1、2.1 2.1 投影法的基本知識投影法的基本知識2.2 2.2 三視圖的形成及其投影關系三視圖的形成及其投影關系2.3 2.3 點的投影點的投影2.4 2.4 直線的投影直線的投影第第2 2章章 正投影基礎正投影基礎2.5 2.5 平面的投影平面的投影2.12.1 投影法的基本知識投影法的基本知識2.1.1 2.1.1 投影的概念投影的概念2.1.2 2.1.2 投影法分類投影法分類2.1.3 2.1.3 正投影的基本特性正投影的基本特性2.1.22.1.2 投影的概念投影的概念什么是投影？什么是投影？投影中心投影中心投射線投射線物體物體投影投影投影面投影面 投影就投影就是物體受到是物體受到光

2、線照射在光線照射在平面上投影平面上投影下影子的自下影子的自然現象。然現象。2.1.12.1.1 投影的概念投影的概念什么是投影法？什么是投影法？ 投影法是從點光源發出投影法是從點光源發出的光線照射物體，在平面上的光線照射物體，在平面上產生影子的概念抽象出來的產生影子的概念抽象出來的一種圖示方法，投影不是整一種圖示方法，投影不是整塊黑影，而是這樣的一種投塊黑影，而是這樣的一種投影圖：影圖：將幾何形體上被光線將幾何形體上被光線 照射到的輪廓線用實線畫照射到的輪廓線用實線畫 出，而被自身遮擋沒出，而被自身遮擋沒 被光線照射到的輪被光線照射到的輪 廓線用虛線畫出廓線用虛線畫出2.1.22.1.2 投影

3、法分類投影法分類投影法投影法平行投影法平行投影法投影法的分類投影法的分類中心投影法中心投影法斜投影法斜投影法正投影法正投影法投射線匯交于投射中心投射線匯交于投射中心投射線互相平行投射線互相平行中心投影法中心投影法平行投影法平行投影法投射線與投影面傾斜投射線與投影面傾斜投射線與投影面垂直投射線與投影面垂直斜投影法斜投影法正投影法正投影法2.1.32.1.3 正投影的基本特性正投影的基本特性abABH在該面上的投影在該面上的投影ab反映空間直線反映空間直線AB的的真實長度。即：真實長度。即：ab=ABABCabcH在該面上的投影在該面上的投影abc反映反映空間平面空間平面ABC的真實形狀。的真實形

4、狀。即：即：abc ABC（1 1）顯實性）顯實性 直線段或平面圖形與投影面平行時，其投影直線段或平面圖形與投影面平行時，其投影反映實長或實形。反映實長或實形。2.1.32.1.3 正投影的基本特性正投影的基本特性（2 2）積聚性）積聚性 直線段或平面圖形與投影面垂直時，其投影直線段或平面圖形與投影面垂直時，其投影積聚為點或直線。積聚為點或直線。HCDc（d）DEFdefH在該面上的投影在該面上的投影cd積聚為一個點。積聚為一個點。在該面上的投影在該面上的投影def積聚為一條直線。積聚為一條直線。2.1.32.1.3 正投影的基本特性正投影的基本特性（3 3）類似性）類似性 直線段或平面圖形傾

5、斜于投影面時，直線段直線段或平面圖形傾斜于投影面時，直線段的投影變短但仍然是直線，而平面圖形的正投影的投影變短但仍然是直線，而平面圖形的正投影為比原形狀小的類似形。為比原形狀小的類似形。EFefHKLMklmH在該面上的投影長度在該面上的投影長度變短，變短，ef=EFcos。在該面上的投影在該面上的投影klm面積變小面積變小。2.22.2 三視圖的形成及其投影關系三視圖的形成及其投影關系2.2.1 2.2.1 視圖的基本概念視圖的基本概念2.2.2 2.2.2 三視圖的形成三視圖的形成2.2.3 2.2.3 三視圖之間的關系三視圖之間的關系2.2.4 2.2.4 三視圖的作圖方法與步驟三視圖的

6、作圖方法與步驟2.2.12.2.1 視圖的基本概念視圖的基本概念國家標準規定，用正投影法繪制的物體的圖形稱為視圖國家標準規定，用正投影法繪制的物體的圖形稱為視圖。物體的一個投影不能唯一物體的一個投影不能唯一確定該物體的空間形狀。確定該物體的空間形狀。兩面投影能否唯一確定物體的空間形狀？兩面投影能否唯一確定物體的空間形狀？不一定！不一定！2.2.12.2.1 視圖的基本概念視圖的基本概念2.2.12.2.1 視圖的基本概念視圖的基本概念三面投影能否唯一確定物體的空間形狀？三面投影能否唯一確定物體的空間形狀？唯一確定！唯一確定！ 兩兩垂直的三個投影面兩兩垂直的三個投影面之間的交線為投影軸之間的交線

7、為投影軸采用三個相互采用三個相互垂直的投影面垂直的投影面正立投影面正立投影面V水平投影面水平投影面H側立投影面側立投影面W構成三面投影體系構成三面投影體系XYZWOX軸軸OY軸軸OZ軸軸三投影軸垂直相交于原點三投影軸垂直相交于原點O2.2.22.2.2 三視圖的形成三視圖的形成（1 1）三視圖的形成）三視圖的形成VH0三投影面體系的建立：三投影面體系的建立：2.2.22.2.2 三視圖的形成三視圖的形成（1 1）三視圖的形成）三視圖的形成VHW 物體物體由前向后由前向后在在V面所得到的投影面所得到的投影 主視圖主視圖 物體物體由上向下由上向下在在H面所得到的投影面所得到的投影 俯視圖俯視圖 物

