1、8立體圖形與旋轉體綜合知識梳理在小學階段，我們除了學習平面圖形外，還認識了一些簡單的立體圖形，如長方體、正 方體（立方體）、直圓柱體，直圓錐體、球體等，并且知道了它們的體積、表面積的計算公式，歸納如下.見下圖.在數學競賽中，有許多幾何趣題，解答這些趣題的關鍵在于精巧的構思和恰當的設計, 把形象思維和抽象思維結合起來。典型例題【例1】一個圓柱體底面周長和高相等.如果高縮短了 2厘米，表面積就減少12.56平方厘米.求這個圓柱體的表面積.解題的關鍵在【解析】一個圓柱體底面周長和高相等，說明圓柱體側面展開是一個正方形.于求出底周長.根據條件：高縮短 2厘米，表面積就減少 12.56平方厘米，用右圖表

2、示，從圖中不難看出陰影部分就是圓柱體表面積減少部分，值是12.56平方厘米，所以底面周長C= 12.56 +2=6.28 （厘米）.這個問題解決了，其它問題也就迎刃而解了.解答過程：底面周長（也是圓柱體的高）：12.56 +2=6.28 （厘米）.側面積：6.28 X 6.28 = 39.4384 （平方厘米） 兩個底面積（取兀=3.14 ）:3Mx （-7）2=628 （平方厘米;表面積：39.4384 +6.28 =45.7184 （平方厘米）【例2】如圖1, ABCD直角梯形（單位：厘米， 3）,（1）以AB為軸并將梯形繞這個軸旋轉一周，得到一個旋轉體，它的體積是多少？（2）如果以CD為

3、軸，并將梯形繞這個軸旋轉一周，得到的旋轉體體積是多少？【解析】（1）如圖2所示，所求體積可看作 BCD唾AB的旋轉體與 AED繞AB的旋轉體之1和，即3232 36108（立方厘米）.3（2）如圖3所示，所求體積可看作 ABC璘EC的旋轉體與 ADE繞EC的旋轉體之差，即221、一，326 32- 45135（立方厘米）.3, 4, 5,如果以邊長4【小試牛刀】（05年華羅庚金杯）一個直角三角形三條邊的長度是為軸旋轉一周，得到一個立體.求這個立體的體積.（對照例題11）【解析】 以長為4的直角邊為軸旋轉得到的立體也是圓錐，底面半徑是3,由圓錐的體積公式得：12V -3 4 123【例3】一個稻

4、谷囤，上面是圓錐體，下面是圓柱體（如下圖）.圓柱的底面周長是 9.42米，高2米，圓錐的高是0.6米.求這個糧囤的體積是多少立方米？【解析】按一般的計算方法，先分別求出錐、柱的體積再把它們合并在一起求出總體積.但我們仔細想一想，如果把圓錐形的稻谷鋪平，把它變成圓柱體，這時圓柱的高等于1 ,0.6 0.2 （米）那么原來兩個形體變成一個圓枉體，局是（2+0.2）米.這樣求出變化3后直圓柱的體積就可以了.1圓錐體化為圓柱體的高：1 0.6 0.23底面積：乂（言7065（平方米）體積：7.065 X （ 2+0.2 ） = 15.543 （立方米）.【例4】皮球掉在一個盛有水的圓柱形水桶中.皮球的

5、直徑為12厘米，水桶底面直徑為60厘米.皮球有2/3的體積浸在水中（下圖）.問皮球掉進水中后，水桶的水面升高多少厘米？【解析】 皮球掉進水中后排擠出一部分水，使水面升高.這部分水的體積的大小等于皮球 浸在水中部分的體積，再用這個體積除以圓柱形水桶底面積，就得到水面升高的高度.球的體積:=2S8ti （立方厘米）水桶的底面積：3 3 302= 900 71 （平方厘米）.2 28STT 16水面升高的高度,3乂訴k = F （匣米） 3 yuu1告：水面升高費厘米.【例5】下圖所示為一個棱長 6厘米的正方體，從正方體的底面向內挖去一個最大的圓 錐體，求剩下的體積是原正方體的百分之幾？（保留一位小

