試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁浙江省寧波市寧海縣2022年自主招生考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題（每題5分，30分）1．若對任何實(shí)數(shù)x，不等式都成立，則a的取值范圍是（）A． B． C． D．2．如圖，將正方形對折后展開（圖④是連續(xù)兩次對折后再展開），再按圖示方法折疊，能夠得到一個(gè)直角三角形（陰影部分），且它的一條直角邊等于斜邊的一半，這樣的圖形有（

）．A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)3．已知，則的最小值是（）．A．6 B．3 C．-3 D．04．如圖，AD為等邊△ABC的高，E、F分別為線段AD、AC上的動(dòng)點(diǎn)，且AE＝CF，當(dāng)BF＋CE取得最小值時(shí)，∠AFB＝A．112.5° B．105° C．90° D．82.5°5．如果a，b，c，d都是非零實(shí)數(shù)，且滿足，下列結(jié)論中，（1）（2）（3），則一定成立的命題個(gè)數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．36．若過點(diǎn)作四條直線構(gòu)成一個(gè)正方形，則該正方形的面積不可能為（）A． B． C． D．二、填空題（每題5分，共30分）7．如圖，在?中，點(diǎn)在邊上，以為折痕，將向上翻折，點(diǎn)正好落在上的點(diǎn)處．若的周長為，的周長為，則的長為．8．如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別在邊AB，BC，CD，DA上，點(diǎn)P在矩形ABCD內(nèi)．若AB＝4cm，BC＝6cm，AE＝CG＝3cm，BF＝DH＝4cm，四邊形AEPH的面積為5cm2，則四邊形PFCG的面積為cm2．9．從1，2，3，4中任取3個(gè)數(shù)，作為一個(gè)一元二次方程的系數(shù)，則構(gòu)作的一元二次方程有實(shí)根的概率是．10．如圖所示，在矩形中，是線段的中點(diǎn)，F(xiàn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，沿直線翻折到，連結(jié)．當(dāng)最短時(shí)，則．11．已知點(diǎn)與點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)周長最小時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是．12．如圖，點(diǎn)C坐標(biāo)為（2，5），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（7，0），⊙C的半徑為，點(diǎn)B在⊙C上一動(dòng)點(diǎn)，的最小值為．三、解答題（共5小題，共60分）13．如圖，是的直徑，，求的值．14．我們定義：對角線互相垂直的四邊形叫做“對垂四邊形”．（1）如圖1，四邊形ABCD為“對垂四邊形”．求證：AB2+CD2＝BC2+AD2．（2）如圖2，E是四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，連結(jié)AE，BE，CE和DE，AC與BD交于點(diǎn)O．若∠BEC＝90°，∠BAC＝∠BDC，∠1+∠2＝∠3．求證：四邊形ABCD為“對垂四邊形”．（3）如圖3，四邊形ABCD為“對垂四邊形”，AB＝AC，∠ADC＝120°，AD＝3，BC＝DC，求CD的長．15．在平面上，若點(diǎn)與三個(gè)頂點(diǎn)中的任意兩點(diǎn)均構(gòu)成等腰三角形，則稱點(diǎn)是的“妙點(diǎn)”．(1)①若點(diǎn)是邊長為4的等邊內(nèi)部一個(gè)“妙點(diǎn)”，則；②在平面上，等邊共有個(gè)"妙點(diǎn)"；(2)在中，是的一個(gè)“妙點(diǎn)”，且，請直接寫出所有滿足題意的的度數(shù)并畫出對應(yīng)的圖形．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁1．B【分析】本題主要考查了化簡二次根式，求不等式的解集，絕對值的幾何意義，將原式化簡為絕對值表的形式，根據(jù)絕對值的幾何意義并求其最小值，進(jìn)而確定參數(shù)a的取值范圍．【詳解】解：，由絕對值的幾何意義可得，表示的是數(shù)軸上表示數(shù)的點(diǎn)到表示數(shù)和數(shù)的兩個(gè)點(diǎn)的距離之和，∴當(dāng)，有最小值，最小值為，則此時(shí)∵若對任何實(shí)數(shù)x，不等式都成立，∴的最小值要大于等于，∴，故選：B．2．C【詳解】試題分析：根據(jù)含30°角所對的直角邊等于斜邊一半，然后依次判斷直角三角形中能否找到一個(gè)角等于30°，從而判斷出答案．試題解析：設(shè)正方形的邊長為a，在圖①中，CE=ED=a，BC=DB=a，故∠EBC=∠CEB≠30°，故△ECB，故不能滿足它的一條直角邊等于斜邊的一半．