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文檔簡介

1、 北京市西城區 2009年抽樣測試 高三數學試卷(理科) 2009.5 本試卷分第卷(選擇題)和第卷(非選擇題)兩部分,共150分.考試時間120分鐘.題號分數 一 二 三總分151617181920 第卷(選擇題 共40分)一、選擇題:本大題共 8 小題,每小題 5 分,共 40 分. 在每小題列出的四個選項中,選出符合題目要求的一項. 1. 已知集合A、B滿足,那么下列各式中一定成立的是( ) A. B. B A C. D. 2. 在復平面內,滿足條件i)=2的復數z對應的點位于 ( )A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3. 設向量a=(1, x-1),b=(x

2、+1,3),則“x=2”是“a/b”的( )A. 充分但不必要條件 B. 必要但不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件4. 已知一個平面,那么對于空間內的任意一條直線a,在平面內一定存在一條直線b,使得a與b( )A. 平行 B. 相交C. 異面 D. 垂直5. 已知函數,為的導函數,那么( )A. 將的圖象向左平移個單位可以得到的圖象 B. 將的圖象向右平移個單位可以得到的圖象 C. 將的圖象向左平移個單位可以得到的圖象 D. 將的圖象向右平移個單位可以得到的圖象6. 如果數列對任意滿足,且,那么等于( ) A.1024 B. 512 C. 510 D. 2567. 設斜率為

3、1的直線l與橢圓相交于不同的兩點A、B,則使為整數的直線l共有( ) A.4條 B. 5條 C. 6條 D. 7條8. 根據程序設定,機器人在平面上能完成下列動作:先從原點OO x(m) yP(x, y)東北.沿正東偏北()方向行走一段時間后,再向正北方向行走一段時間,但的大小以及何時改變方向不定. 如右圖. 假定機器人行走速度為10米/分鐘,設機器人行走2分鐘時的可能落點區域為S,則S的面積(單位:平方米)等于( ) A. B. C. D. 北京市西城區 2009年抽樣測試 高三數學試卷(理科) 2009.5 第卷(非選擇題 共110分)二、填空題:本大題共 6 小題,每小題 5 分,共 3

4、0 分. 把答案填在題中橫線上 .9. 函數的反函數是_.10. 設,則的內角=_. 11. 若的展開式中常數項為84,則a=_,其展開式中二項式系數之和為_.(用數字作答) 12 設P為曲線為參數)上任意一點,則的最小值為_.13. 已知一個球的表面積為,球面上有P、Q、R三點,且每兩點間的球面距離均為,那么此球的半徑r=_,球心到平面PQR的距離為_. 14. 已知集合,函數的定義域、值域都是,且對于任意,. 設是的任意一個排列,定義數表,若兩個數表的對應位置上至少有一個數不同,就說這是兩張不同的數表,那么滿足條件的不同的數表的張數為_.三、解答題:本大題共 6 小題,共 80 分. 解答

5、應寫出文字說明,證明過程或演算步驟.15.(本小題滿分12分) 已知函數.()求的值域和最小正周期;()設,且,求的值.16.(本小題滿分12分)甲,乙兩人射擊,每次射擊擊中目標的概率分別是. 現兩人玩射擊游戲,規則如下:若某人某次射擊擊中目標,則由他繼續射擊,否則由對方接替射擊. 甲、乙兩人共射擊3次,且第一次由甲開始射擊. 假設每人每次射擊擊中目標與否均互不影響. () 求3次射擊的人依次是甲、甲、乙的概率; () 若射擊擊中目標一次得1分,否則得0分(含未射擊). 用表示乙的總得分,求的分布列和數學期望.17.(本小題滿分14分)如圖,在直三棱柱中,D是AA1的中點.() 求異面直線與所

6、成角的大小;() 求二面角C-B1D-B的大小; C B C1 B1 A A1 D() 在B1C上是否存在一點E,使得平面? 若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.18.(本小題滿分14分) 設R,函數() 當a=2時,試確定函數的單調區間; () 若對任何R,且,都有,求a的取值范圍. 19.(本小題滿分14分)已知的頂點A在射線上, A, B兩點關于x軸對稱,O為坐標原點,且線段AB上有一點M滿足. 當點A在l上移動時,記點M的軌跡為W. () 求軌跡W的方程; ()設P(-1,0),Q(2,0),求證:.20.(本小題滿分14分) 已知f是直角坐標平面xOy到自身的一個映射,點在映射f

