1、精品關(guān)于圓錐曲線的中點(diǎn)弦問(wèn)題直線與圓錐曲線相交所得弦中點(diǎn)問(wèn)題，是解析幾何中的重要內(nèi)容之一，也是高考的一個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題。這類問(wèn)題一般有以下三種類型：（ 1）求中點(diǎn)弦所在直線方程問(wèn)題；（ 2）求弦中點(diǎn)的軌跡方程問(wèn)題；（ 3）求弦中點(diǎn)的坐標(biāo)問(wèn)題。其解法有代點(diǎn)相減法、設(shè)而不求法、參數(shù)法、待定系數(shù)法及中心對(duì)稱變換法等。一、求中點(diǎn)弦所在直線方程問(wèn)題x2y21內(nèi)一點(diǎn) M （ 2 ， 1 ）引一條弦，使弦被點(diǎn)M 平分，求這條弦所在的例1過(guò)橢圓416直線方程。解法一：設(shè)所求直線方程為y-1=k(x-2)，代入橢圓方程并整理得：(4k21)x 28(2k 2k) x4(2k1) 2160又設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為A( x

2、1 , y1 ) ，B（ x2 , y2 ），則 x1, x2 是方程的兩個(gè)根，于是x18(2k 2k)x24k 2，14( 2k 2又 M 為 AB 的中點(diǎn)，所以x1x2k)2 ，24k 211解得 k，2故所求直線方程為x2 y40 。解法二：設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為A( x1 , y1 )， B（ x2 , y2 ）， M （2 ，1 ）為 AB 的中點(diǎn)，所以 x1x24 ， y1y22 ，又 A、 B 兩點(diǎn)在橢圓上，則x124 y1216 ， x224 y2216 ，兩式相減得 ( x12x22) 4( y12y22)0 ，y1y2x1x211所以x24( y1y2 )，即 kAB，x12

3、2故所求直線方程為x2 y40 。解法三：設(shè)所求直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為A( x , y)，由于中點(diǎn)為M （2，1），則另一個(gè)交點(diǎn)為B(4-x ,2y )，因?yàn)?A 、B 兩點(diǎn)在橢圓上，所以有x 24 y 216，( 4x) 24(2y) 216兩式相減得 x 2 y 40 ，由于過(guò) A 、 B 的直線只有一條，-可編輯 -精品故所求直線方程為x2 y40 。二、求弦中點(diǎn)的軌跡方程問(wèn)題例 2過(guò)橢圓 x2y 21上一點(diǎn) P（ -8 ，0 ）作直線交橢圓于Q 點(diǎn)，求 PQ 中點(diǎn)的軌跡方程。6436解法一：設(shè)弦PQ 中點(diǎn) M （ x, y ），弦端點(diǎn) P（ x1 , y1 ）， Q （ x2 , y2

4、 ），22576 ，兩式相減得 9(x1則有9x1216 y122x22)16( y12y22)0 ，9x216 y2576又因?yàn)?x1x22x ， y1y22 y ，所以 92 x( x1x2 ) 162 y( y1y2 )0 ，所以y1y29x ，而 k PQy0，故 9xy。x1x216 yx ( 8)16 y x 8化簡(jiǎn)可得 9x272x16y 20（ x8 ）。解法二：設(shè)弦中點(diǎn) M（ x, y ），Q（ x1 , y1 ），由 xx18，yy1 可得 x12x8 ，y1 2 y ，222222又因?yàn)?Q 在橢圓上，所以x1y11 ，即 4( x4)4y1，64366436所以 PQ

5、中點(diǎn) M 的軌跡方程為( x4) 2y 21（ x8 ）。169三、弦中點(diǎn)的坐標(biāo)問(wèn)題例 3求直線 yx1被拋物線 y24x 截得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)。解：解法一：設(shè)直線yx1 與拋物線 y 24x 交于 A( x1 , y1 ) ， B( x2 , y2 ) ，其中點(diǎn)P( x0 , y0 ) ，由題意得yx1y 2，4x消去 y 得 (x 1)24x ，即 x 26x 1 0 ，所以 x0x1x23 ， y0x012 ，即中點(diǎn)坐標(biāo)為(3,2)。2解法二：設(shè)直線yx1 與拋物線 y24x 交于 A( x1 , y1 ) ， B( x2 , y2 ) ，其中點(diǎn) P( x0 , y0 ) ，由題意得y12

