1、中南財經政法大學信息系中南財經政法大學信息系第五章第五章 矩陣的特征值矩陣的特征值 與特征向量與特征向量, 對對應應的的特特征征向向量量為為復復向向量量的的特特征征值值為為對對稱稱矩矩陣陣設設復復數數xA 定理定理1 1對稱矩陣的特征值為實數對稱矩陣的特征值為實數. .證明證明. 0, xxAx 即即, 的的表表示示用用 共共軛軛復復數數xAxA 則則 . xxAx 一、對稱矩陣的性質一、對稱矩陣的性質說明說明：本節所提到的對稱矩陣，除非特別說：本節所提到的對稱矩陣，除非特別說明，均指明，均指實對稱矩陣實對稱矩陣, 的的表表示示xx共共軛軛復復向向量量于是有于是有AxxTAxxT 及及 Axx

2、T xxT ,xxT xAxTT xxAT xxT .xxT 兩式相減，得兩式相減，得 . 0 xxT , 0 x但因為但因為 , 0 , 即即.是實數是實數由此可得由此可得 , 0 121 niiniiiTxxxxx所所以以定理定理1 1的意義的意義.,0,0)( , 以以取取實實向向量量從從而而對對應應的的特特征征向向量量可可系系知知必必有有實實的的基基礎礎解解由由是是實實系系數數方方程程組組線線性性方方程程組組所所以以齊齊次次為為實實數數的的特特征征值值由由于于對對稱稱矩矩陣陣 EAxEAAiii 證明證明,21222111 AppApp,AAAT 對對稱稱 TTApp111 AppTT

3、111 22121211ppAppppTTT ,212ppT . 0 2121 ppT ,21 .21正正交交與與即即pp. 021 ppT., 21212121正正交交與與則則若若是是對對應應的的特特征征向向量量的的兩兩個個特特征征值值是是對對稱稱矩矩陣陣設設ppppA 定理定理5.95.9，得得等等式式兩兩邊邊左左乘乘以以2p它們的重數依次為它們的重數依次為srrr,21).(21nrrrs 根據上述定理可得：根據上述定理可得：證明證明,21s 設設 的互不相等的特征值為的互不相等的特征值為A. ,)( , , 個線性無關的特征向量個線性無關的特征向量恰有恰有對應特征值對應特征值從而從而的

4、秩的秩則矩陣則矩陣重根重根的特征方程的的特征方程的是是階對稱矩陣階對稱矩陣為為設設iiiiiiirrnAERAErAnA 定理定理. , 1素素的的對對角角矩矩陣陣個個特特征征值值為為對對角角元元的的是是以以其其中中使使則則必必有有正正交交矩矩陣陣階階對對稱稱矩矩陣陣為為設設nAAPPPnA 定理定理5.10.,r ), 2 , 1( ii單單位位正正交交的的特特征征向向量量個個即即得得把把它它們們正正交交化化并并單單位位化化關關的的實實特特征征向向量量個個線線性性無無恰恰有有對對應應特特征征值值risi ,21知知由由nrrrs 由于不同特征值的特征向量正交由于不同特征值的特征向量正交， P

5、PAPP11.,11個個特特征征值值的的是是恰恰個個個個的的對對角角元元素素含含其其中中對對角角矩矩陣陣nArrss 這樣的特征向量共可得這樣的特征向量共可得 個個.n故這故這 個單位特征向量兩兩正交個單位特征向量兩兩正交.n以它們為列向量構成正交矩陣以它們為列向量構成正交矩陣 ，則，則P根據上述結論，利用正交矩陣將對稱矩陣化根據上述結論，利用正交矩陣將對稱矩陣化為對角矩陣，其具體步驟為對角矩陣，其具體步驟為：為：二、利用正交矩陣將對稱矩陣對角化的方法二、利用正交矩陣將對稱矩陣對角化的方法將對應于將對應于每個每個特征值基礎解系正交化特征值基礎解系正交化;3.將基礎解系單位化將基礎解系單位化.4

6、.2. ;, 0 求求基基礎礎解解系系由由 xAEi 1.;的特征值的特征值求求A5.1 APPPn，則則向向量量，構構造造正正交交矩矩陣陣個個向向量量為為列列解解系系的的以以標標準準正正交交化化后后的的基基礎礎解解 20212022 AE 214 0 . 2, 1, 4321 得得,020212022)1( A 111111111)2(A例例1 1 對下列各實對稱矩陣，分別求出正交矩陣對下列各實對稱矩陣，分別求出正交矩陣 ，使使 為對角陣為對角陣.APP1 P(1)第一步第一步 求求 的特征值的特征值A 的的特特征征向向量量求求出出由由第第二二步步AxAEi, 0 得得由由對對, 04, 4

