1、 11.6 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)1三角函數(shù)系的正交性三角函數(shù)系的正交性函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)小結(jié)小結(jié) 思考題思考題 作業(yè)作業(yè)( (傅氏級數(shù)傅氏級數(shù)Fourier series)問題的提出問題的提出11.6 傅里葉傅里葉( (Fourier) )級數(shù)級數(shù)正弦級數(shù)或余弦級數(shù)正弦級數(shù)或余弦級數(shù) 第第11 11章章 無窮級數(shù)無窮級數(shù) 11.6 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)2上一節(jié)詳細(xì)研究了一種重要的函數(shù)項(xiàng)級數(shù)上一節(jié)詳細(xì)研究了一種重要的函數(shù)項(xiàng)級數(shù): :冪級數(shù)冪級數(shù). . 下面研究另一種重要的函數(shù)項(xiàng)級數(shù)下面研究另一種重要的函數(shù)項(xiàng)級數(shù): :這種級數(shù)是由于這種級數(shù)是由于研究周期現(xiàn)象的需要而產(chǎn)研究周期

2、現(xiàn)象的需要而產(chǎn)生生的的. 它在電工、力學(xué)和許多學(xué)科中都有很重要它在電工、力學(xué)和許多學(xué)科中都有很重要的應(yīng)用的應(yīng)用. 傅里葉傅里葉(Fourier,1768-1830) 法國數(shù)學(xué)家和法國數(shù)學(xué)家和法國科學(xué)院院士法國科學(xué)院院士, 英國皇家學(xué)會(huì)會(huì)員英國皇家學(xué)會(huì)會(huì)員.傅里葉傅里葉級數(shù)級數(shù). .物理學(xué)家物理學(xué)家. 11.6 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)31757年年, 法國數(shù)學(xué)家克萊羅在研究太陽引法國數(shù)學(xué)家克萊羅在研究太陽引 10cos2)(nnnxAAxf1759年年, 拉格朗日在對聲學(xué)的研究中也使用拉格朗日在對聲學(xué)的研究中也使用 用三角函數(shù)的正交性得到了將函數(shù)表示成三角用三角函數(shù)的正交性得到了將函數(shù)表示成三角1

3、777年年, 歐拉在研究天文學(xué)的時(shí)候歐拉在研究天文學(xué)的時(shí)候,級數(shù)時(shí)的系數(shù)級數(shù)時(shí)的系數(shù),也就是現(xiàn)今教科書中傅里葉級數(shù)也就是現(xiàn)今教科書中傅里葉級數(shù)的系數(shù)的系數(shù). .大膽地采用了大膽地采用了歷史朔源歷史朔源三角級數(shù)三角級數(shù)表示函數(shù)表示函數(shù): : 20dcos)(21xnxxfAn其中其中起的攝動(dòng)時(shí)起的攝動(dòng)時(shí),了了三角級數(shù)三角級數(shù). . 11.6 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)4微分方程是分不開的微分方程是分不開的. .析學(xué)的發(fā)展析學(xué)的發(fā)展. .形所采用的三角級數(shù)方法進(jìn)行加工處理形所采用的三角級數(shù)方法進(jìn)行加工處理,1753年年,的解表示為三角級數(shù)的形式的解表示為三角級數(shù)的形式, 這為函數(shù)的傅里葉這為函數(shù)的傅里葉

4、展開這個(gè)純數(shù)學(xué)問題奠定了物理基礎(chǔ)展開這個(gè)純數(shù)學(xué)問題奠定了物理基礎(chǔ), 促進(jìn)了分促進(jìn)了分在歷史上在歷史上,丹丹 貝努利首先提出將弦振動(dòng)方程貝努利首先提出將弦振動(dòng)方程1822年年,傅里葉在傅里葉在熱的解析理論熱的解析理論一書中一書中對于歐拉和貝努利等人就一些孤立的對于歐拉和貝努利等人就一些孤立的,特殊的情特殊的情發(fā)展成發(fā)展成一般理論一般理論. .三角級數(shù)的出現(xiàn)和發(fā)展三角級數(shù)的出現(xiàn)和發(fā)展與求解與求解 11.6 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)5一、問題的提出一、問題的提出在自然界和人類的生產(chǎn)實(shí)踐中在自然界和人類的生產(chǎn)實(shí)踐中, 周而復(fù)始周而復(fù)始的現(xiàn)象的現(xiàn)象, 周期運(yùn)動(dòng)是司空見慣的周期運(yùn)動(dòng)是司空見慣的.如行星的運(yùn)轉(zhuǎn)如