6、4x1，兩式相減得 y22y124(x2x1 ) ，y224x2-可編輯 -精品( y2y1 )( y2 y1 )4 ，所以x2x1所以 y1y24 ，即 y02 ， x0y0 1 3 ，即中點(diǎn)坐標(biāo)為 (3,2) 。上面我們給出了解決直線與圓錐曲線相交所得弦中點(diǎn)問(wèn)題的一些基本解法。下面我們看一個(gè)結(jié)論引理設(shè) A 、B 是二次曲線 C：Ax2Cy2Dx Ey F 0上的兩點(diǎn)，P( x0, y0 )為弦 AB的中點(diǎn)，則k AB2 Ax 0D (2Cy 0E0 )2Cy 0E。設(shè) A ( x1 , y1 ) 、 B ( x2 , y2 ) 則 Ax12Cy12Dx1Ey1F0 （1 ）22Ax 2Cy

7、2Dx 2Ey 2F0 （2 ）(1)(2) 得 A( x1x2 )( x1x2 )C( y1y2 )( y1y2 )D( x1x2 ) E( y1y2 ) 02 Ax0 ( x1x2 )2Cy0 ( y1y2 )D (x1x2 )E( y1y2 )0(2 Ax0D )( x1x2 )(2Cy 0E)( y1y2 )0y1y22 Ax0Dk AB2 Ax0D2Cy 0E0x1 x2x1x22Cy0E2Cy 0E即。（說(shuō)明：當(dāng)AB 時(shí) ， 上 面 的 結(jié) 論 就 是 過(guò) 二 次 曲 線 C 上 的 點(diǎn) P ( x0 , y0 ) 的 切 線 斜 率 公 式 ， 即k2 Ax 0D2Cy 0E ）

8、推論 1設(shè)圓 x 2y2DxEyF0 的弦 AB 的中點(diǎn)為P ( x0 , y0 )k AB2 x0Dk2x0D（ y02 y0E 。（假設(shè)點(diǎn)2 y 0E0) ，則P 在圓上時(shí)，則過(guò)點(diǎn) P的切線斜率為）x2y 21( x0 , y0 )y0 0)kAB22推論 2設(shè)橢圓 ab的弦 AB 的中點(diǎn)為P，則（kb2?x02y0 ）對(duì) ab 也成立。假設(shè)點(diǎn)P 在橢圓上，則過(guò)點(diǎn)P 的切線斜率為ax2y 21k AB設(shè)雙曲線 a 2b2推論 3的弦 AB 的中點(diǎn)為 P ( x0 , y0 )（ y00) 則kb2? x0設(shè)點(diǎn) P 在雙曲線上，則過(guò)P 點(diǎn)的切線斜率為a 2y0）y22 px(x0 , y0

9、)y00)kAB推論 4設(shè)拋物線的弦 AB的中點(diǎn)為P（則2b2 ? x0ay0 （。 注：b2x02?ay0 。（假py0 。（假設(shè)點(diǎn)P-可編輯 -精品kp )在拋物線上，則過(guò)點(diǎn)P 的切線斜率為y0我們可以直接應(yīng)用上面這些結(jié)論解決有關(guān)問(wèn)題，下面舉例說(shuō)明。x2y21例 1 、求橢圓 2516斜率為 3的弦的中點(diǎn)軌跡方程。316 ? x解：設(shè) P（ x，y）是所求軌跡上的任一點(diǎn)， 則有25 y ，故所示的軌跡方程為 16x+75y=075x75()241241x 2y21(ab0), A 、B 是橢圓上兩點(diǎn)，線段例 2 、已知橢圓 a 2b2AB 的垂直平分線l 與 x 軸相交于 P ( x0 ,

