1、 北京市西城區 2009年抽樣測試 高三數學試卷（理科） 2009.5 本試卷分第卷(選擇題)和第卷(非選擇題)兩部分,共150分.考試時間120分鐘.題號分數 一 二 三總分151617181920 第卷(選擇題 共40分)一、選擇題：本大題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分. 在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項. 1. 已知集合A、B滿足，那么下列各式中一定成立的是（ ） A. B. B A C. D. 2. 在復平面內，滿足條件i)=2的復數z對應的點位于 （ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3. 設向量a=(1, x-1)，b=(x

2、+1,3)，則“x=2”是“a/b”的（ ）A. 充分但不必要條件 B. 必要但不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件4. 已知一個平面，那么對于空間內的任意一條直線a，在平面內一定存在一條直線b，使得a與b（ ）A. 平行 B. 相交C. 異面 D. 垂直5. 已知函數，為的導函數，那么（ ）A. 將的圖象向左平移個單位可以得到的圖象 B. 將的圖象向右平移個單位可以得到的圖象 C. 將的圖象向左平移個單位可以得到的圖象 D. 將的圖象向右平移個單位可以得到的圖象6. 如果數列對任意滿足，且，那么等于( ) A.1024 B. 512 C. 510 D. 2567. 設斜率為

3、1的直線l與橢圓相交于不同的兩點A、B，則使為整數的直線l共有（ ） A.4條 B. 5條 C. 6條 D. 7條8. 根據程序設定，機器人在平面上能完成下列動作：先從原點OO x(m) yP(x, y)東北.沿正東偏北（）方向行走一段時間后，再向正北方向行走一段時間，但的大小以及何時改變方向不定. 如右圖. 假定機器人行走速度為10米/分鐘，設機器人行走2分鐘時的可能落點區域為S，則S的面積（單位：平方米）等于（ ） A. B. C. D. 北京市西城區 2009年抽樣測試 高三數學試卷（理科） 2009.5 第卷(非選擇題 共110分)二、填空題：本大題共 6 小題，每小題 5 分，共 3

4、0 分. 把答案填在題中橫線上 .9. 函數的反函數是_.10. 設，則的內角=_. 11. 若的展開式中常數項為84，則a=_，其展開式中二項式系數之和為_.(用數字作答) 12 設P為曲線為參數)上任意一點，則的最小值為_.13. 已知一個球的表面積為，球面上有P、Q、R三點，且每兩點間的球面距離均為，那么此球的半徑r=_，球心到平面PQR的距離為_. 14. 已知集合，函數的定義域、值域都是，且對于任意，. 設是的任意一個排列，定義數表，若兩個數表的對應位置上至少有一個數不同，就說這是兩張不同的數表，那么滿足條件的不同的數表的張數為_.三、解答題：本大題共 6 小題，共 80 分. 解答

5、應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.（本小題滿分12分） 已知函數.（）求的值域和最小正周期；（）設，且，求的值.16.（本小題滿分12分）甲，乙兩人射擊，每次射擊擊中目標的概率分別是. 現兩人玩射擊游戲，規則如下：若某人某次射擊擊中目標，則由他繼續射擊，否則由對方接替射擊. 甲、乙兩人共射擊3次，且第一次由甲開始射擊. 假設每人每次射擊擊中目標與否均互不影響. () 求3次射擊的人依次是甲、甲、乙的概率； () 若射擊擊中目標一次得1分，否則得0分(含未射擊). 用表示乙的總得分，求的分布列和數學期望.17.（本小題滿分14分）如圖，在直三棱柱中，D是AA1的中點.() 求異面直線與所

6、成角的大小；() 求二面角C-B1D-B的大小； C B C1 B1 A A1 D() 在B1C上是否存在一點E，使得平面? 若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.18.（本小題滿分14分） 設R，函數() 當a=2時，試確定函數的單調區間； () 若對任何R，且，都有，求a的取值范圍. 19.（本小題滿分14分）已知的頂點A在射線上， A, B兩點關于x軸對稱，O為坐標原點，且線段AB上有一點M滿足. 當點A在l上移動時，記點M的軌跡為W. () 求軌跡W的方程； ()設P(-1,0)，Q(2,0)，求證：.20.（本小題滿分14分） 已知f是直角坐標平面xOy到自身的一個映射，點在映射f

