1、1的的圖圖形形觀觀察察二二元元函函數數22yxexyz 播放播放一、極值一、極值 第六節第六節 多元函數的極值多元函數的極值2 設函數設函數),(yxfz 在點在點),(00yx的某鄰域內的某鄰域內有定義，對于該鄰域內異于有定義，對于該鄰域內異于),(00yx的點的點),(yx：若滿足不等式若滿足不等式),(),(00yxfyxf ，則稱函數，則稱函數在在),(00yx有 極 大 值 ； 若 滿 足 不 等 式有 極 大 值 ； 若 滿 足 不 等 式),(),(00yxfyxf ，則稱函數在，則稱函數在),(00yx有極有極小值；小值；1 1、二元函數極值的定義、二元函數極值的定義極極大大值

2、值、極極小小值值統統稱稱為為極極值值. .使使函函數數取取得得極極值值的的點點稱稱為為極極值值點點. .3定理定理 1 1（必要條件）（必要條件）設函數設函數),(yxfz 在點在點),(00yx具有偏導數，且具有偏導數，且在點在點),(00yx處有極值，則它在該點的偏導數必處有極值，則它在該點的偏導數必然為零：然為零： 0),(00 yxfx， 0),(00 yxfy. .2 2、多元函數取得極值的條件、多元函數取得極值的條件不不妨妨設設),(yxfz 在在點點),(00yx處處有有極極大大值值,則則對對于于),(00yx的的某某鄰鄰域域內內任任意意 ),(yx),(00yx都都有有 ),(

3、yxf),(00yxf,證證4故故當當0yy ，0 xx 時時，有有 ),(0yxf),(00yxf,說明一元函數說明一元函數),(0yxf在在0 xx 處有極大值處有極大值,必必有有 0),(00 yxfx;類類似似地地可可證證 0),(00 yxfy.推推廣廣 如如果果三三元元函函數數),(zyxfu 在在點點),(000zyxP具具有有偏偏導導數數，則則它它在在),(000zyxP有有極極值值的的必必要要條條件件為為 0),(000 zyxfx， 0),(000 zyxfy， 0),(000 zyxfz.5例例如如, 點點)0 , 0(是是函函數數xyz 的的駐駐點點，但但不不是是極極值

4、值點點. 仿照一元函數，凡能使一階偏導數同時為零仿照一元函數，凡能使一階偏導數同時為零的點，均稱為函數的駐點的點，均稱為函數的駐點.駐點駐點極值點極值點問題：如何判定一個駐點是否為極值點？問題：如何判定一個駐點是否為極值點？定定理理 2 2（充充分分條條件件）設設函函數數),(yxfz 在在點點),(00yx的的某某鄰鄰域域內內連連續續，有有一一階階及及二二階階連連續續偏偏導導數數，注意：注意：6又又 0),(00 yxfx, , 0),(00 yxfy， 令令 Ayxfxx ),(00， Byxfxy ),(00， Cyxfyy ),(00，則則),(yxf在點在點),(00yx處是否取得極

5、值的條件如下：處是否取得極值的條件如下：（1 1）02 BAC時具有極值，時具有極值， 當當0 A時有極大值，時有極大值， 當當0 A時有極小值；時有極小值；（2 2）02 BAC時沒有極值；時沒有極值；（3 3）02 BAC時可能有極值時可能有極值, ,也可能沒有極值，也可能沒有極值，還需另作討論還需另作討論7例例 1 1 求求由由方方程程yxzyx22222 0104 z確確定定的的函函數數),(yxfz 的的極極值值 將方程兩邊分別對將方程兩邊分別對yx,求偏導求偏導 0422204222yyxxzzzyzzzx由由函函數數取取極極值值的的必必要要條條件件知知,駐駐點點為為)1, 1(

6、P,將將上上方方程程組組再再分分別別對對yx,求求偏偏導導數數,解解8,21|, 0|,21|zzCzBzzAPyyPxyPxx 故故 )2(0)2(122 zzACB,函函數數在在P有有極極值值.將將)1, 1( P代代入入原原方方程程,有有6, 221 zz,當當21 z時時，041 A,所所以以2)1, 1( fz為為極極小小值值；當當62 z時時，041 A,所所以以6)1, 1( fz為為極極大大值值.9求求函函數數),(yxfz 極極值值的的一一般般步步驟驟：第一步第一步 解方程組解方程組, 0),( yxfx0),( yxfy求求出出實實數數解解，得得駐駐點點.第第二二步步 對對