10、0) ，求證：a2b2x0a2b2aa。證明：設(shè) AB 的中點(diǎn)為 T ( x1 , y1 ) ，由題設(shè)可知AB 與 x 軸不垂直， y10 ，kABb2x1kla 2y1a2?b2?y1l ABx1y y1a2? y1 (x x1 )0 y1a 2? y1 (x0x1 )2x1b2x1l 的方程為：b令 y=0得x1a2? x0a2? x0 | aa 2b2| x1 | a|b a22a 2b2x0a2b2aa例 3 、已知拋物線 C： y2x ，直線l : yk( x1)1, 要使拋物線C 上存在關(guān)于 l 對(duì)稱的兩點(diǎn)，k 的取值范圍是什么？解：設(shè) C 上兩點(diǎn) A 、 B 兩點(diǎn)關(guān)于 l 對(duì)稱，

11、 AB 的中點(diǎn)為 P ( x0 , y0 ) （ y00)p11kAB2y01 ky0y0kk( x0 1) 1,2P l y01 k k( x0 1) 1,x01 1P( 1 1 , 1 k) 22k 2k 21211k 32k4k2k0,P 在拋物線內(nèi)， 44k(k2)( k22k2)0,4k 2k 0.-可編輯 -精品與拋物線有關(guān)的弦的中點(diǎn)的問(wèn)題（1 ）中點(diǎn)弦問(wèn)題：（上題麻煩了。是圓不用中點(diǎn)法）例 1由點(diǎn) (2,0) 向拋物線y24x 引弦，求弦的中點(diǎn)的軌跡方程。分析：解決問(wèn)題的關(guān)鍵是找到弦的端點(diǎn)A 、B 在直線上的性質(zhì)和在拋物線上的性質(zhì)的內(nèi)在聯(lián)系。解法 1 ：利用點(diǎn)差法。設(shè)端點(diǎn)為 A

12、( x1 , y1 ) ， B ( x2 , y2 ) ，則y124 x1 ， y224x2 ，兩式相減得 y22y124( x2x1 ) ，式兩邊同時(shí)除以x2x1 ，得 ( y2y1 )y2y14 ，x2x1設(shè)弦的中點(diǎn)坐標(biāo)為( x, y) ，則 x1 x22x ， y1y22y ，又點(diǎn) ( x, y) 和點(diǎn) (2,0)在直線 AB 上，所以有y2y2y1 。xx2x1將、代入得2 yy4 ，整理得 y 22(x2)。x 2-可編輯 -精品故得中點(diǎn)的軌跡方程是y 22( x 2) 在拋物線 y24x 內(nèi)部的部分。解法 2 ：設(shè)弦 AB 所在直線的方程為y k( x 2) ，yk (x2)(1)

13、消去 x 并整理得 ky 24 y 8k 0 ，（3 ）由方程組4x(2)y 2設(shè) A ( x1 , y1 ) 、B ( x2 , y2 ) 、中點(diǎn) ( x, y) ，對(duì)于方程（3），由根與系數(shù)的關(guān)系，有y1 y24，kyy1 y22代入（ 1）得 y 22( x2)2k故得所求弦中點(diǎn)的軌跡方程是y 22( x2) 在拋物線 y 24x 內(nèi)部的部分。評(píng)注：（ 1 ）求點(diǎn)的軌跡方程即是求曲線上的點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)所滿足的關(guān)系式，本題所給出的兩種方法，都是找動(dòng)點(diǎn)( x, y) 與已知條件的內(nèi)在聯(lián)系，列關(guān)于x ， y 的關(guān)系式，進(jìn)而求出軌跡的方程。（ 2 ）弦中點(diǎn)軌跡問(wèn)題設(shè)拋物線 y 22 px （ p