5、行星的運(yùn)轉(zhuǎn),飛輪的旋轉(zhuǎn)飛輪的旋轉(zhuǎn), 蒸氣機(jī)活塞的蒸氣機(jī)活塞的往復(fù)運(yùn)動(dòng)往復(fù)運(yùn)動(dòng),物體的振物體的振聲、熱、光、電的波動(dòng)等聲、熱、光、電的波動(dòng)等. 數(shù)學(xué)上數(shù)學(xué)上, 用周期用周期最簡單最基本最簡單最基本的周期函數(shù)是的周期函數(shù)是)sin( tA諧函數(shù)諧函數(shù)周期周期 2振幅振幅時(shí)間時(shí)間角頻率角頻率初相初相 簡諧波簡諧波 簡諧振動(dòng)簡諧振動(dòng)正弦函數(shù)正弦函數(shù)動(dòng)動(dòng),函數(shù)來描述它們函數(shù)來描述它們. 11.6 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)6它們反映較復(fù)雜的周期現(xiàn)象它們反映較復(fù)雜的周期現(xiàn)象.除了正弦函數(shù)外除了正弦函數(shù)外,常遇到的是常遇到的是非正弦周期函數(shù)非正弦周期函數(shù),如電子技術(shù)中遇到的如電子技術(shù)中遇到的矩形波矩形波(如圖如圖

6、):Oxu2T 2T對復(fù)雜的周期運(yùn)動(dòng)如何進(jìn)行定量分析呢對復(fù)雜的周期運(yùn)動(dòng)如何進(jìn)行定量分析呢?知道知道, 光的傳播是波動(dòng)光的傳播是波動(dòng), 通過三棱鏡的色散可以看到通過三棱鏡的色散可以看到白光是由七種不同頻率的單色光組成白光是由七種不同頻率的單色光組成.同樣同樣, 復(fù)雜的聲波、電磁波復(fù)雜的聲波、電磁波反之反之,色光疊加又可構(gòu)成復(fù)光色光疊加又可構(gòu)成復(fù)光.也是由不同頻率的諧波疊加而成也是由不同頻率的諧波疊加而成.不同頻率的諧振動(dòng)不同頻率的諧振動(dòng)我們我們幾種單幾種單可以組成復(fù)雜的周期運(yùn)動(dòng)可以組成復(fù)雜的周期運(yùn)動(dòng). 11.6 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)7如矩形波如矩形波 ,0, 1, 0, 1)(tttu當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)不

7、同頻率正弦波不同頻率正弦波除了正弦函數(shù)外除了正弦函數(shù)外,常遇到的是常遇到的是非正弦周期函數(shù)非正弦周期函數(shù),較復(fù)雜的較復(fù)雜的周期現(xiàn)象周期現(xiàn)象逐個(gè)疊加逐個(gè)疊加分解分解Otu11 ,sin4t,3sin314t ,5sin514t ,7sin714t ,9sin914t 11.6 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)8tusin4 11 下面以圖顯示下面以圖顯示傅里葉級數(shù)的部分和隨著傅里葉級數(shù)的部分和隨著n的的增加是如何越來越精確地逼近增加是如何越來越精確地逼近u(t)的的.,sin4t,3sin314t ,5sin514t ,7sin714t ,9sin914t Otu矩形波矩形波 ,0, 1, 0, 1)(tt

8、tu當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng) 11.6 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)9)3sin31(sin4ttu ,sin4t,3sin314t ,5sin514t ,7sin714t ,9sin914t 矩形波矩形波 ,0, 1, 0, 1)(tttu當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)Otu11 11.6 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)10)5sin513sin31(sin4tttu ,sin4t,3sin314t ,5sin514t ,7sin714t ,9sin914t 矩形波矩形波 ,0, 1, 0, 1)(tttu當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)Otu11 11.6 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)11)7sin715sin513sin31(sin4ttttu ,sin4t,3sin314

9、t ,5sin514t ,7sin714t ,9sin914t 矩形波矩形波 ,0, 1, 0, 1)(tttu當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)Otu11 11.6 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)1241111( )(sinsin3sin5sin7sin9)3579u tttttt( ,0)tt)9sin917sin715sin513sin31(sin4tttttu ,sin4t,3sin314t ,5sin514t ,7sin714t ,9sin914t 矩形波矩形波 ,0, 1, 0, 1)(tttu當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)Otu11 11.6 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)13設(shè)想設(shè)想一個(gè)較復(fù)雜的周期運(yùn)動(dòng)一個(gè)較復(fù)雜的周期運(yùn)動(dòng)(如矩形波如矩形波)分

