1、16.1 引言 6.2 狀態反饋和輸出反饋6.3 狀態反饋極點配置：單輸入情形6.4 輸出反饋極點配置 6.5 狀態反饋鎮定6.6 跟蹤控制和擾動控制6.7 線性二次型最優控制：有限時間情形6.8 線性二次型最優控制：無限時間情形6.9 全維狀態觀測器 6.10 降維狀態觀測器 6.11 Kx-函數觀測器6.12 基于觀測器的狀態反饋控制系統的特性6.13 小結和評述2綜合與分析相反，已知的是系統的結構和參數，以及所期望的系統運動形式或其某些特征，用來確定需要施加于系統的外輸入作用即控制作用的規律本章以狀態空間描述和狀態空間方法為基礎，主要在時間域內討論線性反饋系統的綜合問題。返回3綜合問題的

2、提法給定系統 和期望的性能指標，綜合就是尋找一控制作用u，使得其作用下系統運動的行為滿足所給出的期望性能指標。CxytxxBuAxx0,)0(,0狀態反饋控制輸出反饋控制u = -Kx + v狀態反饋系統u = -Fy + v輸出反饋系統4非優化型性能指標鎮定問題：以漸近穩定作為性能指標極點配置問題：以一組期望的閉環系統極點作為性能指標解耦控制問題：使一個多輸入-多輸出系統實現“一個輸入只控制一個輸出”作為性能指標跟蹤問題：系統的輸出y無靜差地跟蹤一個外部信號y0(t)作為性能指標優化型性能指標二次型積分性能指標 確定一個控制u*()，使J(u*()取極小值，通常，u*()稱最優控制，J(u*

3、()稱最優性能。0)()(dtRuuQxxuJTT5建立可綜合條件指相對于給定的受控系統和給定的期望性能指標，使相應的控制存在并實現綜合目標所應滿足的條件。建立相應的用以綜合控制規律的算法對滿足可綜合條件的問題，確定出滿足要求的控制律。狀態反饋物理構成問題系統模型的不準確和參數攝動問題對外部擾動的影響的抑制問題返回6狀態反饋和輸出反饋的構成CxyBvxBKAx)(CxyBvxBFCAx)(BBKAsICsGk1)()()()()()()()(111sGFsGIsFGIsGBBFCAsICsGooooFGo(s)=C(sI-A)-1B狀態反饋輸出反饋7證明：I. 狀態反饋系統xf能控的充要條件是

4、受控系統0能控。 Qc = B | AB | | An-1B QcK = B |( A-BK)B | | |( A-BK)n-1B結論6.1 狀態反饋的引入，不改變系統的能控性。結論6.2 狀態反饋的引入，可能改變系統的能觀測性。ccKQQrankrank另一方面， 0也可看作xf的狀態反饋系統BuxBKBKABuAxx)(cKcQQrankrank綜上，cKcQQrankrank8II. 狀態反饋系統不一定能保持能觀測性 舉例說明，系統xyuxx 11 10302125111rankrankrank0CACQ所以系統能觀測加入狀態反饋，K = 0 5 ，則xyvxBvxBKAx 11 101

5、021)(nBKACCQK11111rank)(rankrank0所以狀態反饋可能改變系統的能觀測性9結論6.3 輸出反饋的引入能同時不改變系統的能控性和能觀測性，即輸出反饋系統 yf為能控(能觀測)的充分必要條件是受控系統 0為能控(能觀測)。輸出反饋為系統結構信息的不完全反饋，改善措施是采用動態輸出反饋系統狀態反饋通常不可直接量測，改善措施是引入狀態觀測器返回10問題的提法線性定常受控系統BuAxx給定期望的閉環系統極點,*2*1n,*2*1n狀態反饋極點配置問題就是對給定的受控系統，確定狀態反饋控制u = -Kx + v，v為參考輸入，即確定狀態反饋增益矩陣K，使得導出的狀態反饋閉環系統