7、于于每每一一個個駐駐點點),(00yx，求求出出二二階階偏偏導導數數的的值值 A、B、C. 第第三三步步 定定出出2BAC 的的符符號號，再再判判定定是是否否是是極極值值.10求最值的一般方法求最值的一般方法： 將函數在將函數在D D內的所有駐點處的函數值及在內的所有駐點處的函數值及在D D的邊界上的最大值和最小值相互比較，其中最的邊界上的最大值和最小值相互比較，其中最大者即為最大值，最小者即為最小值大者即為最大值，最小者即為最小值. . 與一元函數相類似，我們可以利用函數的與一元函數相類似，我們可以利用函數的極值來求函數的最大值和最小值極值來求函數的最大值和最小值.二、多元函數的最值二、多元

8、函數的最值11例例 2 2 求二元函數求二元函數)4(),(2yxyxyxfz 在直線在直線6 yx，x軸和軸和y軸所圍成的閉區域軸所圍成的閉區域D上的最大值與最小值上的最大值與最小值. 解解先先求求函函數數在在D內內的的駐駐點點，xyo6 yxDD如圖如圖,12解解方方程程組組 0)4(),(0)4(2),(222yxyxxyxfyxyxxyyxfyx得得區區域域D內內唯唯一一駐駐點點)1 , 2(, 且且4)1 , 2( f, 再再求求),(yxf在在D邊邊界界上上的的最最值值， 在在邊邊界界0 x和和0 y上上0),( yxf, 13在在邊邊界界6 yx上上，即即xy 6于于是是)2)(

9、6(),(2 xxyxf,由由 02)6(42 xxxfx,得得4, 021 xx, 2|64 xxy,64)2 , 4( f 比比較較后后可可知知4)1 , 2( f為為最最大大值值,64)2 , 4( f為為最最小小值值.xyo6 yxD14例例 3 3 求求122 yxyxz的的最最大大值值和和最最小小值值. , 0)1()(2)1(22222 yxyxxyxzx, 0)1()(2)1(22222 yxyxyyxzy得駐點得駐點)21,21(和和)21,21( ,解解 由由15即即邊邊界界上上的的值值為為零零.,21)21,21( z,21)21,21( z所以最大值為所以最大值為21，

10、最小值為，最小值為21 .因為因為01lim22 yxyxyx無條件極值無條件極值：對自變量除了限制在定義域內對自變量除了限制在定義域內外，并無其他條件外，并無其他條件.16實例：實例： 小王有小王有200元錢，他決定用來購買兩元錢，他決定用來購買兩種急需物品：計算機磁盤和錄音磁帶，設他種急需物品：計算機磁盤和錄音磁帶，設他購買購買 張磁盤，張磁盤， 盒錄音磁帶達到最佳效果，盒錄音磁帶達到最佳效果，效果函數為效果函數為 設每張磁設每張磁盤盤8元，每盒磁帶元，每盒磁帶10元，問他如何分配這元，問他如何分配這200元以達到最佳效果元以達到最佳效果xyyxyxUlnln),( 問題的實質：求問題的實

11、質：求 在條在條件件 下的極值點下的極值點yxyxUlnln),( 200108 yx三、條件極值拉格朗日乘數法17拉格朗日乘數法拉格朗日乘數法 要找函數要找函數),(yxfz 在條件在條件0),( yx 下的下的可能極值點，可能極值點，先構造函數先構造函數),(),(),(yxyxfyxF ，其中其中 為某一常數，可由為某一常數，可由 . 0),(, 0),(),(, 0),(),(yxyxyxfyxyxfyyxx 解出解出 , yx，其中，其中yx,就是可能的極值點的坐標就是可能的極值點的坐標.條件極值條件極值：對自變量有附加條件的極值：對自變量有附加條件的極值18拉格朗日乘數法可推廣到自

