-2m8、，正確的就是（若一次函數y=ax+b的圖象經過第二、三、四象限，則二次函數y=ax2+bx的石府7V5圖象只可能就是（）Ac9、已知拋物線與直線上在同一直角坐標系中的圖象如圖所示，拋物線的對稱軸為直線x=-i,Pi（xi,yi）,P2（x2,y2）就是拋物線上的點,P3（x3,y3）就是直線,上的點,-1<xi<x2,

22、x3<-1,則yi,y2,y3的大小關系就是（）A、 yi<y2<y3B、 y2<y3<yiC、y3<yi<y2D、 y2<yi<y3io、把拋物線y三-2工+4工+i的圖象向左平移 函數關系式就是（）2個單位，再向上平移3個單位，所得的拋物線的A、y = -2(j-1)3+6B、y = -2(x 1尸6C、D、填空題二次函數知識點復習11、二次函數y=x2-2x+1的對稱軸方程就是>12、若將二次函數y=x2-2x+3配方為y=(x-h)2+k的形式，則y=?13、若拋物線y=x2-2x-3與x軸分別交于A、B兩點，則AB的長為?14、拋物線y=x2+bx+c,經過A(-1,0),B(3,0)兩點，則這條拋物線的解析式為>15、已知二次函數y=ax2+bx+c的圖象交