1、2014年（新版）九年級數學上冊知識點歸納（北師大版）第一章特殊平行四邊形第二章一元二次方程第三章圖形的相似第四章投影與視圖第五章反比例函數第六章概率的進一步認識（八下前情回顧）平行四邊的定義：兩線對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形，平行四邊形不相鄰的兩頂點連成的線段叫做它的對角線。平行四邊形的性質：平行四邊形的對邊相等，對角相等，對角線互相平分。平行四邊形的判別方法：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形。兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形。一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。平行線之間的距離：若兩條直線互相平行，則其中一條直線上任意兩點到另一條直

2、線的距離相等。這個距離稱為平行線之間的距離。第一章特殊平行四邊形i菱形的性質與判定菱形的定義：一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。菱形的性質：具有平行四邊形的性質，且四條邊都相等，兩條對角線互相垂直平分，每一條對角線平分一組對角。菱形是軸對稱圖形，每條對角線所在的直線都是對稱軸。菱形的判別方法：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。四條邊都相等的四邊形是菱形。2矩形的性質與判定矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形叫矩形.。矩形是特殊的平行四邊形。矩形的性質：具有平行四邊形的性質，且對角線相等，四個角都是直角。（矩形是軸對稱圖形，有兩條對稱軸）矩形的判定：有一個內角是

3、直角的平行四邊形叫矩形（根據定義）。對角線相等的平行四邊形是矩形。四個角都相等的四邊形是矩形。推論：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。3正方形的性質與判定正方形的定義：一組鄰邊相等的矩形叫做正方形。正方形的性質：正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質。（正方形是軸對稱圖形，有兩條對稱軸）正方形常用的判定：有一個內角是直角的菱形是正方形；鄰邊相等的矩形是正方形；對角線相等的菱形是正方形；對角線互相垂直的矩形是正方形。正方形、矩形、菱形和平行邊形四者之間的關系（如圖3所示）：等腰梯形的性質：等腰梯形同一底上的兩個內角相等，對角線相等。同一底上的兩個內角相等的梯形是等腰梯形。三角形的中位線平

4、行于第三邊，并且等于第三邊的一半。冰夾在兩條平行線間的平行線段相等。在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半第二章一元二次方程1認識一元二次方程只含有一個未知數的整式方程，且都可以化為ax2+bx + c = 0 （a、b、c為常數，aw0）的形式，這樣的方程叫一元二次方程。2把ax +bx+c=0 （a、b、c為常數，aw0）稱為一兀二次方程的一般形式，a為二次項系數；b為次項系數；c為常數項。2用配方法求解一元二次方程配方法 < 即將其變為（x + m）2 = 0的形式>X配方法解一元二次方程的基本步驟：把方程化成一元二次方程的一般形式；將二次項系數化成 1;把常數項移到方程

5、的右邊；兩邊加上一次項系數的一半的平方；把方程轉化成(x +m)2 = 0的形式；兩邊開方求其根。3用公式法求解一元二次方程b 二 b2 -4ac公式法 x= (注意在找abc時須先把方程化為一般形式)2a4用因式分解法求解一元二次方程分解因式法把方程的一邊變成 0,另一邊變成兩個一次因式的乘積來求解。(主要包括“提公因式”和“十字相乘”)5 一元二次方程的根與系數的關系根與系數的關系：當 b2-4ac>0時，方程有兩個不等的實數根；當b2-4ac=0時，方程有兩個相等的實數根；當b2-4ac<0時，方程無實數根。2bc如果一兀一次方程 ax + bx + c = 0的兩根分別為

6、x1、x2,則有：x1+x2=-x1/2=一。aa一元二次方程的根與系數的關系的作用：(1)已知方程的一根，求另一根；(2)不解方程，求二次方程的根 xi、x2的對稱式的值，特別注意以下公式：不22,、2/11x. x2，、2,、2 xi +x2 =(x1 +x2)-2x1x2十= (%一*2)=(x1+x2)-4x1x2x x2x X2 |x1 x2 | = V(x1+x2)2 4x1x2(|x1 |+ |x2|)2=(x1+x2)22x.x2+2|x1x2|333x1 +x2 =(x1+x2)3x1x2(x1+x2)其他能用x1+x2或x1x2表達的代數式。(3)已知方程的兩根 x1、x2

