1、1 兩個基本計數原理兩個基本計數原理2 世界杯足球賽共有32個隊參賽它們先分成8個小組進行循環賽，決出16強，這16個隊按確定的程序進行淘汰賽后，最后決出冠亞軍，此外還決出了第三、第四名問一共安排了多少場比賽？前4名有多少不同的結果？ 要回答這個問題，就要用到排列、組合的知識在運用排列、組合方法時，經常要用到3從甲地到乙地，有從甲地到乙地，有3 3條公路，條公路，2 2條鐵路，某人條鐵路，某人要從甲地到乙地，共有多少種不同的走法？要從甲地到乙地，共有多少種不同的走法？從甲地到乙地，有從甲地到乙地，有3 3條道路，從乙地到丙地有條道路，從乙地到丙地有2 2條道路，那么從甲地經乙地到丙地共有多少種

2、不同條道路，那么從甲地經乙地到丙地共有多少種不同的走法的走法 ？4從甲地到乙地，有從甲地到乙地，有3 3條公路，條公路，2 2條鐵路，條鐵路，某人要從甲地到乙地，共有多少種不同的走法？某人要從甲地到乙地，共有多少種不同的走法？ 因為每一種走法都能完成從甲地到乙地這件因為每一種走法都能完成從甲地到乙地這件事，有事，有3 3條公路，條公路，2 2條鐵路，所以共有：條鐵路，所以共有： 3 32 25 5 （種）（種）甲地甲地乙地乙地公路1公路2公路3鐵路1鐵路25 完成一件事，有完成一件事，有n類辦法類辦法. 在第在第1類辦法中有類辦法中有m1種不同的方法，種不同的方法，在第在第2類方法中有類方法中

3、有m2種不同的方法，種不同的方法，在第在第n類方法中有類方法中有mn種不同的方法，種不同的方法，則完成這件事共有則完成這件事共有 : 2）首先要根據具體的問題確定一個分類標準，在分）首先要根據具體的問題確定一個分類標準，在分類標準下進行分類，然后對每類方法計數類標準下進行分類，然后對每類方法計數.1）各類辦法之間相互獨立）各類辦法之間相互獨立,都能獨立的完成這件事都能獨立的完成這件事，要，要計算方法種數計算方法種數,只需將各類方法數相加只需將各類方法數相加,因此分類計數原因此分類計數原理又稱理又稱加法原理加法原理N= m1+m2+ + mn 種不同的方法種不同的方法6從甲地到乙地，有從甲地到乙

4、地，有3 3條道路，從乙地到丙地有條道路，從乙地到丙地有2 2條道路，那么從甲地經乙地到丙地共有多少種不同條道路，那么從甲地經乙地到丙地共有多少種不同的走法的走法 ？ 這個問題與前一個問題不同在這個問題中，必須經過先從甲地到乙地、再從乙地到丙地兩個步必須經過先從甲地到乙地、再從乙地到丙地兩個步驟驟，才能從甲地到丙地 因為從甲地到乙地從甲地到乙地有3種走法，從乙地到丙地從乙地到丙地有2種走法，所以從甲地到丙地，共有不同的走法： 3 32 26 6 （種）甲地甲地乙地乙地丙地丙地7 完成一件事，需要分成完成一件事，需要分成n個步驟。個步驟。做第做第1步有步有m1種不同的方法，種不同的方法，做第做第

5、2步有步有m2種不同的方法，種不同的方法， ，做第做第n步有步有mn種不同的方法，種不同的方法，則完成這件事共有則完成這件事共有 2）首先要根據具體問題的特點確定一個分步的標準，）首先要根據具體問題的特點確定一個分步的標準，然后對每步方法計數然后對每步方法計數.1）各個步驟相互依存）各個步驟相互依存,只有各個步驟都完成了只有各個步驟都完成了,這件事這件事才算完成才算完成,將各個步驟的方法數相乘得到完成這件事的將各個步驟的方法數相乘得到完成這件事的方法總數方法總數,又稱又稱乘法原理乘法原理N= m1m2 mn種不同的方法種不同的方法8例例1.1. 書架第1層放有4本不同的計算機書,第2層放有3本

