1、1( , )d dDf x yx y 直直角角坐坐標標系系下下計計算算極極坐坐標標系系下下計計算算 X 型型區區域域Y 型型區區域域 D極極點點在在區區域域 的的外外部部D極極點點在在區區域域 的的邊邊界界上上D極極點點在在區區域域 的的內內部部( , , )df x y z v 直直角角坐坐標標系系 “先先一一后后二二”“先先二二后后一一”21( , )( , )d d( , , )dxyzx yzx yDx yf x y z z21d( , , )d dzccDzf x y zx y( cos , sin , ) d d dfzz 2( , , ) sin d d dF rrr 重積分計算

2、的基本方法重積分計算的基本方法 累次積分法累次積分法2第六節一、平面圖形的面積及立體體積一、平面圖形的面積及立體體積 二、曲面的面積二、曲面的面積 三、物體的重心三、物體的重心 四、物體的轉動慣量四、物體的轉動慣量 五、物體的引力五、物體的引力 重積分的應用 3dDD 一一、利利用用可可以以求求平平面面圖圖形形 的的面面積積. .( , )ddDf x yv 二二、利利用用或或可可以以求求立立體體的的體體積積. .2222.1262zxyzxy 計計算算曲曲面面及及所所圍圍成成的的立立體體的的體體積積例例22226 22zxyxoyzxy 交交線線在在面面上上的的投投影影為為：222xy ，所

3、求立體的體積為所求立體的體積為12VVV 2222(6 2) (2)dDxyxy 223 (2)dDxy 2 22 0 03d(2) d 6 222xy 42222.1262zxyzxy 計計算算曲曲面面及及所所圍圍成成的的立立體體的的體體積積例例12VVV 2222(6 2) (2)dDxyxy 6 另解：另解：dVv 22226 22d ddxyxyxyDx yz 2222(6 2) (2)dDxyxy 6 1. 能用重積分解決的實際問題的特點能用重積分解決的實際問題的特點所求量是所求量是 對區域具有對區域具有可加性可加性.分布在分布在有界閉域有界閉域上的整體量上的整體量. 2. 用重積分

4、解決問題的用重積分解決問題的方法方法 -元素法元素法問題：滿足什么條件的量可用重積分解決？問題：滿足什么條件的量可用重積分解決？222xy 5元素法的步驟：元素法的步驟：把定積分的元素法推廣到二重積分的應用中把定積分的元素法推廣到二重積分的應用中.01( , )dlim(,).niiiiDf x yf (1),d ,d ,D 作作圖圖分分割割區區域域 ，取取一一代代表表性性的的小小區區域域其其面面積積也也為為(2)dd( , )d ,Uf x y 求求出出與與對對應應的的部部分分量量的的近近似似值值( , ) dx y 其其中中，U量量 的的微微分分元元素素(3)寫寫出出二二重重積積分分的的表

5、表達達式式：( , )dDUf x y 01( , , )dlim(,).niiiiif x y zvfv 元素法也可推廣到三重積分上元素法也可推廣到三重積分上6 設曲面設曲面S的方程為的方程為),(yxfz 曲面曲面S在在xoy面上的投影為區面上的投影為區域域D，如圖，如圖， 設小區域設小區域，D d點點(x,y)， d 為為S上過點上過點M(x,y,z)的切平面，的切平面， 以以 d的邊的邊界為準線，界為準線，母線平行于母線平行于z軸的軸的小柱面，小柱面， 截曲面截曲面S為為，Sd截截切平面切平面 為為，Ad則有則有dSd . Axzoy),(yxfz sAd ),( yxfz xyzso

6、 d),(yxM d),(yxMSdD三三、利利用用二二重重積積分分的的元元素素法法求求曲曲面面面面積積：則面積則面積 A 可看成曲面上各點可看成曲面上各點),(zyxM處小切平面的面積處小切平面的面積 d A無限積累而成無限積累而成.01limdniSA 7 cosdd A niyxffS1220d1lim .d122 DyxffS ),( yxfz xyzso d),(yxMAd d122yxff (,1)xynff .面面的的夾夾角角是是切切平平面面與與 xoy 因為因為 d為為Ad在在xoy面上的面上的投影，投影， 則有則有dcos dA 221cos1xxff 01limdniSA