10、解分解為簡諧振動(dòng)的迭加為簡諧振動(dòng)的迭加. 會(huì)給分析問題帶來方便會(huì)給分析問題帶來方便. 是把一個(gè)復(fù)雜的是把一個(gè)復(fù)雜的周期函數(shù)周期函數(shù) f (t)sin(nntnA 反映在數(shù)學(xué)上反映在數(shù)學(xué)上,的迭加的迭加,表示為各類表示為各類正弦函數(shù)正弦函數(shù) 10)sin(nnntnAA 諧波分析諧波分析或再利用三角恒等式或再利用三角恒等式, 10)sincoscossin(nnnnntnAtnAA 變形為變形為即即)sin( tA 簡諧振動(dòng)簡諧振動(dòng) 11.6 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)14,200Aa 令令,sinnnnAa ,cosnnnAb .xt 三角級數(shù)三角級數(shù) 10)sincos(2nnnnxbnxaa 1

11、0)sincoscossin(nnnnntnAtnAA 0AnnA sinnnA cost 函數(shù)函數(shù) f (t)滿足什么條件滿足什么條件,系數(shù)系數(shù)a0, an, bn如何確定如何確定?才能展為才能展為解決上述問題起著關(guān)鍵作用的是解決上述問題起著關(guān)鍵作用的是:三角函數(shù)系的正交性三角函數(shù)系的正交性(orthogonality). 10)sincos(2nnnnxbnxaa1 三角級數(shù)三角級數(shù)?為簡便計(jì)為簡便計(jì), 先來討論以先來討論以2為周期的函數(shù)為周期的函數(shù)f (x), 11.6 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)15, 1三角函數(shù)系三角函數(shù)系二、三角函數(shù)系的二、三角函數(shù)系的正交性正交性的的正交性正交性是指是指

12、:其中任何兩個(gè)其中任何兩個(gè)不同的函數(shù)的乘積不同的函數(shù)的乘積在一個(gè)周期長的區(qū)間在一個(gè)周期長的區(qū)間- -, 上的積分為零上的積分為零, 而任而任一個(gè)函數(shù)的自乘一個(gè)函數(shù)的自乘 (平方平方)在在- -, 上的積分為上的積分為或或,cos x,sin x,2cos x,2sin x,cosnx,sinnx 1nxcosxd 1nxsinxd0 即有即有xd12 ,2 orthogonality為為2. 11.6 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)16 dsinsinxnxmx dcossinxnxmx), 2 , 1,( nm其中其中xnxdcos2 xnxdsin2 ,nm , 0,nm ,0 dcoscosxnx

13、mx,nm , 0,nm , 11.6 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)171.1.傅里葉系數(shù)傅里葉系數(shù) (Fourier coefficient) 10)sincos(2)(kkkkxbkxaaxf若有若有.)1(0a求求220 a 0d)(1xxfa 0d2xa利用三角函數(shù)系的正交性利用三角函數(shù)系的正交性兩邊積分兩邊積分 1)dsindcos(kkkxkxbxkxa0 0 10)sincos(2)(kkkkxbkxaaxf xd xd xd三、函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)三、函數(shù)展開成傅里葉級數(shù) 11.6 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)18.)2(na求求 dcos)(xnxxfdcossindcoscos1 xnxk

14、xbxnxkxakkk 10)sincos(2)(kkkkxbkxaaxf 2dcosxnxanna dcos)(1xnxxfan), 3 , 2 , 1( n,cosnx兩邊同乘兩邊同乘 0dcos2xnxa利用三角函數(shù)系的正交性利用三角函數(shù)系的正交性nk 0 0 再從再從- -到到逐項(xiàng)積分逐項(xiàng)積分 11.6 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)19.)3(nb求求 dsin)(1xnxxfbn), 3 , 2 , 1( n dsin)(xnxxfdsinsindsincos1 xnxkxbxnxkxakkknb 10)sincos(2)(kkkkxbkxaaxf,sinnx兩邊同乘兩邊同乘 0dsin2x

15、nxa利用三角函數(shù)系的正交性利用三角函數(shù)系的正交性0 nk 0 再從再從- -到到逐項(xiàng)積分逐項(xiàng)積分 11.6 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)20 dcos)(1xnxxfan dsin)(1xnxxfbn), 2 , 1 , 0( n), 2 , 1( n xnxxfdcos)(1 xnxxfdsin)(10202希自己證明希自己證明設(shè)設(shè)f (x)是以是以2為周期的函數(shù)為周期的函數(shù), 且在且在- -, 或或0, 2上可積上可積, 則則 11.6 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)21 )., 2 , 1(dsin)(1), 2 , 1 , 0(dcos)(1nxnxxfbnxnxxfann 0d)(1xxfa dsi

