1、第七節 函數項級數的一致收斂性分布圖示 引例(講義例1) 一致收斂的概念 例2 例3 魏爾斯特拉斯判別法 例4 例5一致收斂級數的基本性質 定理2 定理3 定理4冪級數的一致收斂性 定理5 定理6 內容小結 課堂練習 習題127 返回內容要點 一、一致收斂的概念：函數項級數在收斂域上收斂于和，指的是它在上的每一點都收斂，即對任意給定的及收斂域上的每一點，總相應地存在自然數，使得當時，恒有.一般來說，這里的不僅與有關，而且與也有關. 如果對某個函數項級數能夠找到這樣的一個只與有關而不依賴于的自然數，則當時，不等式對于區間上每一點都成立，這類函數項級數就是所謂的一致收斂的級數.定義1 設函數項級數

2、在區間上收斂于和函數, 如果對任意給定的，都存在著一個與無關的自然數N, 使得當時, 對區間I上的一切x恒有，則稱該函數項級數在區間I上一致收斂于和，此時也稱函數序列在區間I上一致收斂于. 二、定理1（魏爾斯特拉斯判別法）如果函數項級數在區間I上滿足條件：（1） （2）正項級數收斂.則該函數項級數在區間I上一致收斂. 三、一致收斂級數的基本性質定理2 如果級數的各項在區間上都連續，且級數在區間上一致收斂于 則在上也連續.定理 3 設在上連續，且級數在區間上一致收斂于，則存在，且級數在上可以逐項積分，即 (7.2)其中 且上式右端的級數在上也一致收斂.定理4 如果級數在區間上收斂于和, 它的各項

3、都有連續導數，并且級數在上一致收斂，則級數在上也一致收斂，且可逐項求導，即有 (7.3) 四、冪級數的一致收斂性定理5 如果冪級數的收斂半徑為 則此級數在內的任一閉區間上一致收斂.定理 6 如果冪級數的收斂半徑為則其和函數在內可導，且有逐項求導公式逐項求導后所得到的冪級數與原級數有相同的收斂半徑.例題選講一致收斂的概念例1（E01）考察函數項級數的和函數的連續性.解 因為該級數每一項都在是連續的，且其部分和故該級數的和函數 易見，和函數在處間斷.注:本例表明:即使函數項級數的每一項都在a, b上連續，并且級數在a, b上收斂，但其和函數卻不一定在a, b上連續；同樣也可舉例說明，函數項級數的每

4、一項的導數及積分所成的級數的和也不一定等于它們的和函數的導數及積分. 那么在什么條件下，我們才能夠從級數每一項的連續性得出它的和函數的連續性，從級數的每一項的導數及積分所成的級數之和得出原級數的和函數的導數及積分呢? 要回答這個問題，就需要引入函數項級數的一致收斂性概念.例2（E02）研究級數在區間上的一致收斂性.解 當時，有 由于若要只要于是對任給的取當時，對于一切都有因此, 級數在上一致收斂.例3（E03）研究級數在區間0,1上的一致收斂性.解 由于于是取不論多大,主要取就有因此，級數在上收斂，但不一致收斂.例4（E04）證明級數在上一致收斂.證 因為在內而正項級數收斂，故由魏爾斯特拉斯判

5、別法知，題設級數在內一致收斂.例5（E05）判別級數在上是否一致收斂.解 因為所以又級數收斂，故級數在上一致收斂.課堂練習1. 研究級數在區間上的一致收斂性.魏爾斯特拉斯（Weierstrass, Karl Wilhelm，18151897)魏爾斯特拉斯德國數學家，1815年10月31日生于德國威斯特伐利亞地區的奧斯登費爾特；1897年2月19日卒于柏林。魏爾斯特拉斯的父親威廉是一名政府官員，受過高等教育，頗具才智，但對子女相當專橫。魏爾斯特拉斯11歲時喪母，翌年其父再婚。他有一弟二妹；兩位妹妹終身未身未嫁，后來一直在生活上照料終身未娶的魏爾斯特拉斯。威廉要孩子長大后進入普魯士高等文官階層，因

6、而于1834年8月把魏爾斯特拉斯送往波恩大學攻讀財務與管理，使其學到充分的法律、經濟和管理知識，為謀得政府高級職位創造條件。魏爾斯特拉斯不喜歡父親所選專業，立志終身研究數學，并令人驚訝地放棄成為法學博士候選人，因此在離開波恩大學時，他沒有取得學位。在父親的一位朋友的建議下，他被送到一所神學哲學院，然后參加中學教師資格國家考試，考試通過后在中學任教，此期間，他寫了4篇直到他的全集刊印時才問世的論文，這些論文已顯示了他建立函數論的基本思想和結構。1853年夏他在父親家中度假，研究阿貝爾和雅可比留下的難題，精心寫作關于阿貝爾函數的論文。這就是1854年發表于克雷爾雜志上的“阿貝爾函數論”。這篇出自一

7、個名不見經傳的中學教師的杰作，引起數學界矚目。1855年秋，魏爾期特拉斯被提升為高級教師并享受一年研究假期。1856年6月14日，柏林皇家綜合科學校任命他為數學教授；在E.E.庫默爾的推薦下，柏林大學聘任他為副教授，他接受了聘書。11月19日，他當選為柏林科學院院士。1864年成為柏林大學教授。在柏林大學就任后，魏爾斯特拉斯即著手系統建立數學分析基礎，并進一步研究橢圓函數論與阿貝爾函數論。這些工作主要是通過他在該校講授的大量課程完成的。幾年后他就名聞名遐邇，成為德國以至全歐洲知名度最高的數學教授。1873年他出任柏林大學校長，從此成為大忙人。除教學外，公務幾乎占去了他全部時間，使他疲乏不堪。緊張的工作影響了他的健康，但其智力未見衰退。他的70年誕慶典規模頗大，遍布全歐各地的學生趕來向他致敬。10年后80大壽慶典更加降重，在某種程度上他簡直被看作德意志的民族英雄。1897年初，他染上流行性感冒，后轉為肺炎，終至不治，于2月19