7、8zdcos dA Ad d1d2Aab cos21dab n k n 9設曲面的方程為：設曲面的方程為：),(xzhy 曲面面積公式為：曲面面積公式為：221()() d d .zxyyzxDAz x 設曲面的方程為：設曲面的方程為：),(zygx 曲面面積公式為：曲面面積公式為：221()() d d ;yzxxyzDAy z 同理可得同理可得曲面面積公式為：曲面面積公式為：221()( ) d dxyzzxyDSx y 即即 設曲面的方程為：設曲面的方程為： ),(yxfz ,xyDxoy 面上的投影區域為面上的投影區域為在在( , )xyx yD 即即( , )yzy zD ( , )

8、zxz xD 10 xzy 1D：axyx 22,222yxaxxz 解：解：)0,( yxxoyaxyx 22 1D,222yxayyz 2222azyx axyx 22例例1. 求球面求球面，含在圓柱體，含在圓柱體內部的那部分面積內部的那部分面積.曲面方程：曲面方程： 222zaxy 由對稱性知：由對稱性知：14AA ,221( )( )?zzxy 于于是是1112224d dDax yaxy 2cos220014ddaaa .4222aa xoyaxyx 22 1Dcosa ,222yxaa 面積為：面積為：12241d dxyDAzzx y 10,:20cos .Da 221( )(

9、)zzxy于于是是12二、重 心 ( , , )x y z ( , , )x y z 設密度函數為設密度函數為的空間物體的空間物體 V，在在 V 上連續上連續. .為求得為求得 V 的重心坐標的重心坐標, ,先對先對 V 作分割作分割 T, iV(,)iiiiV 是小塊是小塊的質量可用的質量可用近似代替近似代替, 若若 把每一塊看作質量集中在把每一塊看作質量集中在(,)iii 的質點時的質點時, 整個整個物體就可用這物體就可用這 n 個質點的質點系來近似代替個質點的質點系來近似代替. .由于由于質點系的重心坐標公式為質點系的重心坐標公式為iV(,),iii 在屬于在屬于 T 的每一小塊的每一小

10、塊 上任取一點上任取一點于于 1311(,),(,)niiiiiinniiiiiVxV 11(,),(,)niiiiiinniiiiiVyV 11(,),(,)niiiiiinniiiiiVzV 14的重心坐標的重心坐標: : ( , , )d,( , , )dVVxx y zVxx y zV ( , , )d,( , , )dVVyx y zVyx y zV ( , , )d.( , , )dVVzx y zVzx y zV 當物體當物體 V 的密度均勻分布時的密度均勻分布時, 即即 為常數時，則有為常數時，則有0T 時時，當當自然地可把它們的極限定義作為自然地可把它們的極限定義作為 V 1

11、5111d,d,d.VVVxx Vyy Vzz VVVV同樣可以得到同樣可以得到, 密度函數為密度函數為( , )x y 的平面薄板的平面薄板 D 的的 重心坐標重心坐標: : ( , )d( , )d,.( , )d( , )dDDDDxx yyx yxyx yx y 當當 為常數時，則有為常數時，則有1d ,DxxD 1d .DyyD 16例例2 求密度均勻的上半橢球體的重心求密度均勻的上半橢球體的重心. . 解解 設橢球體由設橢球體由 2222221,0 xyzzabc表示表示. 借助對借助對 0,0.xy 又由又由為常數為常數, 所以所以 稱性知道稱性知道dd d d.2d3VVVz

12、Vz x y zzVabc232,438czabcabc 故得故得 2d d d,4Vzx y zabc 即求得上半橢球體的重心坐標為即求得上半橢球體的重心坐標為 3( 0, 0,).8c173 3. .轉轉動動慣慣量量 質質點點對對一一個個軸軸的的轉轉動動慣慣量量= =質質點點的的質質量量 質質點點到到軸軸的的距距離離的的平平方方. .( (1 1) )質質點點對對一一個個軸軸的的轉轉動動慣慣量量：xoyn設設在在平平面面上上有有 個個質質點點, ,它它們們分分別別由由力力學學知知識識知知道道：xy該該質質點點系系對對 軸軸以以及及對對 軸軸的的轉轉動動慣慣量量依依次次為為：21nxiiiI

