1、第第3節節 條件概率條件概率例例1 1 將一枚硬幣拋擲兩次將一枚硬幣拋擲兩次, ,觀察其出現正反面的觀察其出現正反面的情況情況. .設事件設事件A=A=至少有一次為正面至少有一次為正面H,H,事件事件B=B=兩兩次擲出同一面次擲出同一面,求求已知事件已知事件A A發生的條件下事件發生的條件下事件B B發生的概率發生的概率. . )()()|(APABPABP 解解 樣本空間為樣本空間為=HH,HT,TH,TT,B=HH,TT,=HH,HT,TH,TT,B=HH,TT,A=HH,HT,TH.A=HH,HT,TH.若記若記已知事件已知事件A A發生的條件下事件發生的條件下事件B B發生的概率為發生

2、的概率為P(B|A)P(B|A), ,則有則有一、一、 條件概率與乘法公式條件概率與乘法公式1. 條件概率條件概率P(B|A)=1/3P(B|A)=1/3故有故有易知易知P(A)=3/4,P(AB)=1/4,P(A)=3/4,P(AB)=1/4,P(B|A)=1/3=(1/4)/(3/4),P(B|A)=1/3=(1/4)/(3/4),定義定義 設設A,BA,B是兩個事件是兩個事件, ,且且P(A)0,P(A)0,稱稱 )()()|(APABPABP 為在事件為在事件A A發生的條件下事件發生的條件下事件B B發生的發生的條件概率條件概率. . 條件概率條件概率是指在事件是指在事件A A發生的

3、條件下，另發生的條件下，另一事件一事件B B發生的概率，記用發生的概率，記用P P（B|AB|A）. .條件概率的性質條件概率的性質條件概率符合概率定義中的三個條件條件概率符合概率定義中的三個條件. .即即(1)(1)對于任一事件對于任一事件B,B,有有P(B|A)0;P(B|A)0;(2)P(2)P(|A)=1;|A)=1; (3) (3)可列可加性可列可加性: :設設B B1 1,B,B2 2, , B Bn n是兩兩互不是兩兩互不相容的事件相容的事件, ,則有則有因此因此, ,概率中的一些重要結果都適用于概率中的一些重要結果都適用于條件概率條件概率. .)|()|()|()| )( 21

4、21ABPABPABPABBBPnn 證明證明 （見教材）（見教材）解解 依題意依題意 %)BP(30 %B)P(A95 %)BP(A80 %)BAP(5 %)BAP(20 %70 P(B)例例4 考慮恰有兩個小孩的家庭，若已知某一家有考慮恰有兩個小孩的家庭，若已知某一家有男孩求這家有兩個男孩的概率；若已知某家第一男孩求這家有兩個男孩的概率；若已知某家第一個是男孩，求這家有兩個男孩（相當于第二個也個是男孩，求這家有兩個男孩（相當于第二個也是男孩）的概率（假定生男生女為等可能）是男孩）的概率（假定生男生女為等可能）解解 設設 B 表示有男孩，表示有男孩， A 表示有兩個男孩，表示有兩個男孩， B

5、1表示第一表示第一個是男孩，我們有個是男孩，我們有 =（男，男） ， （男，女） ， （女，男） ， （女，女）（男，男） ， （男，女） ， （女，男） ， （女，女） B=（男，男） ， （男，女） ， （女，男）（男，男） ， （男，女） ， （女，男），A=（男，男）（男，男） B1=（男，男） ， （男，女）（男，男） ， （男，女） 于是得于是得 43 P(B)41 P(A)P(AB)411 P(A)P(AB所求的兩個條件概率為所求的兩個條件概率為 314341 P(B)P(AB)P(A|B)212141111 )P(B)P(AB)P(A|B例例5 5 設設100100件產品中有件

6、產品中有5 5件次品件次品, ,從中任取兩次從中任取兩次, ,每次取一件每次取一件, ,作不放回抽樣作不放回抽樣. .設設A=A=第一次抽到合第一次抽到合格品格品,B=,B=第二次抽到次品第二次抽到次品,求求P(B|A).P(B|A).解法解法1 1 在在A A已發生的條件下已發生的條件下, ,產品數變為產品數變為9999件件, ,其其中次品數仍為中次品數仍為5 5件件, ,所以所以P(B|A)=5/99P(B|A)=5/99解法解法2 2 從從100100件產品中連續抽取件產品中連續抽取2 2件件( (抽后不放回抽后不放回),),其樣本空間其樣本空間S S的基本事件總數為的基本事件總數為10