7、下的象為點,記作. 設,,. 如果存在一個圓,使所有的點都在這個圓內或圓上,那么稱這個圓為點的一個收斂圓. 特別地,當時,則稱點為映射f下的不動點. () 若點在映射f下的象為點. 求映射f下不動點的坐標; 若的坐標為(1,2),判斷點是否存在一個半徑為3的收斂圓,并說明理由.() 若點在映射f下的象為點,(2,3). 求證:點存在一個半徑為的收斂圓. 北京市西城區 2009年抽樣測試參考答案 高三數學試卷(理科) 2009.5 題號12345678答案 CDADAACB一、選擇題:本大題共 8 小題,每小題 5 分,共 40 分. 二、填空題:本大題共 6 小題,每小題 5 分,共 30 分

8、. 9. 10. 11. 1,512 12. 4 13. 6, 14. 216注:兩空的題目,第一個空2分,第二個空3分.三、解答題:本大題共 6 小題,共 80 分. 15.(本小題滿分12分)()解: -2分, -4分因為(其中R),所以,即函數的值域為. -6分函數的最小正周期為. -8分()解:由()得,所以, -9分因為,所以, -10分 所以, 所以 . -12分16.(本小題滿分12分)()解:記 “3次射擊的人依次是甲、甲、乙” 為事件A. -1分由題意,得事件A的概率; -5分()解:由題意,的可能取值為0,1,2, -6分; . 所以,的分布列為:012P-10分的數學期望

9、. -12分17.(本小題滿分14分)方法一:()解:如圖,設F為BB1的中點,連接AF,CF,C G BC1 B1 A A1 D E F 直三棱柱,且D是AA1的中點, , 為異面直線與所成的角或其補角. -2分 在Rt中,AB=1,BF=1, ,同理, 在中, 在中, 異面直線與所成的角為. -4分()解:直三棱柱, 又,平面. -5分如圖,連接BD,在中,即,是CD在平面內的射影,為二面角C-B1D-B的平面角. -7分在中, , BC=1, ,,二面角C-B1D-B的大小為. -9分()答:在B1C上存在一點E,使得平面,此時.-10分以下給出證明過程.證明:如圖,設E為B1C的中點,

10、G為BC的中點,連接EG,AG,ED, 在中, ,且, 又,且, , 四邊形為平行四邊形, , -12分 又平面ABC,平面ABC, 平面. -14分 方法二:()如圖,以B為原點,BC、BA、BB1分別為x、y、z軸,建立空間直角坐標系O-xyz, 則, , -2分,異面直線與所成的角為. -4分 C B C1 B1 A A1 Dxy z E G()解:直三棱柱, 又,平面. -5分 如圖,連接BD,在中,即,是CD在平面內的射影, 為二面角C-B1D-B的平面角. -7分, 二面角C-B1D-B的大小為. -9分()同方法一. -14分18.(本小題滿分14分)()解:當時, 因為,所以在

11、上為增函數; -3分當時, -4分 由,解得, 由,解得, 所以在上為增函數,在上為減函數.綜上,增區間為和,減區間為. -7分()解:當時,由,得,即 , 設 , 所以(當且僅當時取等號), 所以當時,有最大值, 因為對任何,不等式恒成立, 所以 ; -10分 當時,由,得,即, 設,則, 所以當,即時,有最小值, 因為對任何,不等式恒成立, 所以 . -13分綜上,實數的取值范圍為. -14分19.(本小題滿分14分) ()解:因為A, B兩點關于x軸對稱,所以AB邊所在直線與y軸平行. 設M(x, y),由題意,得, -2分 所以, 因為,所以,即, -5分所以點M的軌跡W的方程為. -

12、6分()證明:設, 因為曲線關于x軸對稱, 所以只要證明“點M在x軸上方及x軸上時,”成立即可. 以下給出“當時,” 的證明過程. 因為點M在上,所以.當x0=2時,由點M在W上,得點, 此時, 所以,則; -8分 當時,直線PM、QM的斜率分別為, 因為,所以,且, 又,所以,且, 所以,-10分 因為點M在W上,所以,即, 所以, 因為, 所以, -12分 在中,因為,且, 所以. 綜上,得當時,.所以對于軌跡W的任意一點M,成立. -14分20.(本小題滿分14分)()解:設不動點的坐標為, 由題意,得,解得, 所以映射f下不動點為. -2分結論:點不存在一個半徑為3的收斂圓. 證明:由,得, 所以, 則點不可能

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