8、體物體由左向右由左向右在在W面所得到的投影面所得到的投影 左視圖左視圖 將物體放在三投影將物體放在三投影面體系中，分別向三個面體系中，分別向三個投影面投影，在三個投投影面投影，在三個投影面上得到三視圖。影面上得到三視圖。主視圖主視圖俯視圖俯視圖左視圖左視圖VHV面不動面不動H面向下翻面向下翻90W面向右轉面向右轉90W2.2.22.2.2 三視圖的形成三視圖的形成展開方法：展開方法：9090YHYW2.2.32.2.3 三視圖之間的關系三視圖之間的關系YHYW三視圖的位置關系三視圖的位置關系俯視圖在主視俯視圖在主視圖的正下方圖的正下方左視圖在主視左視圖在主視圖的正右方圖的正右方VHW上左右下2

9、.2.32.2.3 三視圖之間的關系三視圖之間的關系左右前后前后上下三視圖的方位關系三視圖的方位關系主視圖反映物體主視圖反映物體上上下左右下左右的方位關系的方位關系俯視圖反映物體俯視圖反映物體左左右前后右前后的方位關系的方位關系左視圖反映物體左視圖反映物體上上下前后下前后的方位關系的方位關系2.2.32.2.3 三視圖之間的關系三視圖之間的關系上左右下左右前后前后上下長對正長對正高平齊高平齊寬相等寬相等三視圖的對應關系三視圖的對應關系三等規律三等規律主、左視圖主、左視圖高平齊高平齊俯、左視圖俯、左視圖寬相等寬相等主、俯視圖主、俯視圖長對正長對正2.2.42.2.4 三視圖的作圖方法與步驟三視圖

10、的作圖方法與步驟（1 1）根據物體的復雜程度和大小，確定）根據物體的復雜程度和大小，確定圖幅和比例圖幅和比例（2 2）確定）確定主視圖的投射方向主視圖的投射方向 以最能反映物體形狀特征的那個方向作為主視圖的以最能反映物體形狀特征的那個方向作為主視圖的投射方向。投射方向。（3 3）布置布置各視圖的各視圖的位置位置 畫出基準線、對稱中心線、軸線。畫出基準線、對稱中心線、軸線。（4 4）按照三等規律）按照三等規律畫出物體的三視圖畫出物體的三視圖 （5 5）校對有無錯漏，擦去多余線條，）校對有無錯漏，擦去多余線條，加深圖線加深圖線。 可見輪廓線畫可見輪廓線畫粗實線粗實線，不可見輪廓線畫，不可見輪廓線畫

11、虛線虛線。2.2.42.2.4 三視圖的作圖方法與步驟三視圖的作圖方法與步驟三視圖的作圖方法與步驟舉例三視圖的作圖方法與步驟舉例主視圖方向主視圖方向11122.32.3 點的投影點的投影2.3.1 2.3.1 點的三面投影點的三面投影2.3.2 2.3.2 點的投影與坐標點的投影與坐標2.3.3 2.3.3 點的相對位置點的相對位置AaHB 若已知一個空間若已知一個空間點，則在給定的投影點，則在給定的投影面上，可以得到該點面上，可以得到該點唯一的投影。唯一的投影。 若已知點的一個若已知點的一個投影，則不能確定該投影，則不能確定該點的空間位置。點的空間位置。(b)2.32.3 點的投影點的投影點

12、的單面投影點的單面投影2.3.12.3.1 點的三面投影點的三面投影點的三面投影的形成點的三面投影的形成正投影法：投射線互相平行，且與投影面垂直正投影法：投射線互相平行，且與投影面垂直投影時，要構成投影時，要構成“人人物體物體投影面投影面”的關系，的關系，且點在三投影面體系中的位置不能改變。且點在三投影面體系中的位置不能改變。9090 在在V面面上得到的投影上得到的投影叫叫正面投影正面投影，用，用a表示表示 在在H面面上得到的投影上得到的投影叫叫水平投影水平投影，用，用a表示表示 在在W面面上得到的投影上得到的投影叫叫側面投影側面投影，用，用a”表示表示投影面的展開投影面的展開2.3.12.3

13、.1 點的三面投影點的三面投影90902.3.22.3.2 點的投影與坐標點的投影與坐標OXZaaa”aXaZYWaYWYHaYH點的投影特性點的投影特性:（1）點的正面投影與水平）點的正面投影與水平投影的連線垂直于投影的連線垂直于OX 軸，軸，即：即： aaOX；（2）點的正面投影與側面）點的正面投影與側面投影的連線垂直于投影的連線垂直于OZ 軸，軸，即：即： aa”OZ；（3）點的水平投影到）點的水平投影到OX 軸軸的距離等于點的側面投影到的距離等于點的側面投影到OZ 軸的距離，即：軸的距離，即： aaX=a”aZ；投影與坐標的關系投影與坐標的關系:2.3.22.3.2 點的投影與坐標點的

14、投影與坐標 點的投影與投影軸點的投影與投影軸的距離，反映該點的坐的距離，反映該點的坐標，也就是該點與相應標，也就是該點與相應的投影面的距離。的投影面的距離。aaZ=aaYH=aXO=Aa”=xAaaX=a”aZ=aYO= Aa=yAaaX=a”aYH=aZO= Aa=zA怎樣描述怎樣描述A點在三投影面體系中的位置？點在三投影面體系中的位置？A點到點到W面的距離：面的距離：A點到點到V面的距離：面的距離：A點到點到H面的距離：面的距離：A（XA，YA，ZA）2.3.22.3.2 點的投影與坐標點的投影與坐標 例例2-1 2-1 已知已知A點的正面投影點的正面投影a和水平投影和水平投影a，求求點點

