1、第五章多元函數微分學及其應用 推廣推廣一元函數微分學一元函數微分學 多元函數微分學多元函數微分學 注意注意: 善于類比善于類比, 區別異同區別異同目錄 上頁 下頁 返回 結束 第一節 n維Euclid空間中的 點集的初步知識 第五五章 1.2、 中的點列的極限中的點列的極限nR1.1、 n維維Euclid空間空間nR1.3、 中的開集與閉集中的開集與閉集nR1.4、 中的緊集與區域中的緊集與區域nR目錄 上頁 下頁 返回 結束 , 2 , 1,| ),(21niRxxxxxRinn,),(,),(2121RRyyyyRxxxxnnnn設), 2 , 1,(),(21niRxxxxxin1.1、

2、 n維維Euclid空間空間nR規定：),(2211nnyxyxyxyx加法數乘),(21nxxxxnR成為一個n 維實向量空間維實向量空間。1. 稱為一個n 元實向量元實向量。記 n 維實向量全體所構成的集合為：2. 目錄 上頁 下頁 返回 結束 22221,|nxxxxxx2222211)()()(|),(nnyxyxyxyxyx3. 若定義內積,1niiiyxyx成為一個n 維維Euclid空間。空間。nR中的長度：nR4.目錄 上頁 下頁 返回 結束 1.2、 中的點列的極限中的點列的極限nR定義定義1.1 設 是 中的一個點列，其中kxnR),(,2,1 ,nkkkkxxxx又設),

3、(21naaaanR是中的一固定點，若當 時，k, 0),(axk即, 0NN使得,|,axNkk恒有則稱點列kx的極限存在， 且稱a為它的極限，記作.lim）（或kaxaxkkk. a這時也稱點列收斂于kx目錄 上頁 下頁 返回 結束 定理定理1.1則,nRa點設點列,nkRx, 2 , 1limniaxkk都有.lim,iikkax定理定理1.2設 是 中的收斂點列，則kxnR(1) 點列kx的極限唯一；(2) 是有界點列， kx, 0)(NkRM使得即;|Mxk恒有.,bayxkk(3) 若 ,byaxkk則,axbayxkkk(4) 若 收斂于 ，則它的任一子列也收斂于kxa. a目錄

4、 上頁 下頁 返回 結束 定理定理1.3nR中的有界點列必有收斂子列.nR( 中的點列 的收斂子列的極限也稱為 的極限點）kxkx設 是 中的點列，若kxnR, 0NN使得,|,kPkxxNpNk恒有及則稱 是 中的基本點列或Cauchy點列.kxnR定理定理1.4nR中點列 收斂于 中的點kxnR是 中的Cauchy點列.kxnR目錄 上頁 下頁 返回 結束 定義定義1.2則稱 為a設 是 中的一個點集，AnR.nRa(1)若存在A中的點列，)2 , 1(kaxxkk使得，axkA的聚點.A的所有聚點構成的集合稱為 的導集.A記作.A集合 稱為 的閉包.AAAA,Aa若但,AaA則稱 為a的

5、孤立點.,AA 若則稱 為閉集.A注：注： (1) 集合 的聚點一定屬于 嗎？AA(2) 什么樣的集合對極限運算封閉？1.3、 中的開集與閉集中的開集與閉集nR(2)(3)(5)(4)目錄 上頁 下頁 返回 結束 |),(axRxaUn定義定義1.3設, 0,nRa稱點集稱為以 為中心、 為半徑的開球或 鄰域，a ),(),(aaUaU為點 的去心 鄰域.a注：注：收斂于 可以描述為：a點列kx, 0NN使得).(,，恒有aUxNkk目錄 上頁 下頁 返回 結束 定理定理1.5 設 是 中的一個點集，AnR，nRa則Aa.),(, 0AaU即 為aA的聚點 的任意去心鄰域包含 中的點.aA當且

6、僅當注：注：若 則 為閉集。,AA單點集和有限集都是閉集。目錄 上頁 下頁 返回 結束 定義定義1.4 設.,nnRaRA的內點.則稱 是集 aA(1) 若存在 使 , 0,),(AaU由 的所有內點構成的集合稱為 的內部，AA記作;int AA 或(2) 若存在 使 , 0,),(AaU則稱 是集 aA的外點.由 的所有外點構成的集合稱為 的外部，AA記作;ext A(3) 若對任何 , 0也含有不是 中的點，A由 的A.A記作),(aU中既含有 中的點，A則稱 是集 的邊界點.aA所有邊界點構成的集合稱為 的邊界，A注：注：,extAAARn且三者不交。目錄 上頁 下頁 返回 結束 對于

7、中的任一點集 必有nRA.AAA特別的，開球與它的邊界之并稱為閉球。例例1.2AA目錄 上頁 下頁 返回 結束 AextAAA目錄 上頁 下頁 返回 結束 定理定理1.6 nRA是開集 cA是閉集.注：注：nR中的開區間, 2 , 1,|),(),(21nibxaRxxxxbaiiinnnR中的閉區間, 2 , 1,|),(,21nibxaRxxxxbaiiinn注：注：一個點集是不是“非開即閉”?定理定理1.7 在n維Euclid空間 中,開集有下列性質：nR(1) 空集于空間 是開集；nR(2) 任意多個開集的并是開集；(3) 有限多個開集的交是開集.目錄 上頁 下頁 返回 結束 利用對偶

8、原理對偶原理：(1) 空集于空間 是閉集；nR(2) 任意多個閉集的交是閉集；(3) 有限多個閉集的并是開集.1.4、 中的緊集與區域中的緊集與區域nR設 是 中的一個點集，AnR若存在一個常數, 0M使得對于所有的 都有,Ax,|Ax 則稱 是有界集。A否則稱為無界集.定義定義1.6 設 是 中的一個點集，AnR若 是有界A閉集，則稱 為緊集。A定義定義1.7 設 是 中的一個點集，AnR若 中的任意A目錄 上頁 下頁 返回 結束 連通的開集稱為開區域.兩點 都能用完全屬于 的有限個線段連接起來，則yx,A稱 是連通集.A開區域與它的邊界的并稱為閉區域.設 是 中的一個點集，AnR若連接 中的任意兩點的A線段都屬于 ，即若A，Axx21,則稱 是 中的凸集.AnR凸集都是連通的.目錄 上頁 下頁 返回 結束 人有了知識，就會具備各種分析能力，明辨是非的能力。所以我們要勤懇讀書，廣泛閱讀，古人說“書中自有