1、 前面討論了數列前面討論了數列xn=f (n)的極限的極限, 它是函它是函數極限中的特殊情形數極限中的特殊情形, 特殊性在于特殊性在于: n只取自只取自然數然數, 且且n趨于無窮大趨于無窮大. 現在討論現在討論y=f (x)的極限的極限, 自變量自變量x大致有大致有兩種變化形式兩種變化形式. (1) x, (2) xx0 (有限數有限數). 并且并且, x不是離散變化的不是離散變化的, 而是連續變化的而是連續變化的. 第二節第二節 函數的極限函數的極限討論f (x)=1/x在x +時的變化情況 yx0定義定義1.1. 設設f (x)在在(a, + )內有定義內有定義, Axfx )(lim也可

2、記為也可記為 f (x)A, (x+ )若若 0, M 0, 當當xM時時, 相應的函數值相應的函數值f (x)滿滿足足 | f (x) A |0”.但是, 數列極限中n是離散變化的, 而這里x是連續變化的.Axfx )(lim則記則記若 0, M 0, 當xM 時, 有|f (x)A |0, 自然數N, 使得當nN 時, 都有|xna|,.limaxnn則記例例1. 證明, 0limxxa 其中 0a1.證證: 0 1, 要使|ax0 |=ax0, M 0, 當xM 時,有|f (x)A |0, M0, 當當x-M時時, 相應的函數值相應的函數值f (x)滿足滿足 | f (x) A |0,

3、 M 0, 當當|x|M時時, 相應的函數值滿足相應的函數值滿足| f (x) A | 則稱則稱A為為 f (x)當當x時的極限時的極限,記作記作 )( ,)( )(lim xAxfAxfx或或由定義由定義1, 2可知可知axfxfaxfxxx)(lim)(lim )(lim，和和作作直直線線 AyAy, ,MM 則則總總有有一一個個區區間間在在此此區區間間之之外外，.)(之之間間的的圖圖形形位位于于這這兩兩條條直直線線函函數數xfy AM M0yx A A幾何意義幾何意義例例2 用定義證明用定義證明212limxxx，即可，即可因此取因此取只需只需成立，成立，要使要使 1X,1xx12x12

4、x2)x( f, 0 若當若當x x0時時, 對應的函數值對應的函數值f (x)A, 則則稱稱A是是f (x)當當x x0時的極限時的極限, f (x)A可用可用| f (x) A | 刻劃刻劃,如何用精確的數學如何用精確的數學而而x x0則則可用可用 |x x0 |0, 0, 當當0|x x0| 時時,相應的函相應的函數值數值f (x)滿足滿足 | f (x) A |0”,將將“ nN ” 換成換成“ 0|x x0|0, 自然數自然數N, 使得使得當當nN 時時, , 都有都有|xn a|0, 0, 當當0|x x0| 時時, | f (x) A | , 則記則記Axfxx )(lim0.l

5、imaxnn則記而現在而現在 x x0, “ 0|x x0|N” 表示了表示了n充分大這一意思充分大這一意思. 1）2）即使函數 f(x)在x0點無定義，仍可考慮)(lim0 xfxx的存在問題:3） 00 xx意味;0 xx 如果函數 f( x) 在 x0 有定義，4）由定義知：；為任意實數為任意實數)(lim00 xccxx ?)(lim0 xfxx是否必存在極限注意注意xx0 意為從 x0 兩側無限接近x0；?)()(lim00 xfxfxx 是否必有00limxxxx 的的某某去去心心鄰鄰域域，都都能能定定出出0 x例 證明3)12(2)( xxf. 2)12(lim2/1 xx，對對

6、任任意意給給定定的的0 在在此此鄰鄰域域內內的的圖圖形形函函數數)(xfy AyAy和和位位于于以以直直線線.為為邊邊的的帶帶形形區區域域內內證,2) 12( x欲使,2/12 x只要幾何意義幾何意義22 x任意給定 0, 因為例 證明. 2) 12(lim2/ 1 xx所所以以. 4lim22 xx22lim4.xx ,2 故故可可取取,2)( xf必必有有, 31 x不不妨妨設設,5 故故可可取取( )4,f x 必必有有對于任意給定的正數， 252)2( xxx因為,42 x所以要使,25 x只要4)( xf42 x,2/10 x當當證時時，當當 20 x .2/1,2/1, 12121