在圖②中，BC=a，AC=AE=a，故∠BAC=30°，從而可得∠CAD=∠EAD=30°，故能滿足它的一條直角邊等于斜邊的一半．在圖③中，AC=a，AB=a，故∠ABC=∠DBC≠30°，故不能滿足它的一條直角邊等于斜邊的一半．在圖④中，AE=a，AB=AD=a，故∠ABE=30°，∠EAB=60°，從而可得∠BAC=∠DAC=60°，∠ACB=30°，故能滿足它的一條直角邊等于斜邊的一半．綜上可得有2個(gè)滿足條件．故選C．考點(diǎn)：翻折變換（折疊問題）．3．A【分析】由已知得m，n是關(guān)于x的一元二次方程x2－2ax＋2＝0的兩個(gè)根，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到m＋n＝2a，mn＝2，再根據(jù)完全平方公式展開化簡，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題．【詳解】解：∵m2－2am＋2＝0，n2－2an＋2＝0，∴m，n是關(guān)于x的一元二次方程x2－2ax＋2＝0的兩個(gè)根，∴m＋n＝2a，mn＝2，∴(m－1)2＋(n－1)2＝m2－2m＋1＋n2－2n＋1＝(m＋n)2－2mn－2(m＋n)＋2＝4a2－4－4a＋2＝4(a－)2－3，∵a≥2，∴當(dāng)a＝2時(shí)，(m－1)2＋(n－1)2有最小值，∴(m－1)2＋(n－1)2的最小值＝4(2－)2－3＝6，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的最值，熟練掌握根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．4．B【分析】如圖，作輔助線，構(gòu)建全等三角形，證明△AEC≌△CFH，得CE＝FH，將CE轉(zhuǎn)化為FH，與BF在同一個(gè)三角形中，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，確定點(diǎn)F的位置，即F為AC與BH的交點(diǎn)時(shí)，BF+CE的值最小，求出此時(shí)∠AFB＝105°．【詳解】解：如圖，作CH⊥BC，且CH＝BC，連接BH交AD于M，連接FH，∵△ABC是等邊三角形，AD⊥BC，∴AC＝BC，∠DAC＝30°，∴AC＝CH，∵∠BCH＝90°，∠ACB＝60°，∴∠ACH＝90°﹣60°＝30°，∴∠DAC＝∠ACH＝30°，∵AE＝CF，∴△AEC≌△CFH，∴CE＝FH，BF+CE＝BF+FH，∴當(dāng)F為AC與BH的交點(diǎn)時(shí)，如圖2，BF+CE的值最小，此時(shí)∠FBC＝45°，∠FCB＝60°，∴∠AFB＝105°，故選B．【點(diǎn)睛】此題考查全等三角形的性質(zhì)和判定、等邊三角形的性質(zhì)、最短路徑問題，關(guān)鍵是作出輔助線，當(dāng)BF+CE取得最小值時(shí)確定點(diǎn)F的位置，有難度．5．C【分析】本題考查代數(shù)式的運(yùn)算與等式推導(dǎo)，解題的關(guān)鍵是通過對已知條件進(jìn)行變形、運(yùn)算來推導(dǎo)結(jié)論．由已知條件，，，通過代數(shù)推導(dǎo)和構(gòu)造特例驗(yàn)證各結(jié)論是否成立．【詳解】（1）由和，結(jié)合，可構(gòu)造，或，．此時(shí)，故結(jié)論（1）恒成立．（2）將代入，若，，則；若，，則．因此結(jié)論（2）恒成立．（3）取，，，，滿足已知條件，但，故結(jié)論（3）不一定成立．綜上，結(jié)論（1）和（2）一定成立，正確命題個(gè)數(shù)為2，故選C．6．A【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，解直角三角形的相關(guān)計(jì)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角函數(shù)定義．分三種情況討論：當(dāng)過點(diǎn)P的直線與過點(diǎn)Q的直線平行，與過點(diǎn)R的直線和過點(diǎn)S的直線垂直時(shí)，當(dāng)過點(diǎn)P的直線與過點(diǎn)R的直線平行，與過點(diǎn)Q的直線和過點(diǎn)S的直線垂直時(shí)，當(dāng)過點(diǎn)P的直線與過點(diǎn)S的直線平行，與過點(diǎn)Q的直線和過點(diǎn)R的直線垂直時(shí)，分別求出結(jié)果即可．【詳解】解：∵過點(diǎn)作四條直線構(gòu)成一個(gè)正方形，∴過點(diǎn)P的直線，必和過Q、R、S的直線中的一條直線平行，與另外兩條直線垂直，當(dāng)過點(diǎn)P的直線與過點(diǎn)Q的直線平行，與過點(diǎn)R的直線和過點(diǎn)S的直線垂直時(shí)，如圖1所示：過點(diǎn)C作x軸的平行線交直線于點(diǎn)M，交直線于點(diǎn)N，設(shè)，∵，∴，∵，∴，∵，∴，，在中，，∴，在中，，∴，∵，∴，在中，，，，根據(jù)勾股定理得：∴，，∵，∴，∴；當(dāng)過點(diǎn)P的直線與過點(diǎn)R的直線平行，與過點(diǎn)Q的直線和過點(diǎn)S的直線垂直時(shí)，，，同理可得：，∴，；當(dāng)過點(diǎn)P的直線與過點(diǎn)S的直線平行，與過點(diǎn)Q的直線和過點(diǎn)R的直線垂直時(shí)，，，同理可得：，∴，；綜上分析可知：該正方形的面積不可能為．