7、010099,99,使使ABAB發生發生的基本事件數為的基本事件數為95955.5. P(AB)=(95 P(AB)=(955)/(1005)/(10099)99)于是于是P(A)=95/100P(A)=95/100故有故有 P(B|A)=5/99=0.05051 P(B|A)=5/99=0.05051由條件概率定義可得下面定理由條件概率定義可得下面定理 乘法定理乘法定理 若若P(A)0,P(A)0,則有則有 P(AB)=P(B|A)P(A)P(AB)=P(B|A)P(A)上式稱為上式稱為乘法公式乘法公式 . . 乘法公式可以推廣到乘法公式可以推廣到任意有限個任意有限個事件的事件的情況情況.

8、.設設A A1,1,A A2 2, ,A,An n為試驗為試驗E E中的中的n n個事件個事件, ,且且P(AP(A1 1A A2 2A An-1n-1)0,)0,則有則有 P(AP(A1 1A A2 2A An n) ) =P(A =P(A1 1)P(A)P(A2 2|A|A1 1)P(A)P(A3 3|A|A1 1A A2 2) )P(AP(An n|A|A1 1A A2 2A An-1n-1) )例例6 一個盒子中有一個盒子中有6只白球，只白球，4只黑球，從中不放只黑球，從中不放回地每次任取回地每次任取1只，連取只，連取3次，求第三次才取得白次，求第三次才取得白球的概率球的概率.易知易知

9、 ,1041 )AP(,9312 )A|AP(86213 )AA|P(A)AAAP(321)AA|)P(AA|A)P(AP(213121 1 . 08693104 解解 設事件設事件Ai表示第表示第i次取得白球次取得白球(i=1、2、3), A表表示第三次才取得白球示第三次才取得白球. 則則A等于第一次取得黑球，等于第一次取得黑球，第二次取得黑球，第三次取得白球第二次取得黑球，第三次取得白球, 即即321AAAA 例例7 7 袋中裝有兩個紅球和三個白球袋中裝有兩個紅球和三個白球, ,從中依次取從中依次取出兩個出兩個, ,求兩個都是紅球的概率求兩個都是紅球的概率. .解解 設設A A1 1=第一

10、次取得紅球第一次取得紅球,A,A2 2=第二次取得紅球第二次取得紅球. (1) (1) 若用若用“不放回抽樣不放回抽樣”, ,則則P(AP(A1 1A A2 2)=P(A)=P(A1 1)P(A)P(A2 2|A|A1 1)=(2/5)=(2/5)(1/4)=0.1(1/4)=0.1 (2) (2) 若用若用“有放回抽樣有放回抽樣”, ,則則P(AP(A1 1A A2 2)=P(A)=P(A1 1)P(A)P(A2 2|A|A1 1)=(2/5)=(2/5)(2/5)=0.16(2/5)=0.16 例例8 8 設某光學儀器廠制造的透鏡設某光學儀器廠制造的透鏡, ,第一次落下時第一次落下時打破的

11、概率為打破的概率為1/2;1/2;若第一次落下未打破若第一次落下未打破, ,第二次第二次落下時打破的概率為落下時打破的概率為7/10;7/10;若前二次落下未打破若前二次落下未打破, ,第三次落下時打破的概率為第三次落下時打破的概率為9/10.9/10.試求透鏡落下試求透鏡落下三次而未打破的概率三次而未打破的概率. .解法解法1 1 設設A Ai i=透鏡第透鏡第i i次落下未打破次落下未打破,(,(i=1,2,3),i=1,2,3),B=B=透鏡落下三次而未打破透鏡落下三次而未打破,則則B=AB=A1 1A A2 2A A3 3, , 故有故有 P(B)=P(A P(B)=P(A1 1A A

12、2 2A A3 3)=P(A)=P(A1 1)P(A)P(A2 2|A|A1 1)P(A)P(A3 3|A|A1 1A A2 2) ) =(1-1/2)(1-7/10)(1-9/10) =(1-1/2)(1-7/10)(1-9/10) =3/200=0.015 =3/200=0.015例例9 9 一個盒子中有一個盒子中有n(n1)n(n1)只晶體管只晶體管, ,其中有一只其中有一只次品次品, ,隨機地取一只測試隨機地取一只測試, ,直到找到次品為止直到找到次品為止. .求在求在第第k(1kn)k(1kn)次才測試出次品的概率次才測試出次品的概率. .解解 設設A Ai i=第第i i次測試的是