7、1 xAE 04202320223232121xxxxxxx解之得基礎解系解之得基礎解系 .1221 得得由由對對, 0, 12 xAE 0202202323121xxxxxx解之得基礎解系解之得基礎解系.2122 得得由由對對, 02, 23 xAE 02202320243232121xxxxxxx解之得基礎解系解之得基礎解系.2213 第三步第三步 將特征向量正交化將特征向量正交化.,3, 321321故它們必兩兩正交故它們必兩兩正交的特征向量的特征向量個不同特征值個不同特征值的的是屬于是屬于由于由于 A第四步第四步 將特征向量單位化將特征向量單位化. 3 , 2 , 1, iiii 令令

8、,3132321 得得,3231322 .3232313 ,22121212231,321 P作作.200010004 1 APP則則 111111111)2(A. 30321 ，得特征值得特征值 得得基基礎礎解解系系由由對對, 00, 021 XAE ),3(1111111112 AE12111,0.01 得得基基礎礎解解系系由由對對, 03, 33 XAE 311 .1 1111,0 211122111111011.22102TT 正正交交化化，將將21 單位化單位化,令令1116323121111232631232163,.0ppp 令令1112631111232632163(,),0P

9、ppp .3001 APPAPPT則則 P 是正交陣是正交陣,且且 對對角角化化，如如何何解解？，使使若若求求正正交交陣陣2AkEP 思考：思考：.2, 2的的值值試試求求行行列列式式的的秩秩為為且且滿滿足足階階實實對對稱稱矩矩陣陣設設AErAAAAn 例例2使使得得故故存存在在可可逆逆陣陣且且秩秩為為陣陣是是實實對對稱稱又又或或的的特特征征值值為為可可得得由由, 01 2PrAAAA 解解.,000 1階階單單位位陣陣是是其其中中rEEAPPrr 112 2 PPPPAE從而從而rnrEE 200.2rn E2 .23)1(121,111213213 21AAAATT）求求矩矩陣陣（的的特特

10、征征向向量量；對對應應于于特特征征值值求求，的的特特征征向向量量分分別別是是，對對應應于于；，的的特特征征值值是是階階實實對對稱稱矩矩陣陣設設 例例3 0, 0,3(1) 23133213 TTTxxxA則則，的的特特征征向向量量對對應應于于特特征征值值設設解解 020321321xxxxxx即即 1013k 解解得得， 2/16/13/106/23/12/16/13/1,)2(332211 P令令.300020001 1 APPP為正交陣，且為正交陣，且則則1300020001 PPA所所以以TPP 300020001 13252102521361例例4 設設A,B是兩個是兩個n階實對稱陣，

11、則存在正交矩階實對稱陣，則存在正交矩陣陣P，使得，使得 的充要條件是：的充要條件是：A與與B有有完全相同的特征值。完全相同的特征值。1PAPB 證明：證明：充分性充分性設設A與與B有完全相同的特征值有完全相同的特征值 ， 12,n 則存在正交矩陣則存在正交矩陣 與與 ，使得，使得 1P2P1211112122nnPAPP BP 111122PAPP BP 1111212()()P PA P PB 112PP P 令令 ，P為正交陣為正交陣 1PAPB 必要性必要性 若存在正交矩陣若存在正交矩陣P，使得，使得 ，則則A與與B相似，相似，1PAPB 從而從而A與與B有完全相同的特征值。有完全相同的

12、特征值。1.對稱矩陣的性質：對稱矩陣的性質：三、小結 (1) (1)特征值為實數；特征值為實數； (2)(2)屬于不同特征值的特征向量正交；屬于不同特征值的特征向量正交； (3)(3)特征值的重數和與之對應的線性無關的特征值的重數和與之對應的線性無關的特征向量的個數相等；特征向量的個數相等； (4)(4)必存在必存在正交正交矩陣，將其化為對角矩陣，矩陣，將其化為對角矩陣，且對角矩陣對角元素即為特征值且對角矩陣對角元素即為特征值2.利用正交矩陣將對稱陣化為對角陣的步驟：利用正交矩陣將對稱陣化為對角陣的步驟： (1)求特征值；求特征值；(2)找特征向量；找特征向量；(3)將特征向將特征向量正交化；量正交化；(4)最后單位化最后單位化,111111111 A.00100100 nB思考題思考題.,是是否否相相似似判判斷斷下下列列兩兩矩矩陣陣BA思考題解答思考題解答. 0,)( 211 nnnAnAE 的的特特征征值值為為因因解解使使得得存存在在可可逆逆矩矩陣陣是是實實對