1、第2課時雙曲線的幾何性質及應用學習目標1.理解直線與雙曲線的位置關系.2.會求解弦長問題知識點一直線與雙曲線的位置關系思考直線與圓(橢圓)有且只有一個公共點，則直線與圓(橢圓)相切，那么，直線與雙曲線相切，能用這個方法判斷嗎？答案不能梳理設直線l：ykxm(m0)，雙曲線C：1(a0，b0)，把代入得(b2a2k2)x22a2mkxa2m2a2b20.(1)當b2a2k20，即k時，直線l與雙曲線C的漸近線平行，直線與雙曲線相交于一點(2)當b2a2k20，即k時，(2a2mk)24(b2a2k2)(a2m2a2b2)0直線與雙曲線有兩個公共點，此時稱直線與雙曲線相交；0直線與雙曲線有一個公共

2、點，此時稱直線與雙曲線相切；0直線與雙曲線沒有公共點，此時稱直線與雙曲線相離知識點二弦長公式若斜率為k(k0)的直線與雙曲線相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，則|AB|.(1)若直線與雙曲線交于一點，則直線與雙曲線相切()(2)過點A(1,0)作直線l與雙曲線x2y21只有一個公共點，這樣的直線可作2條()(3)直線l：yx與雙曲線C：2x2y22有兩個公共點()類型一直線與雙曲線位置關系例1已知雙曲線x2y24，直線l：yk(x1)，試確定滿足下列條件的實數k的取值范圍(1)直線l與雙曲線有兩個不同的公共點；(2)直線l與雙曲線有且只有一個公共點；(3)直線l與雙曲線沒有公共點考

3、點直線與雙曲線的位置關系題點直線與雙曲線的位置關系解聯立消去y，得(1k2)x22k2xk240.(*)當1k20，即k1時，(2k2)24(1k2)(k24)4(43k2)(1)由得k且k1，此時方程(*)有兩個不同的實數解，即直線與雙曲線有兩個不同的公共點(2)由得k，此時方程(*)有兩個相同的實數解，即直線與雙曲線有且只有一個公共點，當1k20，即k1時，直線l與雙曲線的漸近線平行，方程(*)化為2x5，故方程(*)只有一個實數解，即直線與雙曲線相交，有且只有一個公共點故當k或1時，直線與雙曲線有且只有一個公共點(3)由得k或k，此時方程(*)無實數解，即直線與雙曲線無公共點反思與感悟(

4、1)解決直線與雙曲線的公共點問題，不僅要考慮判別式，更要注意二次項系數為0時，直線與漸近線平行的特殊情況(2)雙曲線與直線只有一個公共點的題目，應分兩種情況討論：雙曲線與直線相切或直線與雙曲線的漸近線平行(3)注意對直線l的斜率是否存在進行討論跟蹤訓練1已知雙曲線x21，過點P(1,1)的直線l與雙曲線只有一個公共點，求直線l的斜率k.考點直線與雙曲線的位置關系題點直線與雙曲線的位置關系解當直線l的斜率不存在時，l：x1與雙曲線相切，符合題意當直線l的斜率存在時，設l的方程為yk(x1)1，代入雙曲線方程，得(4k2)x2(2k2k2)xk22k50.當4k20時，k2，l與雙曲線的漸近線平行

5、，l與雙曲線只有一個公共點；當4k20時，令0，得k.綜上，k或k2或k不存在類型二弦長公式及中點弦問題例2過雙曲線x21的左焦點F1作傾斜角為的弦AB，求|AB|的長考點直線與雙曲線的位置關系題點直線與雙曲線相交弦長與三角形面積解易得雙曲線的左焦點F1(2,0)，直線AB的方程為y(x2)，與雙曲線方程聯立，得8x24x130.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，x1x2，|AB|3.反思與感悟解決中點弦問題常用判別式法和點差法，注意所求參數的取值范圍問題跟蹤訓練2設A，B為雙曲線x21上的兩點，線段AB的中點為M(1,2)求：(1)直線AB的方程；(2)OAB的面積(O為坐標

6、原點)考點直線與雙曲線的位置關系題點直線與雙曲線相交弦長與三角形面積解(1)顯然直線AB的斜率存在，設直線AB的方程為y2k(x1)，即ykx2k.由消去y，整理得(2k2)x22k(2k)xk24k60.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則1，解得k1.當k1時，滿足0，直線AB的方程為yx1.(2)由(1)得x1x22，x1x23，|AB|4.又O到直線AB的距離d，SAOB|AB|d42.類型三直線與雙曲線位置關系的綜合問題例3直線l：ykx1與雙曲線C：2x2y21的右支交于不同的兩點A，B.(1)求實數k的取值范圍；(2)是否存在實數k，使得以線段AB為直徑的圓經過雙曲線C的右焦