13、正品次測試的是正品,B,Bk k=第第k k次才測試到次次才測試到次品品,則則)()(121kkkAAAAPBP )|()|( )|()|()(1212211213121 kkkkAAAAPAAAAPAAAPAAPAP)1/(1)2/()1( )1/()2(/ )1( knknknnnnn)1( /1nkn 定義定義 設設為試驗為試驗E E的樣本空間的樣本空間,B,B1 1,B,B2 2, ,B,Bn n為為E E的一的一組事件組事件. .若若( 1)B Bi iB Bj j= =,ij,i,j=1,2,ij,i,j=1,2,n;,n;( 2)B B1 1B B2 2B Bn n= =則稱則稱

14、B B1 1,B,B2 2, ,B,Bn n為樣本空間為樣本空間的一個的一個劃分劃分. . 若若B B1 1,B,B2 2, ,B,Bn n是樣本空間是樣本空間的一個劃分的一個劃分, ,那么那么, , 對于每次試驗對于每次試驗, , 事件事件B B1 1,B,B2 2, ,B,Bn n中必有一個且僅有中必有一個且僅有一個發生一個發生. .定理定理 設設為試驗為試驗E E的樣本空間的樣本空間,B,B1 1,B,B2 2, ,B,Bn n為樣本為樣本空間空間的一個劃分的一個劃分, A, A為為E E的一個事件的一個事件, , 且且P(BP(Bi i)0)0(i=1,2,(i=1,2,n),n),則

15、則P(A)=P(BP(A)=P(B1 1)P(A|B)P(A|B1 1)+P(B)+P(B2 2)P(A|B)P(A|B2 2)+)+P(B+P(Bn n)P(A|B)P(A|Bn n) )上式稱為上式稱為全概率公式全概率公式 . .證明證明 因為因為 A=AA=A=A(B=A(B1 1B B2 2B Bn n)=AB)=AB1 1 ABAB2 2 ABABn n由假設由假設B Bi iB Bj j= =,ij,ij,知知( (ABABi i)(AB)(ABj j)=)=,ij,ij,且且P(BP(Bi i)0(i=1,2,)0(i=1,2,n),n),得到得到 P(A)=P(ABP(A)=P

16、(AB1 1)+P(AB)+P(AB2 2)+)+P(AB+P(ABn n) ) =P(B =P(B1 1)P(A|B)P(A|B1 1)+P(B)+P(B2 2)P(A|B)P(A|B2 2)+)+P(B+P(Bn n)P(A|B)P(A|Bn n) )證畢證畢例例 11 有十個袋子，各袋中裝球的情況如下：有十個袋子，各袋中裝球的情況如下： （1）兩個袋子中各裝有）兩個袋子中各裝有 2 個白球與個白球與 4 個黑球；個黑球； （2）三個袋子中各裝有）三個袋子中各裝有 3 個白球與個白球與 3 個黑球；個黑球； （3）五個袋子中各裝有）五個袋子中各裝有 4 個白球與個白球與 2 個黑球個黑球.

17、 任選一個袋子，并從其中任取任選一個袋子，并從其中任取 2 個球，求取出的個球，求取出的 2個球都是白球的概率個球都是白球的概率. 解解 設事件設事件A表示取出的表示取出的2個球都是白球，事件個球都是白球，事件Bi表表示所選袋子中裝球的情況屬于第示所選袋子中裝球的情況屬于第i種（種（i=1、2、3）,)P(B1021 易知易知,1032 )P(B1053 )P(B15126221 CC)P(A|B15326232 CC)P(A|B15626243 CC)P(A|B于是按全概率公式所求的概率于是按全概率公式所求的概率 31iii)P(A|BP(BP(A)273. 0156105103103151

18、102 例例 12 某工廠生產的產品以某工廠生產的產品以 100 個為一批，進行抽樣個為一批，進行抽樣檢查時，只從每批中抽取檢查時，只從每批中抽取 10 個來檢查，如果發現其個來檢查，如果發現其中有次品， 則認為這批產品是不合格的假定每一批產中有次品， 則認為這批產品是不合格的假定每一批產品中的次品最多不超過品中的次品最多不超過 4 個，并且其中恰有個，并且其中恰有 i(i=0，1，2，3，4)個次品的概率如下表個次品的概率如下表, 求各批產品通過檢查求各批產品通過檢查的概率的概率. 一一批批產產品品中中有有次次品品數數 0 1 2 3 4 概概 率率 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1