7、,可以構造一元二次方程：x2 -(x +x2)x + x1x2 = 0(4)已知兩數x1、x2的和與積，求此兩數的問題，可以轉化為求一元二次方程x2 (x1+x2)x + x1x2 =0的根6應用一元二次方程在利用方程來解應用題時，主要分為兩個步驟：設未知數(在設未知數時，大多數情況只要設問題為x;但也有時也須根據已知條件及等量關系等諸多方面考慮)；尋找等量關系(一般地，題目中會含有表述等量關系的句子，只須找到此句話即可根據其列出方程）口日前分析 卡鏟求斛處理問題的過程可以進一步概括為:解答問題 T方程T抽象 檢驗第三章圖形的相似1成比例線段線段的比X1.如果選用同一個長度單位量得兩條線段AB

8、, CD的長度分別是mr n,那么就說這兩條線段的比A mAB:CD=m:n ,或與成一=一B n均2.四條線段a、b、c、d中，如果a與b的比等于c與d的比，即W =£ ,那么這四條線段a、b、c、d叫b d做成比例線段，簡稱比例線段.X 3.注意點： a:b=k,說明a是b的k倍;由于線段a、b的長度都是正數，所以k是正數;比與所選線段的長度單位無關，求出時兩條線段的長度單位要一致 除了 a=b之外，a:b w b:a,與互為倒數；b a比例的基本性質：若a = c ,則ad=bc；若ad=bc,則-=£ b db d2平行線分線段成比例派1.平行線分線段成比例定理：三

9、條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例如圖2, l 1 / 12 / 13,則膽=型DE EF二.黃金分割X1.如圖1,點C把線段AB分成兩條線段 AC和BC,如果殷=空，那么稱線段AB AC5-1叫做線段 AB的黃金分割點，AC與AB的比叫做黃金比.AC：AB=定0.618:1-2X 2.黃金分割點是最優美、最令人賞心悅目的點 .3相似多邊形a 1. 一般地，形狀相同的圖形稱為相似圖形.X2.對應角相等、對應邊成比例的兩個多邊形叫做相似多邊形.相似多邊形對應邊的比叫做相似比X1.在相似多邊形中，最為簡單的就是相似三角形X2.對應角相等、對應邊成比例的三角形叫做相似三角形.相似三角形對應邊的

10、比叫做相似比.X3.全等三角形是相似三角的特例，這時相似比等于1.注意：證兩個相似三角形，與證兩個全等三角形一樣,應把表示對應頂點的字母寫在對應的位置上X4.相似三角形對應高的比，對應中線的比與對應角平分線的比都等于相似比X5.相似三角形周長的比等于相似比.X6.相似三角形面積的比等于相似比的平方.相似多邊形的周長等于相似比；面積比等于相似比的平方.4探索三角形相似的條件X1.相似三角形的判定方法般三角形直角三角形基本定理：平行于三角形的一邊且和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交的直線，所截得的三角形與原三角形相似.:;"目等；:1-三邊對應成比例.a.兩直角邊對應成比例；b.斜邊和一直

11、角邊對應成比例.AB BC如圖 2, l 1 / 12 / 13,則X 2.平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例DE EFX3.平行于三角形一邊的直線與其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構成的三角形與原三角形相似 5相似三角形的判定定理的證明6利用相似三角形測高7相似三角形的性質8圖形的位似第四章投影與視圖A）三視圖?主視圖一一從正面看到的圖左視圖一一從左面看到的圖俯視圖一一從上面看到的圖 ?畫物體的三視圖時，要符合如下原則：大小：長對正，高平齊，寬相等.?虛實：在畫圖時，看的見部分的輪廓通常畫成實線 ，看不見部分的輪廓線通常畫成虛線B）投影?物體在光線的照射下，

12、會在地面或墻壁上留下它的影子，這就是投影現象.?太陽光線可以看成平行光線 ，像這樣的光線所形成的投影稱為平行投影。?在同一時刻，物體高度與影子長度成比例.?物體的三視圖實際上就是該物體在某一平行光線（垂直于投影面的平行光線）下的平行投影?探照燈，手電筒，路次T ,和臺燈的光線可以看成是從一點出發的光線，像這樣的光線所形成的投影稱為中心投影?皮影和手影都是在燈光照射下形成的影子.它們是中心投影。C）視點、視線、盲區的定義以及在生活中的應用。.眼睛所在的位置稱為視點，.由視點發出的光線稱為視線，.眼睛看不到的地方稱為盲區第五章反比例函數知識點1反比例函數的定義k一般地，形如y= （k為常數，k&#