16、n)(1xnxxfbn dcos)(1xnxxfan由于由于,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) nan的表達(dá)式正好給出的表達(dá)式正好給出a0.稱為稱為 歐拉歐拉-傅里葉系數(shù)公式傅里葉系數(shù)公式. 11.6 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)22稱為函數(shù)稱為函數(shù) f (x)(誘導(dǎo)出誘導(dǎo)出)的的傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)(或或傅氏級數(shù)傅氏級數(shù)), f (x) . )sincos(210 nnnnxbnxaa記為記為 10)sincos(2nnnnxbnxaa用它們作系數(shù)三角級數(shù)用它們作系數(shù)三角級數(shù)定義定義11.711.7 設(shè)設(shè)f (x)是以是以2為周期的函數(shù)為周期的函數(shù), 則上則上面確定的系數(shù)面確定的系數(shù)a0 , an, bn(n = 1,2

17、,)稱為函數(shù)稱為函數(shù)f (x)的的傅里葉系數(shù)傅里葉系數(shù)(或或傅氏系數(shù)傅氏系數(shù)), )., 2 , 1(dsin)(1), 2 , 1 , 0(dcos)(1nxnxxfbnxnxxfann 11.6 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)23為函數(shù)為函數(shù) f (x)(誘導(dǎo)出誘導(dǎo)出)的的傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù). . f (x) 10)sincos(2nnnnxbnxaa注注f (x)的傅里葉級數(shù)不見得收斂的傅里葉級數(shù)不見得收斂;即使收斂即使收斂,級數(shù)的和也不一定是級數(shù)的和也不一定是 f (x).不能無條件的把不能無條件的把下面的下面的傅里葉級數(shù)收斂定理傅里葉級數(shù)收斂定理回答了我們回答了我們.所以所以,符號(hào)符號(hào)“ ”

18、的傅里葉級數(shù)收斂的傅里葉級數(shù)收斂,當(dāng)當(dāng) f (x)滿足什么條件時(shí)滿足什么條件時(shí),它它并收斂于并收斂于 f (x)本身本身.換為換為“ = ”. 11.6 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)24狄利克雷狄利克雷(德德)1805-1859(收斂定理收斂定理, 狄利克雷狄利克雷(Dirichlet)(1) 在一個(gè)周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個(gè)第一類在一個(gè)周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個(gè)第一類(2)在一個(gè)周期內(nèi)至多只有有限個(gè)極值點(diǎn)在一個(gè)周期內(nèi)至多只有有限個(gè)極值點(diǎn);則由則由f (x)產(chǎn)生的傅里葉級數(shù)在任一點(diǎn)產(chǎn)生的傅里葉級數(shù)在任一點(diǎn)x都收斂都收斂, 且且設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f (x)是周期為是周期為2的周期函數(shù)的周期函數(shù),定理定理11.2211

19、.22充分條件充分條件)它在區(qū)間它在區(qū)間-, 上滿足條件上滿足條件:間斷點(diǎn)間斷點(diǎn); 11.6 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)25 當(dāng)當(dāng)x是是f (x)的連續(xù)點(diǎn)時(shí)的連續(xù)點(diǎn)時(shí),2)0()0( xfxf當(dāng)當(dāng)x是是f (x)的間斷點(diǎn)時(shí)的間斷點(diǎn)時(shí),時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x)(xS傅氏級數(shù)的和函數(shù)與函數(shù)傅氏級數(shù)的和函數(shù)與函數(shù) f (x)的關(guān)系的關(guān)系),(xf在在 f (x)的連續(xù)點(diǎn)處的連續(xù)點(diǎn)處,都收斂到都收斂到 f (x)自身自身;即使有間斷點(diǎn)即使有間斷點(diǎn), 函數(shù)也有傅氏級數(shù)函數(shù)也有傅氏級數(shù),上級數(shù)不收斂到函數(shù)值上級數(shù)不收斂到函數(shù)值,只不過在間斷點(diǎn)只不過在間斷點(diǎn)而是收斂到間斷點(diǎn)處左右而是收斂到間斷點(diǎn)處左右極限的算術(shù)平均值極限的