故選：A．7．6【分析】根據(jù)翻折變換的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)證明，此為解題的關(guān)鍵性結(jié)論；運(yùn)用的周長為，求出的長，即可解決問題．【詳解】解：如圖，四邊形為平行四邊形，，；由題意得：，；的周長為，的周長為，，，，即，，即；，故答案為：．【點(diǎn)睛】該題主要考查了翻折變換的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)等幾何知識(shí)點(diǎn)及其應(yīng)用問題，解題的方法是準(zhǔn)確找出圖形中隱含的等量關(guān)系；解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用翻折變換的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)等幾何知識(shí)點(diǎn)來分析、判斷、解答．8．8.【分析】先連接AP，CP．把該四邊形分解為三角形進(jìn)行解答．設(shè)△AHP在AH邊上的高為x，△AEP在AE邊上的高為y．得出AH=CF，AE=CG．然后得出S四邊形AEPH=S△AHP+S△AEP．得到x、y的關(guān)系，再利用S四邊形PFCG=S△CGP+S△CFP求解即可.【詳解】連接AP，CP，設(shè)△AHP在AH邊上的高為x，△AEP在AE邊上的高為y．則△CFP在CF邊上的高為4-x，△CGP在CG邊上的高為6-y．∵AH=CF=2，AE=CG=3，∴S四邊形AEPH=S△AHP+S△AEP=AH×x×+AE×y×=2x×+3y×=5，得到2x+3y=10，S四邊形PFCG=S△CGP+S△CFP=CF×（4-x）×+CG×（6-y）×=2（4-x）×+3（6-y）×=（26-2x-3y）×=（26-10）×=8．【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形性質(zhì)與三角形面積的計(jì)算，集體關(guān)鍵在于能夠利用割補(bǔ)法表示出不規(guī)則四邊形的面積.9．0.25##【詳解】解：從1，2，3，4中任取3個(gè)數(shù)，作為一個(gè)一元二次方程的系數(shù)共有24種情況，設(shè)一元二次方程為ax2+bx+c=0，要使其有根必須b2-4ac≥0，所以滿足構(gòu)作的一元二次方程有實(shí)根的情況數(shù)（以此代表a，b，c）有①1，3，2；②2，3，1；③1，4，2；④1，4，3；⑤2，4，1；⑥3，4，1共6種，∴構(gòu)作的一元二次方程有實(shí)根的概率是=0.25．故答案為：10．##【分析】當(dāng)最短時(shí)，，，共線，此時(shí)，，根據(jù)矩形的性質(zhì)得出，再求得，，然后利用勾股定理求得，再證明，列出比例式，分別求得，，從而可求得，，進(jìn)而求得，再利用勾股定理求得，然后求得．【詳解】解：由折疊可知：，∴在以E為圓心，為半徑的圓上，如圖所示,此時(shí)最短，過作于，于，∵四邊形是矩形，，，∴，∵是線段的中點(diǎn)，∴，，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，，∴，，∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的折疊問題，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，解題關(guān)鍵是掌握上述知識(shí)點(diǎn)，并能熟練運(yùn)用求解．11．【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的焦點(diǎn)、準(zhǔn)線，解題關(guān)鍵是掌握上述知識(shí)點(diǎn)，并能熟練運(yùn)用求解．將拋物線化成頂點(diǎn)式，結(jié)合拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的焦點(diǎn)及平移規(guī)律得到的焦點(diǎn)坐標(biāo)，正好是題目中的F點(diǎn)，結(jié)合圖象，當(dāng)周長最小時(shí)，即最小，根據(jù)拋物線上點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于該點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，可知當(dāng)、、處于同一條直線上時(shí)，最小，從而得到P點(diǎn)橫坐標(biāo)等于A的橫坐標(biāo)，進(jìn)而求得P點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】解：，可看成向右平移1個(gè)單位，向上平移3個(gè)單位得到，由拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程可得的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線：，故拋物線的焦點(diǎn)為即為F點(diǎn)，準(zhǔn)線l：，如圖，A、F為定點(diǎn)，當(dāng)周長最小時(shí)，即最小，F(xiàn)為拋物線焦點(diǎn)，則等于P到準(zhǔn)線l的距離，當(dāng)、、處于同一條直線上時(shí)，最小，此時(shí)P的橫坐標(biāo)與A的橫坐標(biāo)相同，為3，代入拋物線得縱坐標(biāo)，故點(diǎn)P坐標(biāo)為，故答案為：．