7、下的象為點，記作. 設，,. 如果存在一個圓，使所有的點都在這個圓內或圓上，那么稱這個圓為點的一個收斂圓. 特別地，當時，則稱點為映射f下的不動點. () 若點在映射f下的象為點. 求映射f下不動點的坐標； 若的坐標為(1,2)，判斷點是否存在一個半徑為3的收斂圓，并說明理由.() 若點在映射f下的象為點,(2,3). 求證：點存在一個半徑為的收斂圓. 北京市西城區 2009年抽樣測試參考答案 高三數學試卷（理科） 2009.5 題號12345678答案 CDADAACB一、選擇題：本大題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分. 二、填空題：本大題共 6 小題，每小題 5 分，共 30 分

8、. 9. 10. 11. 1，512 12. 4 13. 6， 14. 216注：兩空的題目，第一個空2分，第二個空3分.三、解答題：本大題共 6 小題，共 80 分. 15.（本小題滿分12分）（）解： -2分， -4分因為(其中R)，所以，即函數的值域為. -6分函數的最小正周期為. -8分（）解：由（）得，所以， -9分因為，所以， -10分 所以， 所以 . -12分16.（本小題滿分12分）（）解：記 “3次射擊的人依次是甲、甲、乙” 為事件A. -1分由題意，得事件A的概率； -5分（）解：由題意，的可能取值為0,1,2， -6分； . 所以，的分布列為：012P-10分的數學期望

9、. -12分17.（本小題滿分14分）方法一：（）解：如圖，設F為BB1的中點，連接AF，CF，C G BC1 B1 A A1 D E F 直三棱柱，且D是AA1的中點， ， 為異面直線與所成的角或其補角. -2分 在Rt中，AB=1，BF=1， ，同理， 在中， 在中， 異面直線與所成的角為. -4分（）解：直三棱柱， 又，平面. -5分如圖，連接BD，在中，即，是CD在平面內的射影，為二面角C-B1D-B的平面角. -7分在中, , BC=1, ，,二面角C-B1D-B的大小為. -9分（）答：在B1C上存在一點E，使得平面，此時.-10分以下給出證明過程.證明：如圖，設E為B1C的中點，

10、G為BC的中點，連接EG，AG，ED， 在中， ，且， 又，且， ， 四邊形為平行四邊形， ， -12分 又平面ABC，平面ABC， 平面. -14分 方法二：（）如圖，以B為原點，BC、BA、BB1分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標系O-xyz， 則， , -2分，異面直線與所成的角為. -4分 C B C1 B1 A A1 Dxy z E G（）解：直三棱柱， 又，平面. -5分 如圖，連接BD，在中，即，是CD在平面內的射影， 為二面角C-B1D-B的平面角. -7分， 二面角C-B1D-B的大小為. -9分（）同方法一. -14分18.（本小題滿分14分）（）解：當時， 因為，所以在

11、上為增函數； -3分當時， -4分 由，解得， 由，解得， 所以在上為增函數，在上為減函數.綜上，增區間為和，減區間為. -7分（）解：當時，由，得，即 ， 設 ， 所以（當且僅當時取等號）， 所以當時，有最大值， 因為對任何，不等式恒成立， 所以 ； -10分 當時，由，得，即， 設，則， 所以當，即時，有最小值， 因為對任何，不等式恒成立， 所以 . -13分綜上，實數的取值范圍為. -14分19.（本小題滿分14分） （）解：因為A, B兩點關于x軸對稱，所以AB邊所在直線與y軸平行. 設M(x, y)，由題意，得， -2分 所以， 因為，所以，即， -5分所以點M的軌跡W的方程為. -

12、6分（）證明：設， 因為曲線關于x軸對稱， 所以只要證明“點M在x軸上方及x軸上時，”成立即可. 以下給出“當時，” 的證明過程. 因為點M在上，所以.當x0=2時，由點M在W上，得點， 此時， 所以，則； -8分 當時，直線PM、QM的斜率分別為， 因為，所以，且， 又，所以，且， 所以，-10分 因為點M在W上，所以，即， 所以， 因為， 所以， -12分 在中，因為，且， 所以. 綜上，得當時，.所以對于軌跡W的任意一點M，成立. -14分20.（本小題滿分14分）（）解：設不動點的坐標為， 由題意，得，解得， 所以映射f下不動點為. -2分結論：點不存在一個半徑為3的收斂圓. 證明：由，得， 所以， 則點不可能