6、的極點為 ，即BvxBKAx)(niBKAii, 2 , 1,)(*11期望閉環極點組的性能指標屬性，聯系控制理論和控制工程控制工程中基本類型性能指標 時間域性能指標：單位階躍響應定義超調量s = 響應曲線第一次越過穩態值達到峰點時超調部分與穩態值之比過渡過程時間ts = 響應曲線最終進入穩態值5%(或2%)范圍而不再躍出的時間上升時間tr = 響應曲線首次從穩態值10%過渡到穩態值90%所需時間延遲時間td = 響應曲線首次達到穩態值50%所需時間峰值時間tp = 響應曲線第一次達到峰點時間12頻率域性能指標：頻率響應幅頻特性定義諧振峰值Mr = 幅頻特性曲線達到峰點的值諧振角頻率wr= 幅

7、頻特性曲線峰值點對應角頻率值截止角頻率wcc= 幅頻特性曲線值為0.707處對應角頻率值二階系統的性能指標關系式典型二階單輸入單輸出連續時間線性時不變系統uydtdyTdtydT2222T：時間常數；0 0，Q 0，或Q 0且A，Q1/2能觀測，則證明：I. Q 0，由解陣P的性質，P 0。取李亞普諾夫函數V(x) = xTPx為正定，有xPxPxxdtxdVxVTT)()(xPBPBRPBPBRPAPAxTTTT)(1137xPBPBRQxTT)(1)(xV負定又因為 ，所以閉環系統大范圍漸近穩定)(xVx時，有II. Q 0且(A，Q1/2)為能觀測。V(x) = xTPx為正定xPBPB

8、RQxxVTT)()(1)(xV負半定反證法證明對一切x00的運動解x(t)，有 0。設對某個x00的x(t)有 0，所以xT(t)Qx(t)0，xT(t)PBR-1BTPx(t)0)(xV)(xV0 (R-1BTPx(t)TR(R-1BTPx(t) = u*T(t)R u*(t)0 xT(t)Q1/2 Q1/2x(t) = Q1/2x(t)TQ1/2x(t)u*(t) 0Q1/2 x(t) 0與A，Q1/2為能觀測相矛盾，所以有 0 )(xV)(xVx時，有又因為所以閉環系統大范圍漸近穩定，證明完成。38引入衰減度后，LQ調節問題變為0, 0)(lim)()(0,)0(,020ttTTtet

9、xdtRuuQxxeuJtxxBuAxx 在綜合得到的最優調節系統中，閉環系統矩陣的所有特征值的實部均小于-，引入線性變換轉換為無限時間時不變LQ調節問題ttueuxex,0)(lim)()()0(,)(00txdtuRuxQxuJxxuBxIAxtTT39結論6.43 指定衰減度的無限時間時不變LQ調節問題，最優控制的充要條件是 u*(t)=-K*x*(t)，K* = R-1BTP最優調節系統為則最優調節系統以為衰減上限指數穩定，即其中，P為矩陣黎卡提代數方程的正定對稱解陣：0)()(1PBPBRQPIAIAPTT0,)0(*,)(*01txxxPBBRAxT0)(limttetx40結論6

10、.44 多輸入無限時間時不變LQ調節問題，最優調節系統，必滿足如下頻率條件：I+R1/2K*(-jwI-A)-1BR-1/2T I+R1/2K*(jwI-A)-1BR-1/2 I其中等號只對有限個w值成立 。結論6.45 單輸入無限時間時不變LQ調節問題，最優調節系統必滿足如下頻率條件： |1+k*(jwI-A)-1b| 1其中等號只對有限個w值成立 。41單輸入情況頻率域條件的幾何解釋w =0-1jg0(jw)w =01|1+g0(jw)| 1結論6.46 單輸入時不變無限時間LQ調節問題，最優調節系統的頻率域條件幾何表示為，開環頻率響應g0(jw) = k*(jwI-A)-1b在復平面上由