7、4)(2時時當當無無定定義義時時當當xxxxxxfyx012xx xyyy=f (x)x11/221214lim22/1 xxx例例4. 證明 證證: 0,|12|21214|2)(|2 xxxxf因因要使要使|f (x)2| , 只須只須| 2x 1| . 21214lim21 xxx(本例說明f (x)在x0無定義, 但其極限可能存在)取取 = .則當則當0|2x 1| 時時, 有有|f (x)2|0, 0, 當0|xx0| 時, 有 | f (x) a |0,|2sin22sin2cos2|sinsin| 00000 xxxxxxxxxx因要使|sinx sinx0| , 只須|x x0

8、|0, 0, 當0|xx0| 時, 有 | f (x) a |0, 0. 當當0 xx0 (或或0 x0 x ) 時，有時，有|)(|axf則稱則稱a為為f (x)當當xx0的右極限的右極限(或左極限或左極限), 記作記作)( ,)( )(lim00 xxaxfaxfxx，也可記作)( ,)( )(lim00 xxaxfaxfxx，也可記作或左、右極限左、右極限例：例：設f (x) = 1 ,當x0時, x,當x0時,).(lim0 xfx討論解：解： f (x)是一個分段函數，x=0是這個分段函數的分段點. 由于當x0, 0, 當0|xx0| 時, | f (x) a |0, 0. 當0 x

9、x0 (或0 x0 x 0時,).(lim0 xfx討論解：解： f (x)是一個分段函數，x=0是這個分段函數的分段點. 由于當x0時, 對應的函數值f (x) =-x.)(lim 0 xfx故由于當x0時, 對應的函數值f (x) = x.)(lim 0 xfx 故0)(lim 1.0 xfx由定理對一個分段函數來說，其分段點處的極限要分左、右極限討論.0lim0 xx0 例例6：設 f (x) = x ,當x0時,sinx, 當x0時,).(lim0 xfx討論解：解： f (x)是一個分段函數，x=0是這個分段函數的分段點. 由于當x0時, 對應的函數值f (x) =x.)(lim 0

10、 xfx故由于當x0時, 對應的函數值f (x) = sinx.)(lim 0 xfx 故0)(lim 1.0 xfx由定理對一個分段函數來說，其分段點處的極限要分左、右極限討論.0lim0 xxxxsinlim0 00sin例例7：設 f (x) = x ,當x0時,cos x, 當x0時,).(lim0 xfx討論)(lim 0 xfx而)(lim 0 xfx 解：解：左、右極限存在, 但不相等,.)(lim 0不存在故xfxxx0lim= 0 xxcoslim0 10cos以后, 常用下列記號表示函數的左, 右極限)(lim)0( ),(lim)0(0000 xfxfxfxfxxxx 看

11、圖x0+cosxxyx01yy.)(lim)(0存在，則極限唯一若xfxxx)0(0,)(lim)( 0aaaxfxx或若保號性定理時，當則 |00oxx, 0),0(0,)(limaaaxfx則或若)0)(0)(|xfxfXx或時，有當定理2.定理3.) 0)( 0)(xfxf或有.)(lim),0)(0)( )(0存在且或若xfxfxfxxx).0)(lim(0)(lim )()(00 xfxfxxxxxx或則. 0)(lim0)(0 xfxfxx，也只能推出即使: :注意注意0|1lim01 0 x|x|xx，但如推論:定義5: 若存在x0的某去心鄰域 (x0)，使得f (x)在 (x0)內有界，則稱f (x)是x xo時的有界量.若 0，使得f (x)在(, X)(X, +) 內有界, 則稱f (x)是x時的有界量.比如y=x2在定義域(, +) 內是無界的, 但在 x=0的某個小鄰域內是有界的. 因此, y=x2是x0時的有界量.y=x20 xyM).(01從函數圖形上可看出時的有界量不是 xxy0yxxy1.)(時的有界量或x0)()(,)(lim若0 xxxfxfxxx是則存在比如: y=sinx在(,+)內有界，是x時的有界量. 但.sinlim不存在xx定理4.定理4的逆命題不成立.cosl