12．5【分析】在AC上取點(diǎn)P，使∠CBP=∠BAC，可得△CBP∽△CAB，從而得到，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離，可得，可得到，，則有，進(jìn)而當(dāng)O、B、P三點(diǎn)共線，且B位于O、P兩點(diǎn)之間時(shí)，OB+BP有最小值，最小值為OP，然后求出直線AC的解析式為，可設(shè)，從而得到，可得點(diǎn)，即可求解．【詳解】解：如圖，在AC上取點(diǎn)P，使∠CBP=∠BAC，∴△CBP∽△CAB，∴，∵點(diǎn)C坐標(biāo)為（2，5），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（7，0），∴，∵⊙C的半徑為，∴,∴，解得：，∴，∴，∴，∴當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至AC的下方時(shí)，OB+BP有最小值，∵OB+BP≥OP，∴當(dāng)O、B、P三點(diǎn)共線，且B位于O、P兩點(diǎn)之間時(shí)，OB+BP有最小值，最小值為OP，設(shè)直線AC的解析式為，把點(diǎn)C（2，5），A（7，0）代入，得：，解得：，∴直線AC的解析式為，可設(shè)，∵，∴，解得：或-1（舍去），∴，∴點(diǎn)，∴∴的最小值為5．故答案為：5【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的基本性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，兩點(diǎn)間的距離，一次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)定理，兩點(diǎn)間的距離公式是解題的關(guān)鍵．13．【分析】本題考查了圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，解題關(guān)鍵是利用相似三角形的性質(zhì)求得相關(guān)線段的比．先根據(jù)等弧得到再根據(jù)勾股定理求出長，然后證明，列出比例式求解，再求出即可．【詳解】解：如圖，連接，，∵∴∵是直徑，∴，∵，∴由勾股定理得∵∴∴即14．（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）1【分析】（1）由“對垂四邊形”的定義得出AC⊥BD，則∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，由勾股定理得AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，即可得出結(jié)論；（2）由三角形內(nèi)角和定理可得∠3＝∠ACD，由角的數(shù)量關(guān)系可得∠1＝∠ACE，可得∠BOC＝∠BEC＝90°，可得結(jié)論；（3）過點(diǎn)A作AH⊥DC，交CD延長線于點(diǎn)H，設(shè)CD＝x，則BC＝DC＝x，由“對垂四邊形”的定義可得AB2＝9+5x2﹣x2＝9+4x2＝AC2，由直角三角形的性質(zhì)可求DH＝AD＝，AH＝DH＝，由勾股定理可求解．【詳解】證明：（1）∵四邊形ABCD為“對垂四邊形”，∴AC⊥BD，∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，由勾股定理得，AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，∴AB2+CD2＝AD2+BC2；（2）∵∠BAC＝∠BDC，∠AOB＝∠COD，∴∠3＝∠ACD，∵∠3＝∠1+∠2，∠ACD＝∠ACE+∠2，∴∠1＝∠ACE，∴∠BOC＝∠BEC＝90°，∴AC⊥BD，∴四邊形ABCD為“對垂四邊形”；（3）過點(diǎn)A作AH⊥DC，交CD延長線于點(diǎn)H，設(shè)CD＝x，則BC＝DC＝x，∵四邊形ABCD為“對垂四邊形”，AD＝3，∴AB2+CD2＝AD2+BC2，∴AB2＝9+5x2﹣x2＝9+4x2，∵AB＝AC，∴AC2＝9+4x2，∵∠ADC＝120°，∴∠ADH＝60°，∠DAH＝30°，∴DH＝AD＝，AH＝DH＝，∵AC2＝AH2+CH2，∴9+4x2＝+（x+）2，∴x1＝0（舍去），x2＝1，∴CD的長度1．【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了勾股定理、三角形內(nèi)角