11、w = 0變化到w = 的曲線必不進入單位圓(-1, j0)內，且g0(jw)曲線和單位圓(-1, j0)只有有限個相切點。bAsIksg1*0)()(42魯棒性：指當受控系統的參數或反饋增益陣的參數發生攝動時，閉環調節系統仍能保持漸近穩定的屬性。增益裕度：保持閉環系統漸近穩定的的變化范圍。w =01-1jg0(jw)w =00相角裕度：g0(jw)當w=0的曲線和單位圓的交點與負實軸的夾角。43結論6.47 單輸入無限時間時不變LQ調節問題，最優調節系統必具有(i) 至少60o的相角裕度；(ii) 從1/2到的增益裕度。結論6.48多輸入無限時間時不變LQ調節問題，取相對控制輸入加權陣R =

12、 diagr1，. ，rp，ri 0，則最優調節系統的每個反饋控制回路必具有：(i) 至少60o的相角裕度；(ii) 從1/2到的增益裕度。多輸入情況0-1jg0(jw)10-2-60o+60ofg44反饋通道中包含非線性攝動的魯棒性問題-1-2-1-21212(s)s結論6.49 多輸入無限時間時不變LQ調節問題，最優調節系統的反饋通道內包含非線性攝動(s)，s=K*x，則當其滿足如下扇形條件時： k1sTRs sTR(s) k2sTs，s 0其中，1/2k1k2，k2，閉環系統為大范圍漸近穩定。45最優跟蹤問題：就是尋找一個控制u*()，使受控系統 的輸出y跟蹤信號系統 的輸出 的同時使如

13、下定義的二次型性能指標為極小。其中，加權陣Q為正半定陣，R為正定陣。qRyCxytxxBuAxx,0,)0(,0qRyHzyzzFzz,)0(,0y0)()()(dtRuuyyQyyuJTT46結論6.51 受控系統跟蹤信號系統的相對于二次型性能指標的最優控制律u*()為 u*(t) = -R-1BTPx- R-1BTP12z = -K1*x- K2*z而最優性能值為最優跟蹤系統的結構如下圖所示。01200220000022121200*2zPxzPzPxxzxPPPPzxJTTTTTT返回黎卡提方程解陣 分塊化表示P47狀態重構和狀態觀測器重構狀態或估計狀態按功能分：函數觀測器，狀態觀測器，

14、按結構分：全維觀測器，維數 = 原系統降維觀測器，維數 1返回56CxyBuAxx,n維線性定常系統A，C能觀測，rankC=q，則降維觀測器最小維數為n-q。同時，降維觀測器抗噪能力低于全維狀態觀測器降維狀態觀測器的基本特性降維狀態觀測器：綜合方案I基本思路是在利用輸出y的基礎上，對n-q維分狀態構造全維狀態觀測器 算法6.11：選取 非奇異，計算因為PQ=In，所以CQ1=Iq，CQ2=0nnRCP)(211qnnqnQQPQ結論6.60，6.6157引入變換 ，導出下式，所以重構的僅是(n - q)維分狀態2xPxx 1212121212221121121xxxCQCQyuBBxxAAA

15、Axxx結論6.63計算)()(*1*ssqnii極點配置綜合 陣，使成立K)()det(*1222sKAAsITT取TKL 58綜合得到降維狀態觀測器)()()()(21212112121222yLzQyQxyLzxuBLByALAxALAz59n維線性時不變系統，A，C能觀測，rankC=q。其降維狀態觀測器取為 的條件是HuGyFzz結論6.67 上述(n-q)降維觀測器實現的充要條件是存在使 為非奇異的(n-q)n滿秩陣T，成立(1) TA FT = GC(2) H = TB(3) F特征值i(F)，i = 1, ,n-q，均具有負實部。估計狀態為TCPzQyQzyQQzyTCx212

16、11降維狀態觀測器：綜合方案II60結論6.68 設A和F不具有公共特征值，則方程TAFT=GC存在滿秩解陣T使 為非奇異的必要條件是A，C能觀測， F，G能控。對于單輸出情形，這個條件也是充分條件。TCP算法6.12：計算*01*11*)(qnqnqnqniisss計算*1*1*001010qnF61選取非奇異陣R，計算F = RF0R-1選取G，使F，G能控求解TA FT = GC，定出唯一解陣T計算H = TB，所設計降維狀態觀測器為估計狀態HuGyFzzzQyQx21P非奇異?YNq?=11返回62CxyxxBuAxx0)0(,能控能觀測系統以Kx為重構目標的函數觀測器可取為：NyMz