20、算術(shù)平均值;,處處在在端端點(diǎn)點(diǎn) x)()sincos(210 xfnxbnxaannn ,2)()(ff 0 0 收斂到左端點(diǎn)的右極限和右端點(diǎn)收斂到左端點(diǎn)的右極限和右端點(diǎn)的左極限的算術(shù)平均值的左極限的算術(shù)平均值. )(xS? 11.6 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)262)(,|2,2|,)(以以寫出寫出設(shè)設(shè)xfxxxxxf 為周期的傅氏級數(shù)的為周期的傅氏級數(shù)的和函數(shù)和函數(shù)S(x)在在 上的上的, 解解S(x) =, x ,x2 x, 0,2 x表達(dá)式表達(dá)式. 2 xyOx 2 2 f (x)的圖形的圖形yOx 2 2 和函數(shù)和函數(shù)S(x)的圖形的圖形 11.6 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)27 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)

21、f (x)以以2為周期為周期, 且且 .0,1,0, 1)(2時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxxxf).(處處收收斂斂于于其其傅傅氏氏級級數(shù)數(shù)在在 x研究生考題研究生考題, 填空填空, 3分分22 11.6 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)28解解可以將可以將f (x)展開為傅氏級數(shù)展開為傅氏級數(shù). 因?yàn)橐驗(yàn)?0( f)0( f所以所以,收收斂斂于于的的傅傅氏氏級級數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn))( xxf2)0()0( ff,1)1(lim22 xx, 1)1(lim x.22 其傅氏級數(shù)在其傅氏級數(shù)在 處收斂于處收斂于( ). x 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f (x)以以2為周期為周期, 且且 由于由于f (x)在區(qū)間在區(qū)間- -, 上滿足狄利

22、克雷條件上滿足狄利克雷條件, .0,1,0, 1)(2時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxxxf 11.6 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)29(1)函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)的條件比展開成函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)的條件比展開成(2) 周期函數(shù)的三角級數(shù)展開是唯一的周期函數(shù)的三角級數(shù)展開是唯一的, 就是就是(3) 要注明要注明傅氏級數(shù)的和函數(shù)與函數(shù)傅氏級數(shù)的和函數(shù)與函數(shù) f (x)相等相等注注冪級數(shù)的條件低冪級數(shù)的條件低得得多多;其其傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù),20a 0d)(1xxfa的區(qū)域的區(qū)域.就是函數(shù)在一個(gè)就是函數(shù)在一個(gè)周周期內(nèi)的平均值期內(nèi)的平均值;它的常數(shù)項(xiàng)它的常數(shù)項(xiàng) 11.6 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)30研究生考題研究生考題,

23、填空填空, 3分分的傅里葉級數(shù)的傅里葉級數(shù)設(shè)設(shè))( ,)(2 xxxxf則則展開式為展開式為)sincos(210nxbnxaannn ).(3 b系數(shù)系數(shù)23 dsin)(1xnxxfbn解解 由由傅里葉系數(shù)公式傅里葉系數(shù)公式, 3 n 23d3sin)(1xxxxbsin3 dxx x 2.3 偶偶奇奇02d3sind3sin12 xxxxxx33 11.6 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)31周期函數(shù)的周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)解題程序傅里葉級數(shù)解題程序: :并驗(yàn)證是否滿足狄氏條件并驗(yàn)證是否滿足狄氏條件(畫圖目的畫圖目的: 驗(yàn)證狄氏條件驗(yàn)證狄氏條件; 由圖形寫出收斂域由圖形寫出收斂域;易看出奇偶性可減少求

24、系數(shù)的工作量易看出奇偶性可減少求系數(shù)的工作量);(2) 求出傅氏系數(shù)求出傅氏系數(shù);(3) 寫出傅氏級數(shù)寫出傅氏級數(shù), 并注明它在何處收斂于并注明它在何處收斂于f (x).(1) 畫出畫出 f (x)的圖形的圖形, 11.6 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)32解解u(t)的圖象的圖象 計(jì)算傅里葉系數(shù)計(jì)算傅里葉系數(shù) dcos)(1tnttuan), 2 , 1( n 0d)(1ttua奇奇0 奇奇0 將其展開為傅氏級數(shù)將其展開為傅氏級數(shù),并按狄利克雷定理寫出此級數(shù)的和并按狄利克雷定理寫出此級數(shù)的和.例例 0d)(1xxfaOtumEmE 以以2為周期的矩形脈沖的波形為周期的矩形脈沖的波形 0,0,)(tEt