7、點F？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由考點直線與雙曲線的位置關系題點直線與雙曲線的其他問題解(1)將直線l的方程ykx1代入雙曲線C的方程2x2y21，整理得(k22)x22kx20，依題意，直線l與雙曲線C的右支交于不同的兩點，故解得k的取值范圍為2k.(2)設A，B兩點的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則由式，得假設存在實數k，使得以線段AB為直徑的圓經過雙曲線C的右焦點F，則FAFB，y1y20，即(kx11)(kx21)0，(1k2)x1x2(x1x2)0，(1k2)0，化簡得5k22k60，解得k或k(舍去)，可知k使得以線段AB為直徑的圓經過雙曲線C的右焦點反思與感

8、悟解決綜合問題時，可以仿照橢圓的處理思路，借助于方程思想，將問題進行化歸，然后利用直線與雙曲線位置關系進行求解跟蹤訓練3已知雙曲線C：1(a0，b0)的一條漸近線的方程為yx，右焦點F到直線x的距離為.(1)求雙曲線C的方程；(2)斜率為1且在y軸上的截距大于0的直線l與雙曲線C相交于B，D兩點，已知A(1,0)，若1，證明：過A，B，D三點的圓與x軸相切考點直線與雙曲線的位置關系題點直線與雙曲線的其他問題(1)解依題意有，c，a2b2c2，c2a，a1，c2，b23，雙曲線C的方程為x21.(2)證明設直線l的方程為yxm(m0)，B(x1，x1m)，D(x2，x2m)，BD的中點為M，由得

9、2x22mxm230，x1x2m，x1x2，又1，即(2x1)(2x2)(x1m)(x2m)1，m0(舍)或m2，x1x22，x1x2，M點的橫坐標為1，(1x1)(1x2)(x12)(x22)52x1x2x1x25720，ADAB，過A，B，D三點的圓以點M為圓心，BD為直徑，點M的橫坐標為1，MAx軸，過A，B，D三點的圓與x軸相切.1雙曲線1的焦點到漸近線的距離為()A2 B2 C. D1考點雙曲線的幾何性質題點求雙曲線的漸近線方程答案A解析雙曲線1的一個焦點為F(4,0)，其中一條漸近線方程為yx，點F到xy0的距離為2.2“直線與雙曲線有唯一交點”是“直線與雙曲線相切”的()A充分不

10、必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件考點直線與雙曲線的位置關系題點直線與雙曲線的位置關系答案B3直線yx1被雙曲線2x2y23所截得的弦的中點坐標是()A(1,2) B(2，1)C(1，2) D(2,1)考點直線與雙曲線的位置關系題點直線與雙曲線的位置關系答案C解析將yx1代入2x2y23，得x22x40，由此可得弦的中點的橫坐標為1，故選C.4過點A(3，1)且被A點平分的雙曲線y21的弦所在的直線方程是_考點直線與雙曲線的位置關系題點直線與雙曲線的其他問題答案3x4y50解析易知所求直線的斜率存在，設為k，設該直線的方程為y1k(x3)，代入y21，消去y得關于x的

11、一元二次方程(14k2)x2(24k28k)x36k224k80，6，k，所求直線方程為3x4y50.5過雙曲線x21的右焦點F作直線l交雙曲線于A，B兩點，若|AB|4，則滿足條件的直線l有_條考點直線與雙曲線的位置關系題點直線與雙曲線相交弦長與三角形面積答案3解析設A(x1，y1)，B(x2，y2)，當直線l的斜率不存在時，其方程為x，由得y2，|AB|y1y2|4，滿足題意當直線l的斜率存在時，設其方程為yk(x)，由得(2k2)x22k2x3k220.當2k20時，x1x2，x1x2，|AB| 4，解得k.故滿足條件的直線l有3條雙曲線的綜合問題常涉及其離心率、漸近線、范圍等，與向量、

12、三角函數、不等式等知識交匯考查綜合運用數學知識的能力(1)當與向量知識結合時，注意運用向量的坐標運算，將向量間的關系，轉化為點的坐標問題，再根據根與系數的關系，將所求問題與條件建立關系求解(2)當與直線有關時，常常聯立直線與雙曲線的方程，消元后利用一元二次方程的判別式、根與系數的關系構造相關關系求解. 一、選擇題1雙曲線C與橢圓1有相同的焦距，一條漸近線的方程為x2y0，則雙曲線C的標準方程為()Ay21By21或y21Cx21或y21Dy21考點由雙曲線的簡單幾何性質求方程題點漸近線為條件求雙曲線的方程答案B2已知雙曲線1(a0)的右焦點為(3,0)，則雙曲線的離心率等于()A. B. C.