15、A的側面投影的側面投影a”。a”aaaxazaz解法一解法一: :解法二解法二: :a 通過作通過作4545轉折線使轉折線使a az=aax用圓規畫圓弧轉角使用圓規畫圓弧轉角使a az=aaxxzyHywa aaxzxyHyw2.3.22.3.2 點的投影與坐標點的投影與坐標 例例2-2 2-2 已知點已知點B距距V、H、W三個投影面分別為三個投影面分別為1010、2020、1515，求，求B點的三面投影。點的三面投影。XbYbZb作圖步驟作圖步驟: : 找出與三個坐找出與三個坐標的對應值標的對應值; 在投影圖的三在投影圖的三個投影軸上截出個投影軸上截出坐標值坐標值; 推平行線畫出推平行線畫出

16、投影線投影線; 畫點畫點, ,并標出并標出相應的字母。相應的字母。bbb” 空間兩點的相對位置由兩點相對于投影面的距離決空間兩點的相對位置由兩點相對于投影面的距離決定，即由兩點的坐標值決定，因此，比較兩點各坐標的大定，即由兩點的坐標值決定，因此，比較兩點各坐標的大小，就可判定兩點的相對位置。小，就可判定兩點的相對位置。(1)(1)兩點相對位置的確定兩點相對位置的確定(1)(1)兩點相對位置的確定兩點相對位置的確定例例2-32-3 如圖所示，試判斷點如圖所示，試判斷點B相對于點相對于點A的空間位置的空間位置 。X X坐標值確定兩點的左右位置坐標值確定兩點的左右位置大者為左，小者為右；大者為左，小

17、者為右；XAXBY Y坐標值確定兩點的前后位置坐標值確定兩點的前后位置大者為前，小者為后；大者為前，小者為后；Y YAZBzBzAxBxAyAyB結論結論: : B 點在點在A點的左、前、下方。點的左、前、下方。（2 2）重影點的投影重影點的投影 若空間兩點或多點位于垂直于某一投影面的若空間兩點或多點位于垂直于某一投影面的同一條投影線上時，則兩點或多點在這個投影面同一條投影線上時，則兩點或多點在這個投影面上的投影便互相重合，這兩點或多點就稱為該投上的投影便互相重合，這兩點或多點就稱為該投影面的影面的重影點重影點。H面上的重影點面上的重影點上者可見，下者不可見。上者可見，下者不可見。V面上的重影

18、點面上的重影點前者可見，后者不可見。前者可見，后者不可見。W面上的重影點面上的重影點左者可見，右者不可見。左者可見，右者不可見。YB-YAZA-ZBXB-XA（ ）B B點在點在A A點的正下方，或者說點的正下方，或者說A A點在點在B B點的正上方。點的正上方。2.3.32.3.3 點的相對位置點的相對位置 例例 已知已知A點到點到V面、面、H面、面、W面的距離分別面的距離分別為為3030、1010、2525，B點在點在A點的右點的右1515、后、后2020、上、上2525，求，求A、B兩點的三面投影。兩點的三面投影。作圖步驟：作圖步驟： 分析分析A點；點； 求求A點的三面點的三面投影；投影

19、； 分析分析B點；點；XAYAZA 求求B點的三面點的三面投影；投影；X坐標差坐標差Y坐標差坐標差Z坐標差坐標差2.42.4 直線的投影直線的投影2.4.1 2.4.1 直線的三面投影直線的三面投影2.4.2 2.4.2 各種位置直線的投影特性各種位置直線的投影特性2.4.3 2.4.3 直線上的點直線上的點2.4.5 2.4.5 兩直線的相對位置兩直線的相對位置2.4.4 2.4.4 直線與投影面傾角及線段實長直線與投影面傾角及線段實長2.4.12.4.1 直線的三面投影直線的三面投影 求直線求直線AB的三面投影圖時，可分別作出的三面投影圖時，可分別作出兩端點兩端點A、B的三面投影，然后將其

20、同面投影的三面投影，然后將其同面投影連接起來即得直線連接起來即得直線AB的三面投影圖。的三面投影圖。直線按與投影面的相對位置不同分為三類：直線按與投影面的相對位置不同分為三類：一般位置直線一般位置直線投影面平行線投影面平行線投影面垂直線投影面垂直線不平行于任一投影面的直線。不平行于任一投影面的直線。與一個投影面平行，與另二個投影面傾斜與一個投影面平行，與另二個投影面傾斜的直線。的直線。與一個投影面垂直，與另二個投影面平行與一個投影面垂直，與另二個投影面平行的直線。的直線。特殊位置直線特殊位置直線特殊位置直線 直線與直線與H H面、面、V V面、面、W W面的傾角，分面的傾角，分別用別用、表示表

21、示2.4.12.4.1 各種位置直線的投影特性各種位置直線的投影特性（1 1）一般位置直線一般位置直線投影特性投影特性: : 三個投影都傾斜于投影軸，長度縮短，三個投影都傾斜于投影軸，長度縮短，不能直接反映直線與投影面的真實傾角。不能直接反映直線與投影面的真實傾角。與三個投影面都傾斜的直線稱為一般位置直線。與三個投影面都傾斜的直線稱為一般位置直線。（2 2）投影面平行線投影面平行線投影面平行線投影面平行線正平線正平線水平線水平線側平線側平線與與V面平行的直線面平行的直線與與H面平行的直線面平行的直線與與W面平行的直線面平行的直線投影特性投影特性: : 在平行的投影面上的投影，反映實長，且反在平

22、行的投影面上的投影，反映實長，且反映該直線與其他兩個投影面的真實傾角。映該直線與其他兩個投影面的真實傾角。 在另外兩個投影面上的投影，必分別平行于在另外兩個投影面上的投影，必分別平行于相應的投影軸，且長度縮短相應的投影軸，且長度縮短。（2 2）投影面平行線投影面平行線正平線正平線投影特性投影特性: : ab反映真實長度反映真實長度 ab/OX，a”b”/OZ，且長度縮短。且長度縮短。和和、角。角。水平線水平線投影特性投影特性: : ab反映真實長度反映真實長度 ab OX，a”b”/OY，且長度縮短。且長度縮短。和和、角。角。（2 2）投影面平行線投影面平行線（2 2）投影面平行線投影面平行線