13、165;0）的函數稱為反比例函數，它可以從以下幾個方面來理解： xx是自變量，y是x的反比例函數；自變量x的取值范圍是x = 0的一切實數，函數值的取值范圍是y # 0;比例系數k =0是反比例函數定義的一個重要組成部分；反比例函數有三種表達式： k 一 y = （k =0）,x丫:卜*二 （k*0）, x，y = k （定值）（k # 0）;kk函數y = （ k =0）與x = （ k 00）是等價的，所以當 y是x的反比例函數時，x也是y的反xy比例函數。k（k為常數，k =0）是反比例函數的一部分，當 k=0時，y =一,就不是反比例函數了，由于反比xk例函數y = （ k 00）中，

14、只有一個待定系數，因此，只要一組對應值，就可以求出 k的值，從而確定x反比例函數的表達式。知識點2用待定系數法求反比例函數的解析式k 一由于反比例函數 y =-（ k#0）中，只有一個待定系數，因此，只要一組對應值，就可以求出 k的 x值，從而確定反比例函數的表達式。知識點3反比例函數的圖像及畫法反比例函數的圖像是雙曲線，它有兩個分支，這兩個分支分別位于第一、第三象限或第二、 第四象限, 它們與原點對稱，由于反比例函數中自變量函數中自變量 x#0,函數值yO0,所以它的圖像與 x軸、y軸都沒有交點，即雙曲線的兩個分支無限接近坐標軸，但永遠達不到坐標軸。反比例的畫法分三個步驟：列表；描點；連線。

15、再作反比例函數的圖像時應注意以下幾點：列表時選取的數值宜對稱選取；列表時選取的數值越多，畫的圖像越精確；連線時，必須根據自變量大小從左至右（或從右至左）用光滑的曲線連接，切忌畫成折線；畫圖像時，它的兩個分支應全部畫出，但切忌將圖像與坐標軸相交。知識點4反比例函數的性質k >0時，y隨x關于反比例函數的性質，主要研究它的圖像的位置及函數值的增減情況，如下表：反比例函數k y = （ k # 0） xk的符號k >0k <0圖像d二Od2L V'-' X性質x的取值范圍是x # 0,y的取值范圍是y * 0當k a0時，函數圖像的兩個分支分別在A、第三象限，在每個

16、象限內，y隨x的增大而減小。x的取值范圍是x # 0, y的取值范圍是y#0當k <0時，函數圖像的兩個分 支分別在第二、第四象限，在每 個象限內，y隨x的增大而增大。注意：描述函數值的增減情況時，必須指出“在每個象限內”否則，籠統地說，當 的增大而減小“，就會與事實不符的矛盾。反比例函數圖像的位置和函數的增減性，是有反比例函數系數k的符號決定的，反過來，由反比例函數圖k像（雙曲線）的位置和函數的增減性， 也可以推斷出k的符號。如丫 =在第一、第三象限，則可知k、。k反比例函數y =（ k = 0）中比例系數 k的絕對值 x如圖所示，過雙曲線上任一點P （x, y）分另作x軸、則 |k =xy = x| y =PF PE = SE形 oepf， 一，一一，k反比例函數y = （k#0）中，k越大，雙曲線 x靠近坐標原點。 雙曲線是中心對稱圖形，對稱中心是坐標原點；雙曲線又是軸對稱圖形，對稱軸是直線y=x和直線y=一x。第六章概率的進一步認識用樹狀圖或表格求概率相關知識點鏈接：頻數與頻率頻數：在數據統計中，每個對象出現的次數叫做頻數，頻率：每個對象出現的次數與總次數的比值為頻率。概率的意義和大小：概率就是表示每件事情發生的可能性大小，即一個時間發生的可能性大小的數值。必然事件發生的概率為 1;不可能事件發生的概率為 0;不確定事件發生的概率在 0