1、2009年普通高等學校招生全國統一考試（福建卷）數學（理工農醫類）一. 選擇題：本小題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1. 函數最小值是A-1 B. C. D.11【答案】：B解析.故選B2.已知全集U=R，集合，則等于A x 0x2 B x 0<x<2 C x x<0或x>2 D x x0或x22【答案】：A解析計算可得或.故選A3.等差數列的前n項和為，且 =6，=4， 則公差d等于A1 B C.- 2 D 33【答案】：C解析且.故選C4. 等于A B. 2 C. -2 D. +24【答案】：D解析.故選D5.

2、下列函數中，滿足“對任意，（0，），當<時，都有>的是A= B. = C .= D 5【答案】：A解析依題意可得函數應在上單調遞減，故由選項可得A正確。6.閱讀右圖所示的程序框圖，運行相應的程序，輸出的結果是w.w.w.k.s.5.u.c.o.m A2 B .4 C. 8 D .16 6【答案】：C解析由算法程序圖可知，在n =4前均執行”否”命令，故n=2×4=8. 故選C7.設m，n是平面 內的兩條不同直線，是平面 內的兩條相交直線，則/ 的一個充分而不必要條件是w.w.w.k.s.5.u.c.o.m A.m / 且l / B. m / l 且n / lC. m /

3、且n / D. m / 且n / l7【答案】：B解析若，則可得.若則存在8.已知某運動員每次投籃命中的概率都為40%。現采用隨機模擬的方法估計該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率：先由計算器算出0到9之間取整數值的隨機數，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三個隨機數為一組，代表三次投籃的結果。經隨機模擬產生了20組隨機數： 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989據此估計，該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率為A0.35 B 0.25 C 0.2

4、0 D 0.158【答案】：B解析由隨機數可估算出每次投籃命中的概率則三次投籃命中兩次為0.25故選B9.設a，b，c為同一平面內具有相同起點的任意三個非零向量，且滿足a與b不共線，ac a=c,則b c的值一定等于w.w.w.k.s.5.u.c.o.m A 以a，b為兩邊的三角形面積 B 以b，c為兩邊的三角形面積C以a，b為鄰邊的平行四邊形的面積 D 以b，c為鄰邊的平行四邊形的面積9【答案】：C解析依題意可得故選C.10.函數的圖象關于直線對稱。據此可推測，對任意的非零實數a，b，c，m，n，p，關于x的方程的解集都不可能是A. B C D 10. 【答案】：D解析本題用特例法解決簡潔快

5、速，對方程中分別賦值求出代入求出檢驗即得.第二卷 （非選擇題共100分）二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分。把答案填在答題卡的相應位置。11.若（i為虛數單位， ）則_ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 11. 【答案】：2 解析：由，所以故。12某校開展“愛我海西、愛我家鄉”攝影比賽，9位評委為參賽作品A給出的分數如莖葉圖所示。記分員在去掉一個最高分和一個最低分后，算的平均分為91，復核員在復核時，發現有一個數字（莖葉圖中的x）無法看清。若記分員計算無誤，則數字應該是_12. 【答案】：1 解析：觀察莖葉圖，可知有。13.過拋物線的焦點F作傾斜角為的直線交拋物線于A、B兩

6、點，若線段AB的長為8，則_ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 13. 【答案】：2 解析：由題意可知過焦點的直線方程為，聯立有，又。14.若曲線存在垂直于軸的切線，則實數取值范圍是_.14. 【答案】： 解析：由題意可知，又因為存在垂直于軸的切線，所以。15.五位同學圍成一圈依序循環報數，規定：第一位同學首次報出的數為1，第二位同學首次報出的數也為1，之后每位同學所報出的數都是前兩位同學所報出的數之和；若報出的數為3的倍數，則報該數的同學需拍手一次已知甲同學第一個報數，當五位同學依序循環報到第100個數時，甲同學拍手的總次數為_.15. 【答案】：5 解析：由題意可設第次報數，第次報數

7、，第次報數分別為，所以有，又由此可得在報到第100個數時，甲同學拍手5次。三解答題w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 16.（13分）從集合的所有非空子集中，等可能地取出一個。（1） 記性質r：集合中的所有元素之和為10，求所取出的非空子集滿足性質r的概率；（2） 記所取出的非空子集的元素個數為，求的分布列和數學期望E 16、解：（1）記”所取出的非空子集滿足性質r”為事件A基本事件總數n=31事件A包含的基本事件是1,4,5、2，3，5、1，2，3，4事件A包含的基本事件數m=3所以（II）依題意，的所有可能取值為1，2，3，4，5又， ， ， 故的分布列為： 12 3 4 5 P 從而

8、E+2+3+4+517（13分）如圖，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，且MD=NB=1，E為BC的中點（1） 求異面直線NE與AM所成角的余弦值（2） 在線段AN上是否存在點S，使得ES平面AMN？若存在，求線段AS的長；若不存在，請說明理由w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 17.解析：（1）在如圖，以D為坐標原點，建立空間直角坐標依題意，得。，所以異面直線與所成角的余弦值為.A（2）假設在線段上存在點，使得平面.,可設又.由平面，得即故，此時.經檢驗，當時，平面.故線段上存在點，使得平面，此時.18、（本小題滿分13分）如圖，某市擬在長為8km的道路OP的一側修建一條運動賽道，賽道的