12、變量多于兩個的情況：拉格朗日乘數法可推廣到自變量多于兩個的情況：要找函數要找函數),(tzyxfu 在條件在條件 0),( tzyx ，0),( tzyx 下的極值，下的極值， 先構造函數先構造函數 ),(),(tzyxftzyxF ),(),(21tzyxtzyx 其中其中21, 均為常數，可由均為常數，可由 偏導數為零及條件解出偏導數為零及條件解出tzyx,，即得極值點的坐標，即得極值點的坐標.19例例 4 4 將正數將正數 12 分成三個正數分成三個正數zyx,之和之和 使得使得zyxu23 為最大為最大. 解解令令 )12(),(23 zyxzyxzyxF , 120020323322

13、zyxyxFyzxFzyxFzyx 解解得得唯唯一一駐駐點點)2 , 4 , 6(，.691224623max u則則故故最最大大值值為為20例例 8 8 在在第第一一卦卦限限內內作作橢橢球球面面 1222222 czbyax的的切切平平面面，使使切切平平面面與與三三個個坐坐標標面面所所圍圍成成的的四四面面體體體體積積最最小小，求求切切點點坐坐標標.解解設設),(000zyxP為為橢橢球球面面上上一一點點,令令1),(222222 czbyaxzyxF,則則202|axFPx ， 202|byFPy ， 202|czFPz 過過),(000zyxP的的切切平平面面方方程程為為21 )(020

14、xxax )(020yyby0)(020 zzcz,化化簡簡為為 1202020 czzbyyaxx,該該切切平平面面在在三三個個軸軸上上的的截截距距各各為為 02xax ，02yby ，02zcz ,所所圍圍四四面面體體的的體體積積 000222661zyxcbaxyzV ,22在條件在條件1220220220 czbyax下求下求 V 的最小值的最小值,令令 ,lnlnln000zyxu ),(000zyxG 000lnlnlnzyx)1(220220220 czbyax ,由由,010, 0, 0220220220000 cybyaxGGGzyx23當當切切點點坐坐標標為為(3a，3b，

15、3c)時時,四四面面體體的的體體積積最最小小abcV23min . 01021021021220220220200200200czbyaxczzbyyaxx 可得可得即即30ax 30by ，30cz 24四、思考題思考題 若若),(0yxf及及),(0yxf在在),(00yx點點均均取取得得極極值值， 則則),(yxf在在點點),(00yx是是否否也也取取得得極極值值？思考題解答思考題解答不不是是.例如例如 22),(yxyxf ,當當0 x時時，2), 0(yyf 在在)0 , 0(取取極極大大值值;當當0 y時，時，2)0 ,(xxf 在在)0 , 0(取極小值取極小值;但但22),(y

16、xyxf 在在)0 , 0(不不取取極極值值.25一、一、 填空題填空題: :1 1、 函數函數)4)(6(),(22yyxxyxf 在在_點取點取得極得極_值為值為_._.2 2、 函數函數xyz 在附加條件在附加條件1 yx下的極下的極_值值為為_._.3 3、 方程方程02642222 zyxzyx所確定的所確定的函數函數),(yxfz 的極大值是的極大值是_,_,極小值極小值是是_._.二二、 在在 平平 面面xoy上上 求求 一一 點點 , , 使使 它它 到到0, 0 yx及及0162 yx三三直直線線的的距距離離平平方方之之和和為為最最小小. .三三、 求求內內接接于于半半徑徑為

17、為a的的球球且且有有最最大大體體積積的的長長方方體體. .練練 習習 題題26四、四、 在第一卦限內作球面在第一卦限內作球面1222 zyx的切平面的切平面, ,使使得切平面與三坐標面所圍的四面體的體積最小得切平面與三坐標面所圍的四面體的體積最小, ,求求切點的坐標切點的坐標. .27一一、1 1、( (3 3, ,2 2) ), ,大大, ,3 36 6； 2 2、大大, ,41； 3 3、7 7, ,- -1 1. .二二、)516,58(. .三三、當當長長, ,寬寬, ,高高都都是是32a時時, ,可可得得最最大大的的體體積積. .四四、).31,31,31(練習題答案練習題答案28的的圖圖形形觀觀察察二二元元函函數數22yxexyz 二、多元函數的極值和最值二、多元函數的極值和最值29的的圖圖形形觀觀察察二二元元函函數數22yxexyz 二、多元函數的極值和最值二、多元函數的極值和最值30的的圖圖形形觀觀察察二二元元函函數數22yxexyz 二、多元函數的極值和最值二、多元函數的極值和最值31的的圖圖形形觀觀察察二二元元函函數數22yxexyz 二、多元函數的極值和最