25、Etumm dcos)(1xnxxfan 11.6 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)33 dsin)(1tnttubn)cos1(2nnEm )1(1 2nmnE 偶偶 tntEmdsin0cos2ntnEm ,4nEm, 0, 5 , 3 , 1 n, 6 , 4 , 2 n02tnnEtunm)12sin(1214)(1 )5sin513sin31(sin4 tttEmf (x) 10)sincos(2nnnnxbnxaa故故u(t)的傅里葉級數(shù)為的傅里葉級數(shù)為 11.6 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)34時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)kt 由于由于u(t)滿足狄利克雷充分條件滿足狄利克雷充分條件,), 2, 1, 0(處不連續(xù)處不

26、連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn) kkt2mmEE 收斂于收斂于2)(mmEE 0 所以所以,得得tnnEnm)12sin(12141 ),(tu時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)kt , 0tnnEtunm)12sin(1214)(1 ),2, 0;( ttu(t)的圖象的圖象OtumEmE 和函數(shù)圖像和函數(shù)圖像OtumEmE 11.6 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)35解解 計(jì)算傅里葉系數(shù)計(jì)算傅里葉系數(shù) 0d)(1xxfa 0d1xx2 2 3 23Oxy將將 f (x)展開為傅里葉級數(shù)展開為傅里葉級數(shù). f (x)的圖像的圖像 ,0, 0, 0,)(xxxxf例例 函數(shù)函數(shù)f(x)以以2為周期為周期, 且且 11.6 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)36

27、 dcos)(1xnxxfan 0dcos1xnxx)cos1(12nn 02cossin1 nnxnnxx ,22n, 0, 5 , 3 , 1 n;, 6 , 4 , 2 n)1(1 12nn dsin)(1xnxxfbn 0dsin1xnxx02sincos1 nnxnnxxnncos .)1(1nn ,0, 0, 0,)(xxxxf 11.6 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)37 112sin)1(cos)1(1 14nnnnxnnxn.3sin312sin21sin xxx)(xf故故 f (x)的傅里葉級數(shù)的傅里葉級數(shù) xxx5cos513cos31cos2422 11.6 傅里葉級數(shù)傅里葉級

28、數(shù)38由于由于f (x)滿足狄利克雷充分條件滿足狄利克雷充分條件,), 2, 1, 0()12(處處不不連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn) kkx2)0()0( ff收斂于收斂于).()12(xfkxx處收斂于處收斂于在連續(xù)點(diǎn)在連續(xù)點(diǎn) 220 由由收斂定理收斂定理得得 ,0, 0, 0,)(xxxxf 2 3 23Oxy f (x)的圖象的圖象和函數(shù)的圖像和函數(shù)的圖像2 2 3 23Oxy 11.6 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)39)(xf xx3sin313cos322x2sin21 x4sin41 xx5sin515cos522 xxsincos24).,3,;( xx 11.6 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)40(3) F

29、(x)可展為傅氏級數(shù)可展為傅氏級數(shù);注注,),()4(內(nèi)內(nèi) ,)5( x作作 法法對于非周期函數(shù)對于非周期函數(shù), 如果如果 f (x)只在區(qū)間只在區(qū)間- -, 上有定義上有定義,并且滿足狄氏充要條件并且滿足狄氏充要條件,也可展也可展開成傅氏級數(shù)開成傅氏級數(shù).(1) f (x)在在- -, 上有定義上有定義;(周期延拓周期延拓);).0()0(21 ff級數(shù)收斂于級數(shù)收斂于F(x);()(xfxF (2) 在在- -, 外補(bǔ)充定義成為外補(bǔ)充定義成為2的函數(shù)的函數(shù) 11.6 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)41解解例例 將函數(shù)將函數(shù) 0, 0,)(xxxxxf展開為傅氏級數(shù)展開為傅氏級數(shù).拓廣的周期函數(shù)拓廣的

30、周期函數(shù)的傅氏級數(shù)展開式在的傅氏級數(shù)展開式在- -, 收斂于收斂于 0d)(1xxfa 0d2xx 計(jì)算傅里葉系數(shù)計(jì)算傅里葉系數(shù)Oxy 22 所給函數(shù)在區(qū)間所給函數(shù)在區(qū)間- -, 上上滿足狄氏充要條件滿足狄氏充要條件, f (x). 11.6 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)42 dcos)(1xnxxfan)1(cos22 nn1)1(22 nn 0dcos2xnxx偶函數(shù)偶函數(shù) , 6 , 4 , 2, 0, 5 , 3 , 1,42nnn dsin)(1xnxxfbn0 奇函數(shù)奇函數(shù),)( xxxf 11.6 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)43 12)12cos()12(142)(nxnnxf).( x所求函