23、側平線側平線投影特性投影特性: : a”b”反映真實長度反映真實長度 ab OZ，abOY，且長度縮短。且長度縮短。和和、角。角。（3 3）投影面垂直線投影面垂直線投影面垂直線投影面垂直線正垂線正垂線鉛垂線鉛垂線側垂線側垂線與與V面垂直的直線面垂直的直線與與H面垂直的直線面垂直的直線與與W面垂直的直線面垂直的直線投影特性投影特性: : 在垂直的投影面上的投影，積聚成一點。在垂直的投影面上的投影，積聚成一點。 在另外兩個投影面上的投影，平行于投影軸在另外兩個投影面上的投影，平行于投影軸（與直線相平行的投影軸），且反映實長（與直線相平行的投影軸），且反映實長。正垂線正垂線投影特性投影特性: : a

24、b積聚成一點。積聚成一點。 abOY，a”b” OY，且反映實長。且反映實長。（3 3）投影面垂直線投影面垂直線鉛垂線鉛垂線投影特性投影特性: : ab積聚成一點。積聚成一點。 ab OZ，a”b”OZ，且反映實長。且反映實長。（3 3）投影面垂直線投影面垂直線（3 3）投影面垂直線投影面垂直線側垂線側垂線投影特性投影特性: : a”b”積聚成一點。積聚成一點。 abOX，abOX，且反映實長。且反映實長。直角三角形法：直角三角形法： 過過A點作點作ab平行線，與平行線，與Bb交得交得B0點，則點，則AB0B為一直角三角形。為一直角三角形。在直角三角形中：在直角三角形中：ZB-ZA 一條直角邊

25、等一條直角邊等于水平投影于水平投影AB0 = ab；另一條直角邊為兩點的坐；另一條直角邊為兩點的坐標差標差BB0 = ZB-ZA；斜邊斜邊 AB是真長是真長； 斜邊與水平投斜邊與水平投影的夾角影的夾角BAB0 = 真真長長ZB-ZA直角三角形法：直角三角形法： 過過A點作點作ab平行線，與平行線，與Bb交得交得B0點，點，則則AB0B為一直角三角形。為一直角三角形。在直角三角形中：在直角三角形中： 一條直角邊等一條直角邊等于正面投影于正面投影AB0 = ab；另一條直角邊為兩點的坐；另一條直角邊為兩點的坐標差標差BB0 = YB-YA；斜邊斜邊 AB是真長是真長； 斜邊與正面投斜邊與正面投影的

26、夾角影的夾角BAB0 = 真長真長YB-YAYB-YA用直角三角形求真長和傾角的方法：用直角三角形求真長和傾角的方法：在這四個參數中，知道任二個參數都在這四個參數中，知道任二個參數都可以通過直角三角形得到另外二個參數。可以通過直角三角形得到另外二個參數。. 已知投影已知投影和真長，求傾和真長，求傾角和坐標差。角和坐標差。投影投影真長真長坐標差坐標差夾角夾角. 已知投影已知投影和夾角，求真和夾角，求真長和坐標差。長和坐標差。投影投影夾角夾角真長真長坐標差坐標差坐標差Z、Y、XH、V、W投影長、 用直角三角形求真長和傾角的方法：用直角三角形求真長和傾角的方法：【例例3-1】已知已知AB直線的正面投

27、影及直線的正面投影及A點水平點水平投影，并知道投影，并知道AB直線對直線對V面的夾角為面的夾角為30，求直線的水平投影。求直線的水平投影。作圖步驟：作圖步驟：、分析：、分析：2 2、作直角三角形，、作直角三角形，求坐標差。求坐標差。3 3、根據坐標差求投、根據坐標差求投影。影。 水平投影在水平投影在b的投影的投影線上，但具體位置由線上，但具體位置由Y方方向的坐標差決定。向的坐標差決定。Y坐標差坐標差（1 1）直線上的點的投影特性直線上的點的投影特性 直線上的點的投影，必在直線的同面投影。直線上的點的投影，必在直線的同面投影。 若點在直線上，則點分直線段長度之比等于若點在直線上，則點分直線段長度

28、之比等于其投影分直線段投影長度之比，反之也然。其投影分直線段投影長度之比，反之也然。AKKBakkb=AKKBakkb=AKKBa”k”k”b”=AKKBakkbakkba”k”k”b”=同理可得：同理可得：結論結論定比性定比性（2 2）求直線上的點求直線上的點 例例2-4 2-4 已知如圖所示，點已知如圖所示，點K在直線在直線AB上，求上，求作它們的三面投影。作它們的三面投影。作圖步驟作圖步驟: : 作出作出AB的水平投影的水平投影ab； 在在ab和和a”b”上確定上確定K點的水平投影點的水平投影k和側面投和側面投影影 k”。（2 2）求直線上的點求直線上的點 例例2-5 2-5 已知如圖所

29、示，試在直線已知如圖所示，試在直線AB上取一點上取一點C，使，使AC:CB=2:32:3。作圖步驟作圖步驟: : 取直線任一投影取直線任一投影ab，過，過a作任一直線作任一直線ak； 將將ak五等分，得五等分，得1 1、2 2、3 3、4 4、5 5等分點；等分點； 連接連接b和和5 5，自，自2 2作作2 2cb5,則則c即為所求；即為所求； 由由c求出求出c。2.4.42.4.4 兩直線的相對位置兩直線的相對位置兩直線的相對位置兩直線的相對位置平行平行相交相交交叉交叉 在在V、H兩投影面體系中判斷兩兩投影面體系中判斷兩直線的相對位置時，如有側平線，則直線的相對位置時，如有側平線，則還需加還