14、0 ）的弦 AB ， A ( x1 , y1 ) ， B (x2 , y2 ) ，弦 AB 的中點(diǎn) C ( x0 , y0 ) ，則有y122 px1(1)，2y22 px2( 2)（ 1）（ 2 ）得 y12y222p(x1 x2 ) ， y1y22 p，x1x2y1y2將 y1y22 y0 ， kABy1y2 ，代入上式，并整理得kABp，這就是弦的斜率與中點(diǎn)x1x2y0的關(guān)系，要學(xué)會(huì)推導(dǎo)，并能運(yùn)用。例 2已知拋物線 y22x ，過(guò)點(diǎn) Q( 2,1) 作一條直線交拋物線于A ， B 兩點(diǎn)，試求弦 AB 的中點(diǎn)軌跡方程。解：如圖，設(shè)弦AB 的中點(diǎn)為 M ，并設(shè) A 、 B、 M 點(diǎn)坐標(biāo)分別為

15、 (x1 , y1 ) ， (x2 , y2 ) ， ( x, y) ，根據(jù)題意設(shè)有 y122x1 ，y22x，22x1x22x ，-可編輯 -精品y1y22 y ，y1y2y1，x1x2x2代入得，2 y( y1y2 ) 2( x1 x2 ) ，x1x2， y1y21 ， x1x2y代入得， y 2y x 2 ，即 ( y1 ) 2x7。24評(píng)注：本題還有其他解答方法，如設(shè)AB 的方程為yk( x 2) 1 ，將方程代入 y 22x ，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求出弦中點(diǎn)的軌跡方程。-可編輯 -精品-可編輯 -精品-可編輯 -精品例 6 求直線 yx 1 被拋物線 y24x 截得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)。解

16、：解法一：設(shè)直線yx 1 與拋物線 y 24x 交于 A( x1 , y1 ) ， B( x2 , y2 ) ，其中點(diǎn)P( x0 , y0 ) ，由題意得yx1y2，4x消去 y 得 (x 1)24x ，即 x 26x 10 ，所以 x0x1x23， y0x012 ，即中點(diǎn)坐標(biāo)為 (3,2) 。2解法二：設(shè)直線yx1與拋物線 y24x 交于 A( x1 , y1 ) ， B( x2 , y2 ) ，其中點(diǎn) P( x0 , y0 ) ，由題意得y124x1 ，兩式相減得y22y124(x2 x1 ) ，y224x2( y2y1 )( y2y1 )4 ，所以x2x1所以 y1y24 ，即 y02

17、， x0y013 ，即中點(diǎn)坐標(biāo)為 (3,2) 。-可編輯 -精品用點(diǎn)差法解圓錐曲線的中點(diǎn)弦問(wèn)題與圓錐曲線的弦的中點(diǎn)有關(guān)的問(wèn)題，我們稱之為圓錐曲線的中點(diǎn)弦問(wèn)題。解圓錐曲線的中點(diǎn)弦問(wèn)題的一般方法是：聯(lián)立直線和圓錐曲線的方程，借助于一元二次方程的根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式及參數(shù)法求解。若設(shè)直線與圓錐曲線的交點(diǎn)（弦的端點(diǎn)）坐標(biāo)為A(x1, y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ，將這兩點(diǎn)代入圓錐曲線的方程并對(duì)所得兩式作差，得到一個(gè)與弦AB 的中點(diǎn)和斜率有關(guān)的式子，可以大大減少運(yùn)算量。我們稱這種代點(diǎn)作差的方法為“點(diǎn)差法”。本文用這種方法作一些解題的探索。一、以定點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在直線的方程

18、x 2y21內(nèi)一點(diǎn) M (2,1) 引一條弦，使弦被M 點(diǎn)平分，求這條弦所在直線的方程。例 1 、過(guò)橢圓416解：設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 )M (2,1) 為 AB 的中點(diǎn)x1x24y1y2 2又 A 、 B 兩點(diǎn)在橢圓上，則x124 y1216 ， x224y2216兩式相減得 ( x12x22)4( y12y22)0于是 (x1 x2 )( x1x2 ) 4( y1y2 )( y1y2 ) 0y1y2x1x241x1x24( y1y2 )4 22即 kAB1，故所求直線的方程為y11 (x2)，即 x 2 y 4 0 。22例 2 、已知雙曲