13、y m ，( (2 2) )質質點點系系的的轉轉動動慣慣量量：12,nm mm質質量量分分別別為為1122(,),(,),(,),nnx yx yxy位位于于點點處處21nyiiiIx m ，2Imd 因質點系的轉動慣量等于各質點的轉動慣量之和因質點系的轉動慣量等于各質點的轉動慣量之和, 故故 連續體的轉動慣量可用積分計算連續體的轉動慣量可用積分計算. 18xy( (3 3) )非非均均勻勻平平面面薄薄片片對對 軸軸、 軸軸的的轉轉動動慣慣量量：xoyD設設有有一一平平面面薄薄片片, ,占占有有面面上上的的閉閉區區域域為為 , ,( , )x y在在點點處處的的( , ),( , ),x yx

14、 yD 面面密密度度為為假假定定在在 上上連連續續x求求該該薄薄片片對對 軸軸的的轉轉動動慣慣.xyIyI量量 以以及及對對 軸軸的的轉轉動動慣慣量量用用元元素素法法：d ,D 在在 上上任任取取小小塊塊( , )d ,x y 則則( , )d ,mx y ( , ),x y這這部部分分質質量量可可近近似似地地看看作作集集中中在在點點上上x于于是是對對 軸軸的的轉轉動動慣慣y量量以以及及對對 軸軸的的轉轉動動慣慣量量元元素素為為：2d( , )d ,xIyx y 得：得：2d( , )d ,yIxx y 2( , )d ,xDIyx y 2( , )d .yDIxx y xDyo( , )x

15、yd 2211nnxiiyiiiiIy mIx m ，192300sindda 例例3.求半徑為求半徑為 a 的均勻半圓薄片對其直徑的轉動慣量的均勻半圓薄片對其直徑的轉動慣量.解解: 建立坐標系如圖建立坐標系如圖,222:0 xyaDy 2ddxDIyxy 32sinddD 414a 214M a 半圓薄片的質量半圓薄片的質量212Ma 122 2 oxyDaa2( , )d ,xDIyx y 2( , )d .yDIxx y 20 xyz（4 4）空空間間物物體體對對 軸軸、 軸軸、 軸軸的的轉轉動動慣慣量量：,( , , )( , , )x y zx y z 占占有有空空間間有有界界閉閉區

16、區域域在在點點處處的的密密度度為為( , , ), ,x y zx y z 假假定定在在 上上連連續續的的物物體體對對于于軸軸的的轉轉動動慣慣量量依依次次為為：xyzodv ( , , )x y z22() ( , , )d ,xIyzx y zv 22() ( , , )d ,yIxzx y zv 22() ( , , )d .zIxyx y z v 2Imd 21D4 4. .平平面面薄薄片片對對質質點點的的引引力力xoyD設設有有一一平平面面薄薄片片, ,占占有有面面上上的的閉閉區區域域為為 , ,( , )x y在在點點處處的的( , ),( , ),x yx yD面面密密度度為為假假

17、定定在在 上上連連續續求求該該平平面面薄薄片片對對位位于于0(0,0, )(0).zMaa 軸軸上上的的點點處處引引力力的的單單位位質質點點的的z薄薄片片對對 軸軸上上的的單單位位質質解解: :點點的的引引力力(,),xyzFF F F , ,.xyzF i F j F kFx y z 其其中中分分別別為為 在在軸軸上上的的分分向向量量zydF 0(0,0, )Mao( , )x yd (,)(cos , cos,cos ).yzxaaaaeaaa 2222( , )dd,()Gx yFxya d( , ,)Fx ya G為為引引力力常常數數. .x22(,)(cos , cos,cos ).