19、解解 設事件設事件Bi是一批產品中有是一批產品中有i個次品（個次品（i=0，1，2，3，4），設事件），設事件A是這批產品通過檢查，即抽樣檢是這批產品通過檢查，即抽樣檢查的查的10個產品個產品 都是合格品都是合格品則有則有 90001010010991.CC)P(A|B 80901010010982.CC)P(A|B 72701010010973.CC)P(A|B 65201010010964.CC)P(A|B 所求的概率所求的概率 4181420iii.)P(A|BP(BP(A)110100101000 CC)P(A|B例例1313 有三個形狀相同的箱子有三個形狀相同的箱子, ,在第一個箱中

20、有兩個在第一個箱中有兩個正品正品, ,一個次品一個次品; ;在第二個箱中有三個正品在第二個箱中有三個正品, ,一個次一個次品品; ;在第三個箱中有兩個正品在第三個箱中有兩個正品, ,兩個次品兩個次品. .現從任何現從任何一個箱子中一個箱子中, ,任取一件產品任取一件產品, ,求取得的是正品的概率求取得的是正品的概率. .解解 設設B Bi i=從第從第i i個箱子中取到產品個箱子中取到產品(i=1,2,3),(i=1,2,3),A=A=取得正品取得正品.由題意知由題意知=B=B1 1+B+B2 2+B+B3 3且且B B1 1,B,B2 2,B,B3 3是是兩兩互不相容的事件兩兩互不相容的事件

21、. . P(B P(B1 1)=P(B)=P(B2 2)=P(B)=P(B3 3)=1/3,)=1/3,由全概率公式得由全概率公式得 P(A)=P(BP(A)=P(B1 1)P(A|B)P(A|B1 1)+P(B)+P(B2 2)P(A|B)P(A|B2 2)+P(B)+P(B3 3)P(A|B)P(A|B3 3) ) =0.64 =0.64 P(A|B P(A|B1 1)=2/3,P(A|B)=2/3,P(A|B2 2)=3/4,P(A|B)=3/4,P(A|B3 3)=2/4=1/2)=2/4=1/2 在全概率公式中我們知道在全概率公式中我們知道, ,引起事件引起事件A A發生的原發生的原

22、因有因有B B1 1,B,B2 2, ,B,Bn n等多種等多種. . 在實際問題中在實際問題中, ,常遇到已常遇到已知事件知事件A A已經發生已經發生, ,要求出事件要求出事件A A發生是由某種原因發生是由某種原因B Bk k引起的概率引起的概率P(BP(Bk k|A).|A). 例例14 有外形相同的球分裝三個盒子，每有外形相同的球分裝三個盒子，每盒盒10個。其中，第一個盒子中有個。其中，第一個盒子中有7個球標個球標有字母有字母A，3個球標有字母個球標有字母B；第二個盒子；第二個盒子中有紅球和白球各中有紅球和白球各5個；第三個盒子中有個；第三個盒子中有紅球紅球8，白球，白球2個。試驗按如下

23、規則進行：個。試驗按如下規則進行：先在第一個盒子中任取一球，若取得標有先在第一個盒子中任取一球，若取得標有字母字母A的球，則在第二個盒子中任取一球；的球，則在第二個盒子中任取一球；若第一次取得標有字母若第一次取得標有字母B的球，則在第三的球，則在第三個盒子中任取一球。如果第二次取出的球個盒子中任取一球。如果第二次取出的球是紅球，則稱試驗成功。若試驗成功，求是紅球，則稱試驗成功。若試驗成功，求第二次取出的紅球是從第二個盒子取得的第二次取出的紅球是從第二個盒子取得的概率。概率。解解 P(A|R)=P(AR)/P(R) =P(A)P(R|A)/P(R) =0.70.5/0.59 =35/59假若我們

24、事先沒有求出假若我們事先沒有求出P(R),則一般有則一般有: P(A|R) =P(AR)/P(R) =P(A)P(R|A)/P(R) =P(A)P(R|A)/P(A) P(R|A)+P(B) P(R|B)證明證明 由條件概率的定義及全概率公式有由條件概率的定義及全概率公式有niBAPBPBAPBPABPniBPAPEABBBEnjjjiiiin, 2 , 1)|()()|()()|( , ), 2 , 1( , 0)(, 0)(, 121 則則且且如如果果的的一一個個事事件件為為試試驗驗的的一一個個劃劃分分間間為為樣樣本本空空的的樣樣本本空空間間為為設設試試驗驗 niBAPBPBAPBPAPABPABPnjjjiiii,.,2 , 1)|()()|()()()()|(1 上式稱為上式稱為貝葉斯貝葉斯