31、數(shù)的傅氏展開式為所求函數(shù)的傅氏展開式為利用傅氏展開式求級數(shù)的和利用傅氏展開式求級數(shù)的和, 0)0(,0 fx時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 222513118,)( xxxf xxx5cos513cos31cos4222 11.6 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)44,4131211222 設(shè)設(shè)8513112221 ,6141212222 ,41312112223 42 ,242 21 ,62 .122 收收=和和,421 312 1 82 2 242 3 21 因?yàn)橐驗(yàn)樗运?11.6 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)45由奇函數(shù)與偶函數(shù)的積分性質(zhì)由奇函數(shù)與偶函數(shù)的積分性質(zhì)的公式的公式,易得下面的結(jié)論易得下面的結(jié)論.和傅里葉系數(shù)和傅里

32、葉系數(shù) na nb此時(shí)稱傅里葉級數(shù)為此時(shí)稱傅里葉級數(shù)為.sin1nxbnn dcos)(1xnxxfan), 2 , 1 , 0( n0), 2 , 1( n dsin)(1xnxxfbn20 xnxxfdsin)(sine series)正弦級數(shù)正弦級數(shù),sine series and cosine series四、正弦級數(shù)和余弦級數(shù)四、正弦級數(shù)和余弦級數(shù)它的傅里葉系數(shù)為它的傅里葉系數(shù)為 10)sincos(2nnnnxbnxaa即即(1) 當(dāng)周期為當(dāng)周期為2的奇函數(shù)的奇函數(shù)f (x)展成傅立葉級數(shù)時(shí)展成傅立葉級數(shù)時(shí),奇函數(shù)奇函數(shù)f (x) 11.6 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)46 nb此時(shí)稱傅里

33、葉級數(shù)為此時(shí)稱傅里葉級數(shù)為nxaann 10cos2), 2 , 1( n), 2 , 1( n na 0dcos)(2xnxxf dcos)(1xnxxfan dsin)(1xnxxfbn0注注將函數(shù)展為傅里葉級數(shù)時(shí)將函數(shù)展為傅里葉級數(shù)時(shí), 先要考查函數(shù)先要考查函數(shù)是非常有用的是非常有用的.是否有奇偶性是否有奇偶性, 0a 0d)(2xxf(cosine series)余余弦級數(shù)弦級數(shù)它的傅里葉系數(shù)為它的傅里葉系數(shù)為 10)sincos(2nnnnxbnxaa(2) 當(dāng)周期為當(dāng)周期為2的偶函數(shù)的偶函數(shù)f (x)展成傅立葉級數(shù)時(shí)展成傅立葉級數(shù)時(shí),偶函數(shù)偶函數(shù)f (x)即即 11.6 傅里葉級數(shù)

34、傅里葉級數(shù)47 0, 0,)(2xxxxxf的函數(shù)的函數(shù)試將周期為試將周期為解解 函數(shù)的圖形如圖函數(shù)的圖形如圖, 電學(xué)上稱為電學(xué)上稱為 偶函數(shù)偶函數(shù) 0a 0d)(2xxf 0d2xx 0dcos)(2xnxxfan)1(cos22 nxn1)1(22 nn 0dcos2xnxx例例展為傅里葉級數(shù)展為傅里葉級數(shù).鋸齒波鋸齒波.Oxy2 2 3f (x)的圖像的圖像 11.6 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)48 , 6 , 4 , 2, 0, 5 , 3 , 1,42nnn 12)12cos()12(142)(nxnnxf x0 nbnxaann 10cos2余余弦級數(shù)弦級數(shù) xxx5cos513cos3

35、1cos4222Oxy 2 2 3f (x)的圖像的圖像由于由于f (x)處處連續(xù)處處連續(xù), 所以所以 11.6 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)49解解所給函數(shù)滿足狄利克雷充分條件所給函數(shù)滿足狄利克雷充分條件.時(shí)時(shí)因?yàn)橐驗(yàn)?12( kx), 2 , 1 , 0(, 0 nan所以所以 22 3 3xyO設(shè)設(shè) f (x)是周期為是周期為2的周期函數(shù)的周期函數(shù),它在它在- -, )例例上的表達(dá)式為上的表達(dá)式為,)(xxf 將將 f (x)展開成傅氏級數(shù)展開成傅氏級數(shù). f (x)的圖形的圖形 f (x)是以是以2為周期的為周期的奇函數(shù)奇函數(shù), , 11.6 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)50cos2nn 2)0()0