13、 D.考點雙曲線的簡單幾何性質題點求雙曲線的離心率答案C解析由題意知a259, 解得a2，e.3(2019屆浙江東陽中學期中)已知橢圓C1：y21，雙曲線C2：1(a0，b0)若以橢圓C1的長軸為直徑的圓與雙曲線C2的一條漸近線交于A，B兩點，且橢圓C1與該漸近線的兩交點將線段AB三等分，則雙曲線C2的離心率是()A. B3 C. D5答案A解析由已知得|OA|，設OA的方程為ykx(k0，x0)，所以可設A(x0，kx0)，進一步可得x0，得A，所以AB的一個三等分點坐標為，該點在橢圓上，所以21，即113k29(1k2)，解得k22，從而有2，b22a2，解得e.4(2019嘉興一中期末)

14、過雙曲線C：1(ba0)的右頂點A作斜率為1的直線l，分別與兩漸近線交于B，C兩點，若2，則雙曲線C的離心率為()A2 B. C. D.答案B5已知雙曲線1(a0，b0)的焦距為2，且雙曲線的一條漸近線與直線2xy0垂直，則雙曲線的方程為()A.y21 B.x21C.1 D.1考點雙曲線的幾何性質題點求雙曲線的標準方程答案A解析由題意得c，則a2，b1，所以雙曲線的方程為y21.6斜率為2的直線l過雙曲線C：1(a0，b0)的右焦點，且與雙曲線的左、右兩支都相交，則雙曲線的離心率e的取值范圍是()A2，) B(1，)C(1，) D(，)考點雙曲線的離心率與漸近線題點雙曲線離心率的取值范圍答案D

15、7設P為雙曲線C：x2y21上一點，F1，F2分別為雙曲線C的左、右焦點，若cosF1PF2，則PF1F2的外接圓半徑為()A. B9 C. D3考點雙曲線的簡單幾何性質題點由雙曲線方程研究其他問題答案C解析由題意知雙曲線中a1，b1，c，所以|F1F2|2.因為cosF1PF2，所以sinF1PF2.在PF1F2中，2R(R為PF1F2的外接圓半徑)，即2R，解得R，即PF1F2的外接圓半徑為 ，故選C.二、填空題8兩個正數a，b的等差中項是，一個等比中項是，且ab，則雙曲線1的離心率e_.考點雙曲線的簡單幾何性質題點求雙曲線的離心率答案解析由解得或又ab，a3，b2，c，e.9已知雙曲線C

16、：1的開口比等軸雙曲線的開口更開闊，則實數m的取值范圍是_考點雙曲線性質的應用題點以離心率或漸近線為條件的簡單問題答案(4，)解析等軸雙曲線的離心率為，且雙曲線C的開口比等軸雙曲線更開闊，雙曲線C：1的離心率e，即2，m4.10已知雙曲線C的離心率為，焦點為F1，F2，點A在雙曲線C上，若|F1A|3|F2A|，則cosAF2F1_.考點雙曲線的簡單幾何性質題點由雙曲線方程研究其他問題答案解析設雙曲線的方程為1(a0，b0)設A為右支上一點，F1，F2分別為雙曲線C的左、右焦點，且|F2A|m，由題意可得|F1A|3m，由雙曲線的定義可得|F1A|F2A|2a，解得ma，又e，可得ca.在AF

17、1F2中，|F1A|3a，|F2A|a，|F1F2|2a，可得cosAF2F1.11已知直線l與雙曲線C：x21交于A，B兩點，且線段AB的中點為M(2,1)，則直線l的方程是_考點直線與雙曲線的位置關系題點直線與雙曲線的其他問題答案8xy150解析設A(x1，y1)，B(x2，y2)，可得x1，x1，兩式相減可得，(x1x2)(x1x2)0，由M(2,1)為AB的中點，得x1x24，y1y22，可得直線AB的斜率為k8，即直線AB的方程為y18(x2)，即8xy150.將y8x15代入雙曲線的方程x21，可得60x2240x2290，即有2402460229240110，故直線l的方程為8x

18、y150.三、解答題12已知雙曲線的漸近線方程為y2x，且過點(3，4)(1)求雙曲線的方程；(2)若直線4xy60與雙曲線相交于A，B兩點，求|AB|的值考點由雙曲線的幾何性質求方程題點漸近線為條件求雙曲線方程解(1)設所求雙曲線的方程為x2(0)，把(3,4)代入方程，得9，所以1，所以所求雙曲線的方程為x21.(2)直線方程4xy60可變形為y4x6，把y4x6代入x21，得3x212x100，則x1x24，x1x2，所以|AB| .13設A，B分別為雙曲線1(a0，b0)的左、右頂點，雙曲線的實軸長為4，焦點到漸近線的距離為.(1)求雙曲線的方程；(2)已知直線yx2與雙曲線的右支交于M，N兩點，且在雙曲線的右支上存在點D，使t，求t的值及點D的坐標考點由雙曲線的簡單幾何性質求方程題點已知雙曲線的焦距、實虛軸求方程解(1)由題意，知a2，所以一條漸近線為yx，即bx2y0，所以，所以b23，所以雙曲線的方程為1.(2)設M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，則x1x2tx0，y1y2ty0.將直線方程代入雙曲線方程，消去y得x216x840，則x1x216，y1y212，所以所以由t，得(16，12)(4t,3t)，所以t4，點D的坐標為(4，3)四、探究與拓展14已知橢圓C1：1(a1b10)與雙曲線C2：1(a20，b20