30、需加W面投影或用其他的投影特性面投影或用其他的投影特性協助檢查。協助檢查。共面直線共面直線異面直線異面直線（1 1）兩直線平行）兩直線平行投影特性：投影特性： 若空間兩直線平行，則其同面投影必互相平行。若空間兩直線平行，則其同面投影必互相平行。2.4.42.4.4 兩直線的相對位置兩直線的相對位置 空間兩平行線段之比，等于其同名投影之比。空間兩平行線段之比，等于其同名投影之比。 例例2-6 2-6 如圖所示，如圖所示，EF、GH為兩側平線，為兩側平線，efgh，ef gh。試判斷。試判斷EF與與GH 兩直線在兩直線在空間是否平行？空間是否平行？ 判斷方法一：判斷方法一：求出側面投影求出側面投影

31、e”f”和和g”h”；判斷方法二：判斷方法二： 從從H面投影與面投影與V面投影測面投影測量其長度，因量其長度，因ef:ghef:gh,故故EF不平行不平行GH。2.4.42.4.4 兩直線的相對位置兩直線的相對位置因因e”f”不平行不平行g”h”，故，故EFGH。（2 2）兩直線相交）兩直線相交投影特性：投影特性： 若空間兩直線相交，則其同面投影必相交，若空間兩直線相交，則其同面投影必相交，且交點符合點的投影特性，反之也成立。且交點符合點的投影特性，反之也成立。2.4.42.4.4 兩直線的相對位置兩直線的相對位置2.4.42.4.4 兩直線的相對位置兩直線的相對位置 例例2-72-7 直線直

32、線AB與與CD在在V面上和面上和H面上同名投影相面上同名投影相交，如圖所示，試判斷此兩直線在空間是否相交？交，如圖所示，試判斷此兩直線在空間是否相交？方法一：利用第三面投影判斷方法一：利用第三面投影判斷方法二：利用定比性判斷方法二：利用定比性判斷d e f fecaabcd(b)(k)l lk作kle f 作klefCabcabZCDCD水平投影長CD真長以CD水平投影長為半徑作弧d有兩解d（3 3）兩直線交叉）兩直線交叉投影特性：投影特性： 交叉兩直線可能有一組、二組或三組同名投影都相交叉兩直線可能有一組、二組或三組同名投影都相交，各同名投影的交點一定不符合點的投影規律。交，各同名投影的交點

33、一定不符合點的投影規律。重影重影點點2.4.42.4.4 兩直線的相對位置兩直線的相對位置（3 3）兩直線交叉）兩直線交叉確定重影點投影可見性的方法：確定重影點投影可見性的方法： 從兩交叉線的重影點向相鄰投影作投射線，與這從兩交叉線的重影點向相鄰投影作投射線，與這兩交叉線的相鄰投影各交得一點。按兩交叉線的相鄰投影各交得一點。按（W面上）面上）左遮左遮右、右、（V面上）面上）前遮后、前遮后、（H面上）面上）上遮下的規定，確上遮下的規定，確定在重影點的投影重合處，哪點可見，哪點不可見。定在重影點的投影重合處，哪點可見，哪點不可見。2.4.42.4.4 兩直線的相對位置兩直線的相對位置 在一般情況下

34、，互相垂直的兩直線的投影均不在一般情況下，互相垂直的兩直線的投影均不反映直角。只有反映直角。只有當互相垂直的兩直線中有一條平行當互相垂直的兩直線中有一條平行于某一投影面時，它們在該投影面上的投影才反映于某一投影面時，它們在該投影面上的投影才反映直角直角。直角直角。AC、CN為兩垂直直線，為兩垂直直線， ACCN ，且，且AC與與H面平行。面平行。向向H面投影后，兩直線的投影仍為直角，即面投影后，兩直線的投影仍為直角，即ac cn 。ACCN， ACCc ，故，故AC CcnN平面，平面， AC cn， ACac，故，故accnOXbabamnnmBHACcbaMNnm【例例3-4】在在V、W兩

35、投影面體系中，求點兩投影面體系中，求點A與與側平線側平線BC的距離。的距離。作圖步驟：作圖步驟：1、分析、分析2 2、求距離的投、求距離的投影。影。3 3、求距離的真長。、求距離的真長。側面投影反映直側面投影反映直角。角。過過a”作作b”c”的垂的垂線得線得d”，作投，作投射線得射線得d，連，連ad。用直角三角形法求距離的真長。用直角三角形法求距離的真長。XA-XDXA-XD距離真長距離真長【例例3-5】完成矩形完成矩形ABCD的兩面投影。的兩面投影。作圖步驟：作圖步驟：1、分析、分析2 2、求投影。、求投影。矩形的四個角均為直角，矩形的四個角均為直角，且且AB為正平線，故正為正平線，故正面投

36、影反映直角。矩形面投影反映直角。矩形的對邊互相平行。的對邊互相平行。過過b作作ab的垂線，過的垂線，過c點作投射線得點作投射線得c，連，連bc。過過A、C點作點作BC 、 AB的平行線，并加深。的平行線，并加深。kkababll垂線KL的實長ZKLZKLaabbcdc(d)nmm兩交叉線間距離(n)efefaabbcc量取bc=30mmafeefabcdbdcoo=XAOXAO半對角線長2.52.5 平面的投影平面的投影2.5.1 2.5.1 平面的表示法平面的表示法2.5.2 2.5.2 各種位置平面的投影特性各種位置平面的投影特性2.5.3 2.5.3 平面上的直線和點平面上的直線和點2.

