1、第一章一元函數極限§1.1函數一、有界函數定義：設函數在數集有定義，若函數值的集合有上界（有下界、有界），即，則稱函數在有上界（有下界、有界）。二、奇函數、偶函數定義：函數定義在數集，若，有且，則稱為偶函數（奇函數）。奇函數圖像關于原點對稱，偶函數圖像關于軸對稱。三、周期函數§1.2用定義證明極限的存在性一、 用定義證明極限二、 定義：；三、 定理1）存在與都存在，且；2）存在與都存在，且；3），其中；4）無窮小與有界函數的積為無窮小；5）有限個無窮小的和或積為無窮小；收斂數列的性質1）唯一性：若數列收斂，則它的極限是唯一的。2）有界性：若數列收斂，則數列有界，即。3）保序

2、性：若與，且，則。推論：若與，且，則。函數極限的性質1）唯一性：若在（）收斂，則它的極限是唯一的。2）局部有界性：若，則，有。若，則，有。3）保序性：若與，且，則，有。推論：若與，且，有（）則。（其它極限形式，可類似給出）二、用Cauchy準則證明極限1）數列收斂。2）極限存在與，有3）極限存在與，有三、否定形式四、利用單調有界原理證明極限存在單調有界原理：1、數列單調增加，有上界；2、數列單調減少，有下界；注：單調不必是嚴格的；對函數極限有類似結論。五、數列與子列、函數與數列的極限關系1、數列與子列的極限關系有2、函數與數列的極限關系（海涅定理）：若，則有推論1：若存在某個數列，且，而它的函

3、數值數列不存在極限，則函數在也不存在極限。推論2：若存在兩個數列與，與，且與，而，則函數在也不存在極限。六、極限的運算性質數列極限的四則運算：以數列為例，若與都存在，則有、（分母不為零）若，則。函數極限的四則運算：若函數與在都收斂，則函數，也收斂，且1）；2）；3），其中。（其它極限形式有類似的結論）復合函數極限：設有復合函數，若1）；2），有；3）。則。注：若連續，則；若與都連續，則。§1.3求極限限的若干方法一、利用等價代換無窮小的比較：1）設，若，、時，稱與是時的同階無窮小；特別地，時，稱與是時的等價無窮小，記為；、，稱是當時的高階無窮小，記為；（其它極限形式類似）2）設是正常

4、數，稱是關于的階無窮小。結論：設，且當時，存在，則因此，表達式中因子可用等價因子代替，極限不變，常用等價無窮小有：當時，；二、利用已知極限以極限為例進行說明1、若，則；2、若，則三、利用變量替換求極限為了將未知的極限化簡，或轉化為已知的極限，可根據極限式的特點，適當引入新變量。四、兩邊夾法則1）設是三個數列，若有，且，則。注：縮放適度，使前后極限相同。五、求極限的其它方法1、LHospital（洛必達法則）1）使用前檢查類型；2）洛必達法則只是充分條件，使用后算不出結果，不等于極限不存在；例：。3）型的洛必達法則使用時，只需檢驗分母趨向無窮大即可，分子不趨向沒有關系。2、利用Taylor公式求

5、極限常用的初等函數的麥克勞林公式：1）；2）；3）；4）；5）。3、利用積分定義求極限例1、；（中國科學院，中國科技大學等）解：，4、利用級數求解問題利用收斂級數的一般項趨向于零；5、利用連續性求極限6、綜合性例題§1.6實數及其基本定理一、閉區間套定理設有閉區間列，若1）；2）；則存在唯一實數屬于所有的閉區間，且。二、確界定理定義：設是非空數集，若，且1），有；2），有；則稱是數集的上確界，記為（supremun的縮寫）定義：設是非空數集，若，且1），有；2），有；則稱是數集的下確界，記為（infimum的縮寫）定理（確界定理）若非空數集有上界（下界），則數集存在唯一的上確界（下確界）。三、有限覆蓋定理設是一個區間（或開或閉），并有開區間集，若有，則稱開區間集覆蓋區間。定理：若開區間集覆蓋閉區間，則中存在有限個開區間也覆蓋了閉區間。四、聚點定理定義：設是數軸上的無限點集，是數軸上的一個定點