19、線x2y21，經(jīng)過(guò)點(diǎn) M (1,1)能否作一條直線l ，使 l 與雙曲線交于 A 、 B ，且點(diǎn)2M 是線段 AB 的中點(diǎn)。若存在這樣的直線l ，求出它的方程，若不存在，說(shuō)明理由。策略：這是一道探索性習(xí)題，一般方法是假設(shè)存在這樣的直線，然后驗(yàn)證它是否滿足題設(shè)的條件。本題屬于中點(diǎn)弦問(wèn)題，應(yīng)考慮點(diǎn)差法或韋達(dá)定理。-可編輯 -精品解：設(shè)存在被點(diǎn)M平分的弦AB，且 A x,y1)、 B( x, y)( 122則 x1x22 ， y1y222y122y221x121 ， x22兩式相減，得(x1x2 )( x1x2 )1y2 )( y1y1y22( y1y2 ) 0k ABx22x1故直線 AB : y

20、12( x1)y12( x1)消去 y ，得 2x2由x2y214x 3 02(4) 242380這說(shuō)明直線 AB 與雙曲線不相交，故被點(diǎn)M 平分的弦不存在，即不存在這樣的直線l 。評(píng)述：本題如果忽視對(duì)判別式的考察，將得出錯(cuò)誤的結(jié)果，請(qǐng)務(wù)必小心。由此題可看到中點(diǎn)弦問(wèn)題中判斷點(diǎn)的M 位置非常重要。 （ 1 ）若中點(diǎn) M 在圓錐曲線內(nèi)，則被點(diǎn)M 平分的弦一般存在；（2 ）若中點(diǎn) M 在圓錐曲線外，則被點(diǎn)M 平分的弦可能不存在。二、過(guò)定點(diǎn)的弦和平行弦的中點(diǎn)坐標(biāo)和中點(diǎn)軌跡y2x 23 ，它與直線 x1M ，例 3 、已知橢圓1的一條弦的斜率為的交點(diǎn)恰為這條弦的中點(diǎn)75252求點(diǎn) M 的坐標(biāo)。1解：設(shè)弦

21、端點(diǎn) P( x1 , y1 ) 、 Q( x2 , y2 ) ，弦 PQ 的中點(diǎn) M ( x0 , y0 ) ，則 x02x1 x2 2x01 ， y1 y2 2 y0-可編輯 -精品y12x121，y2 2x2 2又257517525兩式相減得 25( y1y2 )( y1y2 ) 75(x1x2 )( x1x2 ) 0即 2 y0 ( y1y2 ) 3( x1 x2 ) 0y1y23x1x22 y0y1y233，即y01kx232x12y0點(diǎn)M 的坐標(biāo)為 (11,) 。22例 4 、已知橢圓y2x21,求它的斜率為3 的弦中點(diǎn)的軌跡方程。7525解：設(shè)弦端點(diǎn)P( x1 , y1 ) 、 Q

22、( x2 , y2 ) ，弦 PQ 的中點(diǎn) M ( x, y) ，則x1x22x ，y1y22 yy12x121y2 2x2 21又25，257575兩式相減得 25( y1y2 )( y1y2 )75(x1x2 )( x1x2 ) 0即 y( y1y2 )3x( x1 x2 )0y1y23x，即x2yx1ky1y23x3，即 xy0x1x23yxy053535353由 y 2x2，得 P(,) Q(2,)122275 25點(diǎn) M 在橢圓內(nèi)它的斜率為3 的弦中點(diǎn)的軌跡方程為 x y 0( 5 3x5 3)22三、求與中點(diǎn)弦有關(guān)的圓錐曲線的方程例 5 、已知中心在原點(diǎn)，一焦點(diǎn)為F (0,50 ) 的橢圓被直線l : y3x2 截得的弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)1為，求橢圓的方程。2-可編輯 -精品解：設(shè)橢圓的方程為y 2x21，則 a2b250 a2b2設(shè)弦端點(diǎn) P( x1 , y1 ) 、 Q( x2 , y2 ) ，弦 PQ