37、5.12.5.1 平面的表示法平面的表示法（1 1）用幾何元素表示平面用幾何元素表示平面不在同一直不在同一直線上的三點線上的三點一直線和一直線和線外一點線外一點相交兩直線相交兩直線平行兩直線平行兩直線任意平面圖形任意平面圖形（2）用跡線表示平面）用跡線表示平面PHPVPWP跡線跡線平面與投影面的交線。平面與投影面的交線。平面與平面與V面的交線稱為正面跡線面的交線稱為正面跡線 ，用，用PV表示。表示。平面與平面與H面的交線稱為水平跡線面的交線稱為水平跡線 ，用，用PH表示。表示。平面與平面與W面的交線稱為側面跡線面的交線稱為側面跡線 ，用，用PW表示。表示。PVPHPW2.5.12.5.1 平面

38、的表示法平面的表示法平面按與投影面的相對位置不同分為三類：平面按與投影面的相對位置不同分為三類：一般位置平面一般位置平面投影面平行面投影面平行面投影面垂直面投影面垂直面不平行于任一投影面的平面。不平行于任一投影面的平面。與一個投影面平行，與另二個投影面垂直與一個投影面平行，與另二個投影面垂直的平面。的平面。與一個投影面垂直，與另二個投影面傾斜與一個投影面垂直，與另二個投影面傾斜的平面。的平面。特殊位置直線特殊位置平面特殊位置平面 平面與平面與H面、面、V面、面、W面的傾角，面的傾角，分別用分別用、表示表示2.5.22.5.2 各種位置平面的投影特性各種位置平面的投影特性一般位置平面一般位置平面

39、投影特性：投影特性：三個投影都是面積縮小的類似形，不反映真實傾角。三個投影都是面積縮小的類似形，不反映真實傾角。2.5.22.5.2 各種位置平面的投影特性各種位置平面的投影特性投影面垂直面投影面垂直面投影特性：投影特性： 在它所垂直的投影面上的投影積聚為一條直線。在它所垂直的投影面上的投影積聚為一條直線。正垂面正垂面與與V面垂直，與面垂直，與H、W面傾斜面傾斜鉛垂面鉛垂面與與H面垂直，與面垂直，與V、W面傾斜面傾斜側垂面側垂面與與W面垂直，與面垂直，與V、H面傾斜面傾斜 在其他兩個投影面上的投影，均為類似形。在其他兩個投影面上的投影，均為類似形。2.5.22.5.2 各種位置平面的投影特性各

40、種位置平面的投影特性正垂面正垂面投影特性：投影特性： V面投影積聚為一直線，并反映面投影積聚為一直線，并反映和和角。角。 另兩面投影為面積縮小的類似形。另兩面投影為面積縮小的類似形。 2.5.22.5.2 各種位置平面的投影特性各種位置平面的投影特性2.5.22.5.2 各種位置平面的投影特性各種位置平面的投影特性鉛垂面鉛垂面投影特性：投影特性： 面投影積聚為一直線，且反映面投影積聚為一直線，且反映和和角。角。 另兩面投影為面積縮小的類似形。另兩面投影為面積縮小的類似形。 2.5.22.5.2 各種位置平面的投影特性各種位置平面的投影特性側垂面側垂面投影特性：投影特性： 面投影積聚為一直線，且

41、反映面投影積聚為一直線，且反映和和角。角。 另兩面投影為面積縮小的類似形。另兩面投影為面積縮小的類似形。投影面平行面投影面平行面投影特性：投影特性： 在它所平行的投影面上的投影反映實形。在它所平行的投影面上的投影反映實形。正平面正平面與與V面平行，與面平行，與H、W面垂直面垂直水平面水平面與與H面平行，與面平行，與V、W面垂直面垂直側平面側平面與與W面平行，與面平行，與V、H面垂直面垂直 在其他兩個投影面上的投影，積聚成直在其他兩個投影面上的投影，積聚成直線，平行于相應的投影軸。線，平行于相應的投影軸。2.5.22.5.2 各種位置平面的投影特性各種位置平面的投影特性正平面正平面投影特性：投影

42、特性： V面投影反映實形。面投影反映實形。 另兩面投影積聚成直線，分別平行于另兩面投影積聚成直線，分別平行于OX、OZ軸。軸。2.5.22.5.2 各種位置平面的投影特性各種位置平面的投影特性2.5.22.5.2 各種位置平面的投影特性各種位置平面的投影特性水平面水平面投影特性：投影特性： H面投影反映實形。面投影反映實形。另兩面投影積聚成直線，分別平行于另兩面投影積聚成直線，分別平行于OX、OY軸。軸。側平面側平面投影特性：投影特性： W面投影反映實形。面投影反映實形。 另兩面投影積聚成直線，分別平行于另兩面投影積聚成直線，分別平行于OZ、OY軸。軸。2.5.22.5.2 各種位置平面的投影

43、特性各種位置平面的投影特性（1 1）平面內的直線平面內的直線ABCMNP直線在平面上的幾何條件：直線在平面上的幾何條件：R 如果一直線通過平面上的兩個點，則此直線必在該如果一直線通過平面上的兩個點，則此直線必在該平面內。平面內。 如果一直線通過平面上的已知點且平行于平面內的如果一直線通過平面上的已知點且平行于平面內的另一直線，則此直線必在該平面內。另一直線，則此直線必在該平面內。 如圖所示，相交兩直線如圖所示，相交兩直線AB、AC決定一平面決定一平面P，在，在AB、AC上分別取點上分別取點M、N，則過，則過M、N兩點的直線一定兩點的直線一定在平面在平面P上。上。過點過點M作直線作直線MR平行直

