1、1第2.6節 極限運算法則 第二章第二章 （Techniques for Finding Limits）二、函數極限的四則運算法則二、函數極限的四則運算法則三、數列極限的四則運算法則三、數列極限的四則運算法則一、無窮小量的運算法則一、無窮小量的運算法則四、復合函數的極限運算法則四、復合函數的極限運算法則2一、無窮小量的運算法則定理定理1 有限個有限個無窮小的代數和仍是無窮小無窮小的代數和仍是無窮小. 思考：思考：222111lim12nnnnn？1說明說明: 無限個無限個無窮小之和無窮小之和不一定不一定是無窮小是無窮小 !3有界函數與無窮小的乘積是無窮小有界函數與無窮小的乘積是無窮小定理定理2

2、證證: 設設, ),(10 xxMu 又設又設,0lim0 xx即即,0,02當當),(20 xx時時, 有有M取取,min21則當則當),(0 xx時時 , 就有就有uuMM故故,0lim0uxx即即u是是0 xx 時的無窮小時的無窮小 .推論推論 1 . 常數與無窮小的乘積是無窮小常數與無窮小的乘積是無窮小 .推論推論 2 . 有限個無窮小的乘積是無窮小有限個無窮小的乘積是無窮小 .4oyx.sinlimxxx解解: 1sinx01limxx利用利用定理定理4 可知可知.0sinlimxxxxxysin例例1 求求5二、函數極限的四則運算法則定理定理3 若若（）（）lim ( )( ).f

3、 xg xAB（）（）（）（）lim ( ) ( ).f x g xAB（）（）lim( ),lim( )f xAg xBlim ( )( ).f xg xAB( )lim.0( )f xABg xB（）說明說明: 定理定理 3中的（中的（1）、（）、（2）可推廣到有限個函數）可推廣到有限個函數相乘的情形相乘的情形 .推論推論 1 )(lim)(limxfCxfC( C 為常數為常數 )推論推論 2 nnxfxf )(lim)(lim( n 為正整數為正整數 )632lim(35).xxx例例2 求求解解: 32lim(35)xxx32limxx2lim3xx2lim5x32limxx23li

4、mxx5323 2 57例例3 2321lim35xxxx解解: 由例由例2得，得，32lim(35)70 xxx2321lim35xxxx2232lim(1)lim(35)xxxxx222limlim17xxx2217577三、數列極限的四則運算,lim,limByAxnnnn則有則有)(lim) 1 (nnnyx nnnyxlim)2(,00)3(時且當BynBAyxnnnlimBABA定理定理4 若若定理定理4中的中的(1),(2)可推廣到有限個收斂數列的情形可推廣到有限個收斂數列的情形.例如，例如，lim, lim,limnnnnnnxAyBzC，如果則有則有limnnnnxyzlim

5、limlimnnnnnnxyzABClimnnnnx y zlimlimlimnnnnnnxyzA B C8?321lim2222nnnnnn解解: 原式21(1)2limnn nn)11(21limnn例例411limlim(1)2nnn11(lim1lim)2nnn1(1 0)2129對于有理整函數（多項式）對于有理整函數（多項式） 101( )nnnf xa xa xa或有理分式函數或有理分式函數( )( ),( )P xF xQ x其中其中 ( ),( )P x Q x都是多項式，都是多項式， 且且 0()0,Q x要求其當要求其當0 xx時的極限，時的極限， 只要把只要把 0 x代入

6、函代入函中即可；中即可； 但但對于有理分式函數，對于有理分式函數， 如果代入如果代入 0 x后，后，分母等分母等 于零，于零， 則沒有意義，則沒有意義， 不能通過直接代入的方法求極限不能通過直接代入的方法求極限 事實上，事實上， 設多項式設多項式 101( ),nnnf xa xa xa則則0lim( )xxf x0101lim()nnnxxa xa xa00(lim )nxxax011(lim )nxxax0limnxxa10010nnna xa xa0()f x10又設有理分式函數又設有理分式函數 ( )( ),( )P xF xQ x其中其中 ( ),( )P x Q x都是多項式，都是

7、多項式， 于是，于是， 00lim( )(),xxP xP x00lim( )();xxQ xQ x如果如果 0()0,Q x則則 0lim( )xxF x)(lim)(lim00 xQxPxxxx)()(00 xQxP0()F x如果如果 0()0,Q x則則不能直接不能直接用商的運算法則用商的運算法則 ，那就需要那就需要特別考慮特別考慮 11例例53113lim11xxx解解: 當當1x 時，時， 括號內兩式的分母均趨于括號內兩式的分母均趨于0， 于是不能于是不能直接應用四則運算法則來計算。直接應用四則運算法則來計算。將函數變形得，將函數變形得，31311xx23311xxx 2(1)(2

8、)(1)(1)xxxxx2(2)1xxx所以，所以，3113lim11xxx21(2)lim1xxxx1 123232357lim.642xxxxxx解解: x時時,分子分子.32573lim426xxxxx分子分母同除以分子分母同除以3,x則則36分母分母原式原式例例6 求求1213232548lim253xxxxx解解: x時時,分子分子.233548lim532xxxxxx分子分母同除以分子分母同除以3,x則則02分母分母原式原式例例7 求求014例例8322548lim253xxxxx解解: 由由例例7相同的方法得，相同的方法得，232253lim0548xxxxx而函數而函數 322

9、548253xxxx 與函數與函數232253548xxxx互為倒數，互為倒數， 所以，所以，322548lim253xxxxx 15為非負常數為非負常數 )nmba,0(00mn 當mmmxaxaxa110limnnnbxbxb110,00ba,0,mn 當mn 當一般有如下結果：一般有如下結果：16四、復合函數的極限運算法則定理定理6 設設00lim( ),xxg xu且且 x 滿足滿足100 xx時時,0( ),g xu又又0lim( ),uuf uA則有則有0lim ( )xxf g x0lim( )uuf uA 說明說明: 若定理中若定理中0lim( ),xxg x 則類似可得則類似

10、可得0lim ( )xxf g xAufu)(lim17解解: 令令.93lim23xxx932xxu已知已知ux3lim3(3)(i3)3l mxxxx例例9 求求31lim3xx16故故 原式原式 =16limuu616618解解: 方法方法 1.11lim1xxx,xu 則則, 1lim1ux令令11112uuxx1 u故故 原式原式) 1(lim1uu2方法方法 21(1)(1)lim1xxxx原式) 1(lim1xx2例例10 求求19內容小結1. 極限運算法則極限運算法則(2) 函數和數列極限的四則運算法則函數和數列極限的四則運算法則(1) 無窮小運算法則無窮小運算法則(3) 復合函數極限運算法則復合函數極限運算法則注意使用條件注意使用條件2. 求函數極限的方法求函數極限的方法(1) 分式函數極限求法分式函數極限求法0) 1xx 時時, 用代入法用代入法 ( 分母不為分母不為 0 )0)2xx 時時, 對對00型型 , 約去公因子約去公因子x)3時時 , 分子分母同除最高次冪分子分母同除最高次冪(2) 復合函數極限求法復合函數極限求法設中間變量設中間變量20思考與練習1.,)(lim,)(lim不存在存在若xgxf)()(limxgxf是否存在是否存在 ? 為什么為什么 ?答答: 不存在不存在 .否則否則, 由由)()()()(