1、計計 算算 方方 法法授課老師：聶德明 仰儀北樓606計量測試工程學院計量測試工程學院Numerical Method5 數值積分與微分數值積分與微分數值積分問題數值積分問題插值型求積公式插值型求積公式復化求積公式復化求積公式預備知識預備知識牛頓牛頓萊布尼茲公式萊布尼茲公式如果函數如果函數f (x)在區間在區間a, b上連續，且原函數為上連續，且原函數為F(x)，則可用牛頓則可用牛頓萊布尼茲公式萊布尼茲公式 ( )( )( )baf x dxF bF a來求得定積分。來求得定積分。 預備知識預備知識積分中值定理積分中值定理若若f是是a, b上的連續函數，則存在上的連續函數，則存在a,b，使，使

2、 ( )( ) ()baf x dxfba預備知識預備知識廣義積分中值定理廣義積分中值定理若若f在在a, b上連續，上連續，g在在a,b上可積，且上可積，且g(x)在在a, b上不變號，存在上不變號，存在a,b，使，使 ( )( )( )( )bbaaf x g x dxfg x dx預備知識預備知識介值定理介值定理設函數設函數y=f(x)在在a, b上連續，上連續，介于介于f(a)與與f(b)之間，之間，則存在則存在a,b，使，使 f() =數值積分問題數值積分問題牛頓牛頓萊布尼茲公式萊布尼茲公式( )( )( )baf x dxF bF au 找原函數很困難，有些原函數不能用初等函數表示找

3、原函數很困難，有些原函數不能用初等函數表示 23sin, 1.xxexxu 原函數表達式過于復雜原函數表達式過于復雜 u f(x)是由測量或計算得到的數據表是由測量或計算得到的數據表 32223xx 3332232323616xxxxx2292723ln2233232 2xxxx 預備知識預備知識積分中值定理積分中值定理若若f是是a, b上的連續函數，則存在上的連續函數，則存在a,b，使，使 ( )( ) ()baf x dxfba積分積分 - 代數代數yy=f(x)xbaoxk+1xkxk-110( )lim()nbkkankIf x dxf xx數值積分問題數值積分問題01knaxxxxb

4、1kkkxxx10( )()nbkkakIf x dxf xx10( )()nbkkakIf x dxA f x0( )()nbkkakIf x dxA f x數值積分問題數值積分問題xk為求積節點，為求積節點，Ak為求積系數為求積系數機械求積法機械求積法插值型插值型外推型外推型插值型積分公式插值型積分公式( )( )baI ff x dx0( )( )( ) ()nnkkkf xL xlx f x00( )( ) ()( )()( )nnbbnkkkkaakkIflx f x dxlx dI fx f x0( )(),( )( )nbnkkkkakIfA f xAlxfdxI0( )(),n

5、nkkkIfA f x插值型積分公式插值型積分公式定義定義設有計算設有計算 的求積公式的求積公式( )( )baI ff x dx如其求積系數如其求積系數 ，則，則稱此求積公式為插值型求積公式。稱此求積公式為插值型求積公式。( ),0,1,2,.bkkaAlx dx kn插值型積分公式插值型積分公式兩點公式兩點公式 x0=a, x1=b 1( )( )( )( )xbxaf xL xf af babba001( )2bbaaxbAlx dxdxbaab111( )2bbaaxaAl x dxdxbaba( )( )( )( )2babaI ff x dxf af b( )( )( )2baT

6、ff af b梯形公式：梯形公式：梯形公式梯形公式x0 x1y=f(x)L1(x)插值型積分公式插值型積分公式插值型積分公式插值型積分公式三點公式三點公式 x0=a, x1=(a+b)/2, x2=b12000102()()1( )()()6bbaaxxxxAlx dxdxbaxxxx( )( )( )4 ()( )62babaabI ff x dxf aff b( )( )4 ()( )62baabS ff aff b辛普生公式：辛普生公式：02111012()()2( )()()3bbaaxxxxAl x dxdxbaxxxx01222021()()1( )()()6bbaaxxxxAlx

7、 dxdxbaxxxx辛普生公式辛普生公式x0 x2x1y=f(x)L2(x)插值型積分公式插值型積分公式插值型積分公式插值型積分公式定義定義如果一個求積公式如果一個求積公式(a)對于次數不超過對于次數不超過m的多項式的多項式均能準確成立，但至少對一個均能準確成立，但至少對一個m+1次多項式不準次多項式不準確成立，則稱該求積公式具有確成立，則稱該求積公式具有m次代數精度次代數精度。0( )(),( )nnkkkIfA f xa定理定理 對于求積公式對于求積公式(a)具有具有m次代數精度的充分必要條次代數精度的充分必要條件為該公式對件為該公式對f(x)=1, x, . xm 精確成立，而對精確成