9、前一部分為曲線段OSM，該曲線段為函數y=Asinx(A>0, >0) x0,4的圖象，且圖象的最高點為S(3，2)；賽道的后一部分為折線段MNP，為保證參賽運動員的安全，限定MNP=120（I）求A , 的值和M，P兩點間的距離；（II）應如何設計，才能使折線段賽道MNP最長？ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 18.本小題主要考查三角函數的圖象與性質、解三角形等基礎知識，考查運算求解能力以及應用數學知識分析和解決實際問題的能力，考查化歸與轉化思想、數形結合思想，解法一（）依題意，有，又，。當 是， 又（）在MNP中MNP=120°，MP=5，設PMN=，則0&#

10、176;<<60°由正弦定理得,故0°<<60°，當=30°時，折線段賽道MNP最長亦即，將PMN設計為30°時，折線段道MNP最長解法二：（）同解法一（）在MNP中，MNP=120°，MP=5，由余弦定理得MNP=即故從而，即當且僅當時，折線段道MNP最長注：本題第（）問答案及其呈現方式均不唯一，除了解法一、解法二給出的兩種設計方式，還可以設計為：；點N在線段MP的垂直平分線上等19、（本小題滿分13分）已知A,B 分別為曲線C： +=1（y0,a>0）與x軸的左、右兩個交點，直線過點B,且與軸垂直，S

11、為上異于點B的一點，連結AS交曲線C于點T.(1)若曲線C為半圓，點T為圓弧的三等分點，試求出點S的坐標；（II）如圖，點M是以SB為直徑的圓與線段TB的交點，試問：是否存在,使得O,M,S三點共線？若存在，求出a的值，若不存在，請說明理由。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 19.【解析】解法一：()當曲線C為半圓時，如圖，由點T為圓弧的三等分點得BOT=60°或120°.(1)當BOT=60°時, SAE=30°.又AB=2,故在SAE中,有 (2)當BOT=120°時,同理可求得點S的坐標為,綜上, ()假設存在,使得O,M,S三點共

12、線.由于點M在以SB為直線的圓上,故.顯然,直線AS的斜率k存在且k>0,可設直線AS的方程為.由設點故,從而.亦即由得由,可得即經檢驗,當時,O,M,S三點共線. 故存在,使得O,M,S三點共線.解法二:()同解法一.()假設存在a,使得O,M,S三點共線.由于點M在以SO為直徑的圓上,故.顯然,直線AS的斜率k存在且K>0,可設直線AS的方程為由設點,則有故由所直線SM的方程為O,S,M三點共線當且僅當O在直線SM上,即.故存在,使得O,M,S三點共線.20、（本小題滿分14分）已知函數,且 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (1) 試用含的代數式表示b,并求的單調區間；

13、（2）令,設函數在處取得極值，記點M (,)，N(,)，P(), ,請仔細觀察曲線在點P處的切線與線段MP的位置變化趨勢，并解釋以下問題：（I）若對任意的m (, x)，線段MP與曲線f(x)均有異于M,P的公共點，試確定t的最小值，并證明你的結論；（II）若存在點Q(n ,f(n), x n< m,使得線段PQ與曲線f(x)有異于P、Q的公共點，請直接寫出m的取值范圍（不必給出求解過程）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 20.解法一:()依題意,得由.從而令當a>1時, 當x變化時，與的變化情況如下表：x+單調遞增單調遞減單調遞增由此得，函數的單調增區間為和，單調減區間為。

14、當時，此時有恒成立，且僅在處，故函數的單調增區間為R當時，同理可得，函數的單調增區間為和，單調減區間為綜上：當時，函數的單調增區間為和，單調減區間為；當時，函數的單調增區間為R；當時，函數的單調增區間為和，單調減區間為.()由得令得由（1）得增區間為和，單調減區間為，所以函數在處取得極值，故M（）N（）。觀察的圖象，有如下現象：當m從-1（不含-1）變化到3時，線段MP的斜率與曲線在點P處切線的斜率之差Kmp-的值由正連續變為負。線段MP與曲線是否有異于H，P的公共點與Kmp的m正負有著密切的關聯；Kmp=0對應的位置可能是臨界點，故推測：滿足Kmp的m就是所求的t最小值，下面給出證明并確定的

15、t最小值.曲線在點處的切線斜率；線段MP的斜率Kmp當Kmp=0時，解得直線MP的方程為令當時，在上只有一個零點，可判斷函數在上單調遞增，在上單調遞減，又，所以在上沒有零點，即線段MP與曲線沒有異于M，P的公共點。當時，.所以存在使得即當MP與曲線有異于M,P的公共點綜上，t的最小值為2.（2）類似（1）于中的觀察，可得m的取值范圍為解法二：（1）同解法一.（2）由得，令，得由（1）得的單調增區間為和，單調減區間為，所以函數在處取得極值。故M().N() () 直線MP的方程為由得線段MP與曲線有異于M,P的公共點等價于上述方程在(1,m)上有根,即函數上有零點.因為函數為三次函數,所以至多有三個零點,兩個極值點.又.因此, 在上有零點等價于在內恰有一個極大值點和一個極小值點,即內有兩不相等的實數根.等價于 即又因為,所以m 的取值范圍為(2,3)從而滿足題設條件的r的最小值為2.21、本題（1）、（2）、（3）三個選答題，每小題7分，請考生任選2題作答，滿分14分，如果多做，則按所做的前兩題計分。作答時，先用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應的題號涂黑，并將所選題號填入括號中，（1）（本小題滿分7分）選修4-4：矩陣與變換w.w.w.k.s.5.u.c.o.