36、( ff收斂于收斂于2)( , 0 ),()12(xfkxx處收斂于處收斂于在連續(xù)點(diǎn)在連續(xù)點(diǎn) 0dsin)(2xnxxfbn 0dsin2xnxx02sincos2nnxnnxx 1)1(2 nn), 2 , 1( n,), 2, 1, 0()12(處不連續(xù)處不連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn) kkx的圖形的圖形)(xf 2 2 3 3xyO和函數(shù)圖像和函數(shù)圖像 2 2 3 3xyO 11.6 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)51)3sin312sin21(sin2)( xxxxf 11sin)1(2nnnxn),3,;( xxnxbnnsin1 正弦級數(shù)正弦級數(shù)1)1(2 nnnb), 2 , 1( n 11.6 傅里葉級

37、數(shù)傅里葉級數(shù)52 例例 在無線電設(shè)備中在無線電設(shè)備中,常用電子管整流器將交常用電子管整流器將交流電轉(zhuǎn)換為直流電流電轉(zhuǎn)換為直流電.已知電壓已知電壓t為時(shí)間為時(shí)間試將試將E(t)展為傅氏級數(shù)展為傅氏級數(shù).|sin|)(ttE 解解, 0 nb), 2 , 1( n在整個(gè)數(shù)軸上連續(xù)在整個(gè)數(shù)軸上連續(xù).ttad |sin|200 04dsin2tt因?yàn)橐驗(yàn)镋(t)為為偶函數(shù)偶函數(shù), , 2 21tEO所給函數(shù)滿足狄利克雷充分條件所給函數(shù)滿足狄利克雷充分條件,所以所以 11.6 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)53 0dcossin2tnttan01)1cos(1)1cos(1 ntnntn)1( nn為奇數(shù)為奇數(shù),

38、n為偶數(shù)為偶數(shù), 01dcossin2ttta0 0d)1sin()1sin(1ttntn , 0.)1(42 n)6cos3514cos1512cos31(42 ttt)( t (n =1時(shí)也對時(shí)也對)(tE 11.6 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)54函數(shù)延拓到一個(gè)周期函數(shù)延拓到一個(gè)周期- -, 上上函數(shù)定義在函數(shù)定義在0, 上上函數(shù)按周期延拓到整個(gè)數(shù)軸上函數(shù)按周期延拓到整個(gè)數(shù)軸上定義在定義在0, 上的函數(shù)展開成傅立葉級數(shù)上的函數(shù)展開成傅立葉級數(shù) 11.6 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)55 奇延拓奇延拓 偶延拓偶延拓正弦級數(shù)正弦級數(shù).偶函數(shù)偶函數(shù),奇函數(shù)奇函數(shù),余弦級數(shù)余弦級數(shù);因而因而因而因而展開成展開成

39、展開成展開成把把0, 上的函數(shù)延拓到上的函數(shù)延拓到- -, 上有上有兩種兩種:(1) 使使函數(shù)成為函數(shù)成為- -, 上上(2) 使使函數(shù)成為函數(shù)成為- -, 上上 11.6 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)56 作法作法(3) F(x)可展開為傅氏級數(shù)可展開為傅氏級數(shù), 這個(gè)級數(shù)必定是這個(gè)級數(shù)必定是)()(xfxF 得到得到 f (x)的的正弦級數(shù)正弦級數(shù) 的展開式的展開式.(偶函數(shù)偶函數(shù));函數(shù)函數(shù)正弦級數(shù)正弦級數(shù)(余弦級數(shù)余弦級數(shù));(余弦級數(shù)余弦級數(shù))注注其實(shí)也不必真正實(shí)施這一手續(xù)其實(shí)也不必真正實(shí)施這一手續(xù).滿足收斂定理的條件滿足收斂定理的條件;得到定義在得到定義在(- - , 上的函數(shù)上的函數(shù)F(x), 使它成為使它成為(- - , )在上的在上的奇奇(1) f (x)在在0, 上有定義上有定義,(2) 在開區(qū)間在開區(qū)間(- - ,0內(nèi)內(nèi)補(bǔ)充定義補(bǔ)充定義,(4) 限制限制x在在(- - ,0上上, 11.6 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)57解解(1) 求正弦級數(shù)求正弦級數(shù). . 0dsin)1(2xnxx)coscos1(2nnn 0 nan22 , 5 , 3 , 1 nn2 , 6 , 4 , 2 n對對f (x)進(jìn)行進(jìn)行奇延拓奇延拓,nxbnnsin1 正弦級數(shù)正弦級數(shù)分別展開成正弦級數(shù)和余弦級數(shù)