44、線平行直線 AC,則則MR一定在平面一定在平面P上。上。（1 1）平面內的直線平面內的直線 例例2-8 2-8 已知直線已知直線MN在在ABC所決定的平面所決定的平面內，如圖所示，求作其水平投影。內，如圖所示，求作其水平投影。作圖步驟作圖步驟: : 延長延長mn，分別與，分別與ab、bc交于交于1 和和2； 應用直線上點的投影特應用直線上點的投影特性，求得性，求得、的水平投的水平投影影1 和和2； 連接連接1 和和2，再應用直，再應用直線上點的投影特性，求出線上點的投影特性，求出m和和n。（2 2）平面內的點平面內的點點在平面上的幾何條件：點在平面上的幾何條件：若點在平面上的任意直線上，則此點

45、一定在該平面上。若點在平面上的任意直線上，則此點一定在該平面上。 例例2-9 2-9 已知已知K點在點在ABC上，求上，求K點的水平投影。點的水平投影。作圖步驟作圖步驟: : 連接連接ak并延長交并延長交bc于于d，求出，求出BC上上D點的水平點的水平投影投影d； 連接連接ad，再利用直線上，再利用直線上點的投影特性，求出點的投影特性，求出k。2.5.32.5.3 平面上的直線和點平面上的直線和點 例例2-10 2-10 已知平面五邊形已知平面五邊形ABCDE的正面投影和的正面投影和其中其中AB、CB兩邊的水平投影，且兩邊的水平投影，且ABCD，如圖，如圖所示，試完成該五邊形的水平投影所示，試

46、完成該五邊形的水平投影。作圖步驟作圖步驟: : 連接連接ae并延長交并延長交bc于于f，根據根據F點在直線點在直線BC上，求得上，求得F點點的水平投影的水平投影f； 連接連接af，根據，根據E點在點在AF上，上，從而求得從而求得E的水平投影的水平投影； 作作cdab，并由，并由d 得得d； 依次連接依次連接c、d、e、a 得平得平面圖形面圖形ABCDE的水平投影。的水平投影。abcabckkeeabcb c a 2525kk 1 2 12aa bb cc dd efe f kl不不 在在l k bacdeb a c d e ff edceaba b cdefdabcd fe acb332211

47、在平面內垂直于在平面內垂直于該平面內水平線的直線，該平面內水平線的直線，稱為該平面對稱為該平面對H面的最大斜度線（也稱面的最大斜度線（也稱最大坡最大坡度線度線）。1. 1. 最大斜度線的概念最大斜度線的概念平面上的水平線平面上的水平線平面上對平面上對H面面的最大斜度線的最大斜度線平面上的平面上的水平線水平線平面與平面與H面的夾角面的夾角第一步：作平面上的水平線的兩面投影；第一步：作平面上的水平線的兩面投影；第二步：作水平線的水平投影的垂線，即為第二步：作水平線的水平投影的垂線，即為平面上對平面上對H面的最大斜度線的水平面的最大斜度線的水平投影，再根據平面內直線的投影特投影，再根據平面內直線的投

48、影特性求出最大斜度線的正面投影；性求出最大斜度線的正面投影；第三步：若要求出平面與第三步：若要求出平面與H面的夾角，則在面的夾角，則在水平投影上用直角三角形法作出最水平投影上用直角三角形法作出最大斜度線與大斜度線與H面的傾角。面的傾角。2. 2. 平面內對平面內對H面的最大斜度線的作面的最大斜度線的作圖步驟圖步驟【例例4-5】已知已知ABC的投影，求作的投影，求作ABC與與H面的傾角面的傾角。作圖步驟：作圖步驟： 作平面內水平線的兩面作平面內水平線的兩面投影。投影。 作水平線的水平投影垂作水平線的水平投影垂線，即為最大斜度線的水平線，即為最大斜度線的水平投影，根據投影規律求出最投影，根據投影規

49、律求出最大斜度線的正面投影；大斜度線的正面投影； 利用最大斜度線的水平投利用最大斜度線的水平投影用直角三角形法求出最大影用直角三角形法求出最大斜度線與斜度線與H H面的夾角，即為所面的夾角，即為所求。求。對對H面的面的最大斜度最大斜度線的真長線的真長ZB-ZNZB-ZN【例例4-6】已知鉛垂面平面及平面內圖形的投已知鉛垂面平面及平面內圖形的投影如圖所示，且影如圖所示，且=30，求三面投影求三面投影。作圖步驟：作圖步驟： 求出求出AB的水平投影，過的水平投影，過a(b)作一與作一與X軸夾角為軸夾角為30的斜線；的斜線； ABCD為鉛垂面，所以為鉛垂面，所以CD的水平投影一定在該斜的水平投影一定在

50、該斜線上，該線即為鉛垂面的水線上，該線即為鉛垂面的水平投影，根據點的投影規律平投影，根據點的投影規律畫出鉛垂面的側面投影；畫出鉛垂面的側面投影；根據平面內的直線的投影規根據平面內的直線的投影規律畫出平面內的圖形，最后加律畫出平面內的圖形，最后加深圖線。深圖線。【例例4-7】已知正方形已知正方形ABCD的對角線的對角線AC的兩面投影，的兩面投影，正方形與正方形與H面的傾角為面的傾角為6060，頂點，頂點B在后上方，完成正在后上方，完成正方形的三面投影（提示：正方形的對角線長度相等，方形的三面投影（提示：正方形的對角線長度相等，且互相垂直平分）。且互相垂直平分）。60對角線對角線的真長的真長 BD

51、對角對角線的所在線的所在位置位置作圖步驟：作圖步驟： 求出求出AC的側面投影，的側面投影，過過a“(c”)作一與作一與Y軸夾角軸夾角為為60的斜線，作的斜線，作ac和和ac的垂直平分線找的垂直平分線找AC的中的中點，以積聚點點，以積聚點a“(c”)為對為對稱點，使稱點，使b“d”=ac， b“d”即為正方形的側面投即為正方形的側面投影；影； B、D兩點的正面和水兩點的正面和水平投影應在垂直平分線上，平投影應在垂直平分線上，連接連接ABCD即為所求。即為所求。ABCDdbcaHabcabcddee 平面內與某一投影面成最大傾角的直線，稱平面內與某一投影面成最大傾角的直線，稱為平面上對該投影面的最