8、立，而對f(x)=xm+1，不精確成立。，不精確成立。插值型積分公式插值型積分公式111( )( 1)2 (0)(1)2f x dxfff確定以下求積公式的代數精度確定以下求積公式的代數精度11( )( )I ff x dx11( )( 1)2 (0)(1)2Iffff插值型積分公式插值型積分公式0( )(),( )nbnkkkkakIfA f xAlx dx( )( )baI ff x dx( )( )( )( )( )bbnnaaR fI fIff x dxL x dx( ) ( )( )bnaR ff xL x dx(1)1( )( ) ( )( )( )(1)!nbbnnaafR ff

9、 xL x dxWx dxn插值型積分公式插值型積分公式( )0( )( )nR fI fIfn+1個求積節點的插值型求積公式的代數精度至少個求積節點的插值型求積公式的代數精度至少為為n；111( )( 1)2 (0)(1)2f x dxfff( )( )4 ()( )62baabS ff aff b111( )( 1)4 (0)(1)3f x dxfff插值型積分公式插值型積分公式( )0( )( )nR fI fIfn+1個求積節點的插值型求積公式的代數精度至少個求積節點的插值型求積公式的代數精度至少為為n；如果如果(a)式的代數精度為式的代數精度為n，則，則(a)式必是插值型。式必是插值

10、型。0( )(),( )nnkkkIfA f xa插值型積分公式插值型積分公式梯形公式的截斷誤差梯形公式的截斷誤差 ( )( )( )( )( )2babaI ff x dxf af bT f(1)1( )( ) ( )( )( )(1)!nbbnnaafR ff xL x dxWx dxn1( )( ) ( )( )()()2bbaafR ff xL x dxxa xb dx預備知識預備知識廣義積分中值定理廣義積分中值定理若若f在在a, b上連續，上連續，g在在a,b上可積，且上可積，且g(x)在在a, b上不變號，存在上不變號，存在a,b，使，使 ( )( )( )( )bbaaf x g

11、 x dxfg x dx插值型積分公式插值型積分公式梯形公式的截斷誤差梯形公式的截斷誤差 ( )( )( )( )( )2babaI ff x dxf af bT f(1)1( )( ) ( )( )( )(1)!nbbnnaafR ff xL x dxWx dxn1( )( ) ( )( )()()2bbaafR ff xL x dxxa xb dx3( )()( )()()( )212bTafbaRfxa xb dxf 復化積分公式復化積分公式梯形公式的截斷誤差梯形公式的截斷誤差 3()( )( )( , )12TbaRffa b 辛普生公式的截斷誤差辛普生公式的截斷誤差 5(4)1( )

12、( )( , )902SbaRffa b 復化積分公式復化積分公式復化求積方法復化求積方法 u等分求積區間，比如取步長等分求積區間，比如取步長 ，分，分a, b為為n等分，分點為等分，分點為 u ,k = 0, 1, 2, nbahn0kxxkh2. 在區間在區間 xk, xk+1上求上求 1( )kkxkxIf x dx3. 取和值取和值 ，作為整個區間上的積分近似值，作為整個區間上的積分近似值 10( )nbkakIf x dxI復化積分公式復化積分公式復化梯形公式復化梯形公式 1()()2kkkhIf xf x111)00()(2nnnkkkkkhTIf xf x11( )( )2()(

13、 )2nnkkhTff af xf b( )( )( )2baT ff af b3()( )( )( , )12TbaRffa b 復化積分公式的截斷誤差復化積分公式的截斷誤差復化梯形公式復化梯形公式 311300()( )( )()1212nnknkkkfhI fTfhf 131( )(),12kkxkkkkkxhf x dxIfxx 01()( ) , nkkffa bn預備知識預備知識介值定理介值定理設函數設函數y=f(x)在在a, b上連續，上連續，介于介于f(a)與與f(b)之間，之間，則存在則存在a,b，使，使 f() =3()( )( )( , )12TbaRffa b 復化積分公式的截斷誤差復化積分公式的截斷誤差復化梯形公式復化梯形公式 311300()( )( )()1212nnknkkkfhI fTfhf 131( )(),12kkxkkkkkxhf x dxIfxx 32()( )( )( )( )1212nhbaI fTfnffh 復化積分公式的截斷誤差復化積分公式的截斷誤差311300()( )( )()1212nnknkkkfhI fTfhf 復化梯形公式復化梯形公式 120( )( )()12nnkkI fTfhfh