6、不同的文藝書,第3層放有2本不同的體育書.(1)從書架中取1本書,有多少種不同取法?有3類方法,根據分類加法計數原理N=4+3+2=9(2)從書架第1,2,3層各取1本書,有多少種不同取法?分3步完成,根據分步乘法計數原理N=432=24學案學案P46-1P46-19練習練習 要從甲、乙、丙3 3幅不同的畫中選出2 2幅,分別掛在左、右兩邊墻上的指定位置,問共有多少種不同的掛法?分分兩兩步步完完成成左邊左邊右邊右邊甲甲乙乙丙丙乙乙丙丙甲甲丙丙甲甲乙乙3 32 2第一步第一步第二步第二步10學案學案P46-2P46-211AB該電路從該電路從A A到到B B共有多少條不同的線路可通電？共有多少條

7、不同的線路可通電？121314151617181920212223242526分類完成分步完成27解解: 從總體上看由從總體上看由A到到B的通電線路可分二類的通電線路可分二類, 第一類第一類, m1 = 4 條條 第二類第二類, m3 = 22 = 4, 條條 所以所以, 根據加法原理根據加法原理, 從從A到到B共有共有 N = 4 + 4 = 8 條不同的線路可通電條不同的線路可通電.28ABm1m2mn.ABm1m2mn點評點評: :乘法原理乘法原理看成看成“串聯電路串聯電路”加法原理加法原理看成看成“并聯電路并聯電路”;29 如圖如圖, ,從甲地到乙地有從甲地到乙地有2 2條路可通條路可

8、通, ,從乙地到從乙地到丙地有丙地有3 3條路可通條路可通; ;從甲地到丁地有從甲地到丁地有4 4條路可通條路可通, , 從丁地從丁地到丙地有到丙地有2 2條路可通。從甲地到丙地共有多少種不同的條路可通。從甲地到丙地共有多少種不同的走法？走法？練習學案學案P47-s4P47-s430解解: :從總體上看從總體上看,由甲到丙有兩類不同的走法由甲到丙有兩類不同的走法, 第一類第一類, 由甲經乙去丙由甲經乙去丙,又需分兩步又需分兩步, 所以所以 m1 = 23 = 6 種不同的走法種不同的走法; 第二類第二類, 由甲經丁去丙由甲經丁去丙,也需分兩步也需分兩步, 所以所以 m2 = 42 = 8 種不

9、同的走法種不同的走法; 所以從甲地到丙地共有所以從甲地到丙地共有 N = 6 + 8 = 14 種不同的走法。種不同的走法。31 問題問題3 3：加法原理加法原理和和乘法原理乘法原理的共同點是什么？的共同點是什么？不同點什么？不同點什么？加法原理加法原理乘法原理乘法原理相同點相同點它們都是研究完成一件事情它們都是研究完成一件事情, 共有多少種不共有多少種不同的方法同的方法不不 同同 點點方式的不同方式的不同任何一類辦法中的任任何一類辦法中的任何一個方法都能完成何一個方法都能完成這件事這件事這些方法需要分步這些方法需要分步,各各個步驟順次相依個步驟順次相依,且且每每一步都完成了一步都完成了, ,

10、才能才能完成這件事情完成這件事情32問題問題4 4：何時用：何時用加法原理、乘法原理加法原理、乘法原理呢呢? ?加法原理加法原理完成一件事情有n類方法,若每一類方法中的任何一種方法均能將這件事情從頭至尾完成.乘法原理乘法原理完成一件事情有n個步驟,若每一步的任何一種方法只能完成這件事的一部分,并且必須且只需完成互相獨立的這n步后,才能完成這件事.分類要做到“不重不漏”分步要做到“步驟完整”33練習：練習：三個比賽項目，六人報名參加。三個比賽項目，六人報名參加。）每人參加一項有多少種不同的方法？）每人參加一項有多少種不同的方法？）每項人，且每人至多參加一項，有多）每項人，且每人至多參加一項，有多

11、少種不同的方法？少種不同的方法？）每項人，每人參加的項數不限，有多）每項人，每人參加的項數不限，有多少種不同的方法？少種不同的方法？729366 5 4120 3621634例例1 用用0,1,2,3,4,5這六個數字這六個數字,(1)可以組成多少個各位數字不重復的三位數可以組成多少個各位數字不重復的三位數?(2)可以組成多少個各位數字不重復的三位的奇數可以組成多少個各位數字不重復的三位的奇數?(3)可以組成多少個各位數字不重復的小于可以組成多少個各位數字不重復的小于1000的自然的自然數數?一、排數字問題一、排數字問題35二、映射個數問題二、映射個數問題:例例2 設設A=a,b,c,d,e,