18、yzxaaaaeaaa 32222( , )d ,()xDx y xFGxya 32222( , )d ,()yDx y yFGxya 32222( , )d .()zDx yFaGxya G為為引引力力常常數數. .d( , ,)Fx ya 222cos()xxya 222cos()yxya 222cos()axya 2222( , )dd,()Gx yFxya 23222rxyz G 為引力常數為引力常數推廣推廣到空間立體到空間立體 ：設物體占有空間區域設物體占有空間區域 ,( , , )x y z 連連續續，物體對位于物體對位于原點的單位質量原點的單位質量質點的引力質點的引力利用元素法利

19、用元素法,其密度函數其密度函數rzxvdydF (,)xyzFF F F 3( , , )dxx y z xFGvr 3( , , )dyx y z yFGvr 3( , , )dzx y z zFGvr 24 曲曲 線線 積積 分分對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分對坐標的曲線積分對坐標的曲線積分定定義義聯聯系系計計算算三代一定三代一定)( 二代一定二代一定 (與方向有關與方向有關)01( , )dlim( , )niiiLif x y sfs ( , )d( , )dLP x y x Q x y y 01lim ( , )( , )niiiiiiiPx Qy dd(coscos)dLLP x

20、Q yPQs 22( , )d , dLf x y sft dd ( , )( , ) dLP x Q yPQt 25與路徑無關的四個等價命題與路徑無關的四個等價命題條條件件等等價價命命題題 LyQxP dd(1)在在G內內與路徑無關，與路徑無關，(4)在在G內存在內存在u(x,y),，yQxPuddd 使使，xQyP (3)在在G內，內， CyQxP , 0dd(2)使閉曲線使閉曲線.GC 在單連通區域在單連通區域G上上P(x,y),Q(x,y)具有具有連續的連續的一階偏導數，一階偏導數，則以下四個命題成立則以下四個命題成立.261.定積分與不定積分的聯系定積分與不定積分的聯系 ( )d(

21、)( )( )( )baf xxF bF aF xf x 牛頓牛頓-萊布尼茨公式萊布尼茨公式2.二重積分與曲線積分的聯系二重積分與曲線積分的聯系()d ddd()LDQPx yP xQ yLxy 沿沿 的的正正向向格林公式格林公式27第二類曲線積分第二類曲線積分 ddLP xQ y 二二代代一一定定化化為為第第一一類類線線積積分分格格林林公公式式( (L L閉閉) )QPxy = =( (更更換換路路徑徑) ) 28計算中涉及的有關公式計算中涉及的有關公式1.兩類曲線積分的幾何意義兩類曲線積分的幾何意義dLsL 表表示示曲曲線線 的的長長度度. . dABxLx 在在 軸軸上上的的投投影影(

22、(可可正正可可負負) ) dAByLy 在在 軸軸上上的的投投影影( (可可正正可可負負) )BAxx = =BAyy = =閉區域閉區域D的面積的面積.dd21 LxyyxA29_dd21L xyyxL422 yx4.曲線積分曲線積分，其中，其中是是沿逆時針方向一周沿逆時針方向一周.4 ()dd( ).22Lxyxxy y13 3. 設設L為從點為從點(1,1)到點到點(0,0) 的直線段，則的直線段，則 （A） ；（；（B） 3 ； （C） 0 ； （D） D222(0),LxyRR1.1.設設 為為平平面面曲曲線線上上的的整整個個圓圓周周曲曲線線 則則曲曲線線積積22d( ).xyes

23、L L分分.0.2e ; .2; .e .RRABRCRD； B(1,0)(0,1),()d_.LLxys 2.2.設設 為為連連接接及及兩兩點點的的直直線線段段 則則2305 5、設、設),(,),(yxQyxP在單連通區域在單連通區域D內有一階連續內有一階連續 偏導數偏導數, ,則在則在D內與內與 LQdyPdx路徑無關的條件路徑無關的條件 DyxyPxQ ),(,是是( ).( ). (A) (A)充分條件充分條件; (B); (B)必要條件必要條件; (C); (C)充要條件充要條件. . C31(-2,1)(2, 1),MN 7 7. .設設 為為從從點點到到點點的的一一段段光光滑滑曲曲線線弧弧 則則下下列列曲曲線線積積分分的的值值小小于于零零的的是是（ ）( )d ; ( )d ;AxBy 33( )d ; ()dd . CsDxxyy B221,Lxy6.6.設設 為為正正向向圓圓周周的的第第一一象象限限中中的的部部分分 則則曲曲線線積積分分d2 d_.Lx yy x 34 3232(- )d(sin )d ,Lxy xxyyLyx 計計算算線線積積分分其其中中 是是曲曲線線(0,0)(1,1).上上從從點點到到點點之之