17、wzzHuGyFzz0)0(, 結論6.70 成為Kx-函數觀測器的充要條件為(1) TA FT = GC，T為mn實常陣(2) H = TB(3) F的全部特征值均具有負實部。(4) MT + NC = K)(lim)(limtKxtwtt函數觀測器的目標為：63 如何確定函數觀測器的維數m 結論6.71 如果K為1n維常向量，可取m=g 1，g為A，C的能觀測型指數算法6.13：計算被估計系統的能觀測性指數g指定函數觀測器的特征值 ，都為具有負實部的共軛復數或負實數，則*02*2111*)(ggggsssii*1*1,g取) 1() 1(*2*1*0200ggggIF) 1(1001 gM

18、64引入非奇異變換PT=CT，RT，rankC=q，R需保證P為非奇異，則 ，PBBPAPA,1)(11211qnqKKKPK計算20222221222KAKAKKggg,*2*1*2qqqqqIIIIIgg22212221212gAAAAAV求解組成VtttK,112, 11, 1ggqtttT)1(1, 112111gg65求解組成122, 1322121122221, 2121122222221AtAAtAKtAtAKtKtgggg)() 1(1, 222212qntttTgg組成并計算nTTT) 1(21g111111212111tKTMKNBTHTFATATG66所設計的(g-1)維

19、Kx-函數觀測器且成立NyMzwHuGyFzz)(lim)(limtKxtwtt對于函數Kx，函數觀測器的最小維數因具體問題的不同而不同。若pn陣K為秩1的，即rankK=1，表K = rK1，其中r為p1，K1為1n常向量，同樣可取g 1維函數觀測器重構Kx。算法如上所示。返回67基于觀測器的狀態反饋系統的組成zxCyvHBzxHKQFCHKQGCBKQCBKQAzx0212168令KB為包含觀測器的狀態反饋系統，0和OB分別為受控系統和觀測器，則它們的維數之間成立： dim(KB) = dim(0) + dim(OB)包含觀測器的狀態反饋系統的特征值集合具有分離性， KB的特征值集合=i(

20、A-BK)，i = 1,，n； j(F)，j = 1, ，n-q分離性原理：觀測器的引入不影響由狀態反饋陣K所配置的系統特征值i(A-BK)，i=1,，n；狀態反饋的引入也不影響已設計好的觀測器的特征值j(F)，j = 1, ，n-q。所以對包含觀測器的狀態反饋系統其設計可分離地來進行；69觀測器的引入不改變原狀態反饋系統的傳遞函數矩陣觀測器的引入使狀態反饋系統KB不再保持能控性，即KB不完全正確能控，且分解后的能控部分為A-BK,B,C 一般地說，包含觀測器的狀態反饋系統在魯棒性上較直接狀態反饋系統為差。觀測器綜合原則：通常選擇觀測器特征值負實部取為A-BK特征值負實部的2-3倍，即 Re

21、(F) = (23) Re (A - BK)70G1(s)=KQ2(sI-F)-1HG2(s)=KQ2(sI-F)-1G+ KQ1Gp(s)= G2(s) GT(s)=I + G1(s)-171本章定位：對連續時間線性時不變狀態反饋控制系統的綜合和實現方法的系統論述控制系統綜合的理論和方法：核心是對相應類型性能指標建立狀態反饋可綜合條件；實質是為確定狀態反饋提供可行算法極點配置問題：節6.3節6.6動態解耦和靜態解耦問題：節6.7節6.8擾動抑制和漸近跟蹤問題：節6.9線性二次型最優控制問題：節6.10節6.11控制系統物理實現和實際運行中的理論問題觀測器：節6.12節6.14具有觀測器的狀態反饋系統：分離性，節6.15返回72例 給定單輸入線性定常系統和期望的閉環特征值，求反饋增益陣。uxx0011210061000jj1,1, 2*3*2*1解：計算特征多項式ssssssAsI7218121006100det)det(23464)1)(1)(2()()(2331*sssjsjssssii14,66, 4,2*21*10*0k73001011211872118720118001001016100111,2122bA