12、f,B=x,y,z,從從A到到B共有多共有多少種不同的映射少種不同的映射?36 一個三位密碼鎖一個三位密碼鎖, ,各位上數字由各位上數字由0,1,2,3,4,5,0,1,2,3,4,5,6,7,8,96,7,8,9十個數字組成十個數字組成, ,可以設置多少種三位數的密碼可以設置多少種三位數的密碼( (各位上的數字允許重復各位上的數字允許重復)?)?首位數字不為首位數字不為0 0的密碼數是多的密碼數是多少少? ?首位數字是首位數字是0 0的密碼數又是多少的密碼數又是多少? ? 分析分析: : 按密碼位數按密碼位數,從左到右從左到右依次設置第一位、第二位、第三依次設置第一位、第二位、第三位位, 需

13、分為三步完成需分為三步完成; 第一步第一步, m1 = 10; 第二步第二步, m2 = 10; 第三步第三步, m3 = 10. 根據乘法原理根據乘法原理, 共可以設置共可以設置 N = 101010 = 103 種三位數的密碼。種三位數的密碼。練習首位數字不為首位數字不為0 0的密碼數的密碼數? ?首位數字是首位數字是0 0的密碼數的密碼數? ?37 一個三位密碼鎖一個三位密碼鎖, ,各位上數字由各位上數字由0,1,2,3,4,5,0,1,2,3,4,5,6,7,8,96,7,8,9十個數字組成十個數字組成, ,可以設置多少種三位數的密碼可以設置多少種三位數的密碼( (各位上的數字允許重復

14、各位上的數字允許重復)?)?首位數字不為首位數字不為0 0的密碼數是多的密碼數是多少少? ?首位數字是首位數字是0 0的密碼數又是多少的密碼數又是多少? ? 分析分析: : 按密碼位數按密碼位數,從左到右從左到右依次設置第一位、第二位、第三依次設置第一位、第二位、第三位位, 需分為三步完成需分為三步完成; 第一步第一步, m1 = 10; 第二步第二步, m2 = 10; 第三步第三步, m3 = 10. 根據乘法原理根據乘法原理, 共可以設置共可以設置 N = 101010 = 103 種三位數的密碼。種三位數的密碼。練習變式訓練：各位上的數字不允許重復又怎樣變式訓練：各位上的數字不允許重復

15、又怎樣? ?38 答答:首位數字不為首位數字不為0的密碼數是的密碼數是 N =91010 = 9102 種種, 首位數字是首位數字是0的密碼數是的密碼數是 N = 11010 = 102 種。種。 由此可以看出由此可以看出, 首位數字不為首位數字不為0的密碼數與首的密碼數與首位數字是位數字是0的密碼數之和等于密碼總數。的密碼數之和等于密碼總數。問問: 若設置四位、五位、六位、若設置四位、五位、六位、十位等、十位等密碼密碼,密碼數分別有多少種？密碼數分別有多少種？答答:它們的密碼種數依次是它們的密碼種數依次是 104 , 105, 106, 種。種。391、分類加法計數原理、分類加法計數原理：完

16、成一件事，有：完成一件事，有n類辦法，在類辦法，在第第1類辦法中有類辦法中有m1種不同的方法種不同的方法,在第在第2類辦法中有類辦法中有m2種不同的方法種不同的方法在第在第n類辦法中類辦法中有有m mn n種不同的方法種不同的方法. .那么完成這件事共有那么完成這件事共有 種不同的方種不同的方法法. .12nNmmm2 2、分步乘法計數原理、分步乘法計數原理：完成一件事，需要分成完成一件事，需要分成n n個步個步驟，做第驟，做第1 1步有步有m m1 1種不同的方法種不同的方法, ,做第做第2 2步有步有m m2 2種不同的種不同的方法方法，做第，做第n n步有步有m mn n種不同的方法種不

17、同的方法. .那么完成這件那么完成這件事共有事共有 種不同的方法種不同的方法. .12nNmmm分類加法計數原理和分步乘法計數原理的分類加法計數原理和分步乘法計數原理的共同點：共同點：不同點：不同點：分類加法計數原理與分類有關，分類加法計數原理與分類有關，分步乘法計數原理與分步有關。分步乘法計數原理與分步有關。回答的都是有關做一件事的不同方法種數的問題回答的都是有關做一件事的不同方法種數的問題課堂小結課堂小結40分類計數原理分類計數原理 分步計數原理分步計數原理完成一件事，共有完成一件事，共有n類類辦法，關鍵詞辦法，關鍵詞“分類分類”區別區別1完成一件事，共分完成一件事，共分n個個步驟，關鍵詞步驟，關鍵詞“分步分步”區別區別2區別區別3每類辦法都能獨立地完成每類辦法都能獨立地完成這