52、大傾斜線。在平面內有為平面上對該投影面的最大傾斜線。在平面內有無數條最大傾斜線，是一組互相平行的直線。無數條最大傾斜線，是一組互相平行的直線。AaBCPHEFPH最大傾斜線的投影特性：最大傾斜線的投影特性：1.1.對投影面傾角最大的直線；對投影面傾角最大的直線；2.2.最大傾斜線垂直于平面內的最大傾斜線垂直于平面內的投影面平行線；投影面平行線；3.3.平面對投影面的夾角等于平平面對投影面的夾角等于平面內的最大傾斜線對投影面面內的最大傾斜線對投影面的傾角。的傾角。abcacbmmZCMZCMabcacbYCMYCMmmcababZCDdZCDcdcbabacdd 由前面所學得知：當直線和平面處于

53、由前面所學得知：當直線和平面處于一般位置時，它們的投影不能直接反映出一般位置時，它們的投影不能直接反映出直線的實長和平面的實形。而直線的實長和平面的實形。而當直線與平當直線與平面與投影面平行的時候，則它們在所平行面與投影面平行的時候，則它們在所平行的投影面上的投影反映了直線的實長的平的投影面上的投影反映了直線的實長的平面的實形面的實形。 由此可見，改變幾何元素對投影面的由此可見，改變幾何元素對投影面的相對位置，可達到有利于解題的目的，這相對位置，可達到有利于解題的目的，這種方法稱為投影變換。常用的投影變換方種方法稱為投影變換。常用的投影變換方法有法有更換投影面法（換面法）和旋轉法更換投影面法（

54、換面法）和旋轉法。返回設立新的投影設立新的投影面時，必須注意下面時，必須注意下面兩個問題：面兩個問題：ABC平平面的實形面的實形1. 1. 設立的投影面設立的投影面必須使空間幾何元必須使空間幾何元素處于對解題最有素處于對解題最有利的位置利的位置2. 2. 設立的投影面設立的投影面必須垂直于原有的必須垂直于原有的一個投影面，以構一個投影面，以構成一個新的兩投影成一個新的兩投影面體系。面體系。在在V、H兩投兩投影面體系中：影面體系中：Aa= =aaX，aaOX軸。軸。在在V1、H兩投兩投影面體系中：影面體系中：Aa= =a1aX1，a1aO1X1軸。軸。Aa= =aaX= =a1aX1 1. 新投

55、影與不變換投新投影與不變換投影的連線垂直于新影的連線垂直于新投影軸。投影軸。投影變換規律投影變換規律2. 新投影到新投影軸新投影到新投影軸的距離等于被替換的距離等于被替換的舊投影到舊投影的舊投影到舊投影軸的距離。軸的距離。投影面的展開投影面的展開作圖方法作圖方法1. 1. 作新的投影軸。作新的投影軸。2. 2. 過點的保留投影過點的保留投影作垂直于新投影軸作垂直于新投影軸的投射線，在其上的投射線，在其上從新投影軸向另一從新投影軸向另一側量取被替換的投側量取被替換的投影到被替換的投影影到被替換的投影軸的距離，即得該軸的距離，即得該點的新投影。點的新投影。返回VHXAaBb abV1X1a1b1a

56、1b1 X1V1HbabaXVH返回a1b1babaXHVXH1V返回X1H1Va1b1VHXaAabBbH1X1a1b1XVHaabb返回XH2V1aaXVHbba2b2XHV1a1b1XHaAabbBVV1X1a1b1H2X2返回a2b2acXVHbbacVHXcbabCAcBaddDX1H1a1c1b1d1dX1H1Vdb1a1d1c1返回HXVCAcbaBX1V1c1b1a1V1c1b1a1X1ac (b)返回a1c1b1X1bcabacXVHacbXX1V1c1b1a1bca返回acXVHbbacddb1a1c1d1X1H1Va2c2b2d2X2V2H1返回反映點C到直線AB的距離X

57、abcabcX1HV1X2H2V1下一題 返回上一題【例題例題1 1】求點C到直線AB的距離,并作出垂線的投影。d2dda2 b2c2d1a1b1c1e2【例題例題2 2】求直線AB與CD間的距離，并作出過B點的垂線。abcdcdbaXVHX1HV1a1b1c1d1X2H2V1a2b2c2d2反映兩直線間距離下一題 返回上一題e1eeX2H2V1X1HV1a2b2d2c2b1a1d1c1m1n1nmbnmm2n2【例題3】求兩直線AB與CD的公垂線 并求公垂線的實長。 H2CDBANM下一題 返回上一題abdcaXVHdckX1H1Vb1a1c1d1sacbbacdss【例題例題4 4】求點S

58、到平面ABC的距離,并作出垂線的投影。反映點 S 到平面的距離下一題 返回上一題kkdacXVHbbacddb1a1c1d1X1H1Va2c2b2d2X2V2H11515eee1e2【例題例題6 6】點E在平面ABC上，距離A、B為15，求E點投影。下一題 返回上一題下一題 返回上一題【例題例題7 7】求直線與平面間的夾角。b1(a1)f1c1e1X1X2X3c2a2b2e2f2b3c3a3f3e3acbbacfeefXkfeacbBCAFEKkabfek3k2k1kk下一題 返回上一題【例題例題8 8】已知ABC底邊BC的兩面投影和BC邊上高線的H投影方向，A=60，求ABC的兩面投影。dcbbcdpX1X2a1c1b1d1p1a2p2c2b2d2