6、數）【解析】直圓錐底面直徑是正方體的棱長，高與棱長相等.剩下體積等于原正方體體積減去 直圓錐體積.正方體體積：63=216 （立方厘米）圓錐體積 1x<14X （f） Jw=56,52 （立方厘米）剩下體積占正方體的百分之幾.（216 56.52 ） + 216=0.738 =73.8%.答：剩下體積占正方體體積的73.8 %【例6】有一個圓柱體的零件，高 10厘米，底面直徑是 6厘米，零件的一端有一個圓 柱形的直孔，如下圖.圓孔的直徑是 4厘米，孔深5厘米.如果將這個零件接觸空氣部分 涂上防銹漆，一共需涂多少平方厘米？ED【解析】 解題時，既要注意圓柱體的外表面積，又要注意圓孔內的表面

7、，同時還要注意到 零件的底面是圓環.由于打孔的深度與柱體的長度不相同，所以在孔內還要有一個小圓的底面需要涂油漆，這一點不能忽略.但是， 我們可以把小圓的底面與圓環拼成一個圓，即原圓 柱體的底面.【解析】涂漆面積：5 14X （1）2 + 3 14X 6X 1043 14X4X5= 3.14 X （ 18+60 + 20）= 3.14 X 98=307.72 （平方厘米）.答：涂油漆面積是 307. 72平方厘米.【例7】有一個圓柱體的零件，高10厘米，底面直徑是6厘米，零件的一端有一個圓柱 形的圓孔，圓孔的直徑是 4厘米，孔深5厘米（見右圖）.如果將這個零件接觸空氣的部分涂 上防銹漆，那么一共

8、要涂多少平方厘米？【解析】涂漆的面積等于大圓柱表面積與小圓柱側面積之和，為6 26兀10 兀（-）2 2 4兀5 60兀18兀20% 98兀307.72 （平萬厘米）.【小試牛刀】（第四屆希望杯2試試題）圓柱體的側面展開，放平，是邊長分別為10厘米和12厘米的長方形，那么這個圓柱體的體積是 立方厘米.（結果用泥表示）【解析】當圓柱的高是 12厘米時體積為 兀（10）2 12 300 （立方厘米） 2兀兀當圓柱的高是12厘米時體積為 兀（上）22兀10 360 （立方厘米）.所以圓柱體的體積為 兀300立兀方厘米或360立方厘米.兀【例8】把一個高是8厘米的圓柱體，沿水平方向鋸去2厘米后，剩下的

9、圓柱體的表面積比原來的圓柱體表面積減少12.56平方厘米.原來的圓柱體的體積是多少立方厘米？【解析】沿水平方向鋸去2厘米后，剩下的圓柱體的表面積比原來的圓柱體表面積減少的部 分為減掉的2厘米圓柱體的側面積，所以原來圓柱體的底面周長為12.56 2 6.28厘米，底面半徑為6.28 3.14 2 1厘米，所以原來的圓柱體的體積是兀12 8 8兀25.12（立方厘米）.【小試牛刀】一個圓柱體底面周長和高相等.如果高縮短4厘米，表面積就減少 50.24平方厘米.求這個圓柱體的表面積是多少？【解析】圓柱體底面周長和高相等，說明圓柱體側面展開是一個正方形.高縮短4厘米，表面積就減少50.24平方厘米.陰

10、影部分的面積為圓柱體表面積減少部分，值是50.24平方厘米，所以底面周長是 50.24 4 12.56（厘米），側面積是：12.56 12.56 157.7536（平方厘米），2兩個底面積是：3.14 12.56 3.14 22 25.12 （平方厘米）.所以表面積為：157.7536 25.12 182.8736 （平方厘米）.【例9】如圖，圓錐形容器中裝有3升水，水面高度正好是圓錐高度的一半，這個容器還能裝多少水？【解析】設圓錐容器的底面半徑為r,則水面半徑為 工，容器的容積為：1 r2h,23水的體積為：1 ?（2）2?h r2h 11 r2h322248 3說明容器可以裝 8份3升水，

11、故還能裝水：3X（8 1）=21（升）.課后作業1 .在邊長為4厘米的正方體木塊的每個面中心打一個邊與正方體的邊平行的洞.洞口是邊長為1厘米的正方形，洞深 1厘米（如下圖）.求挖洞后木塊的表面積和體積。1厘米，說明大正方體木【解析】提示：大正方體的邊長為 4厘米，挖去的小正方體邊長為塊沒被挖通，因此，每挖去一個小正方體木塊，大正方體的表面積增加“小洞內”的4個側面積.6個小洞內新增加面積的總和：1X1X4X6=24 （平方厘米），原正方體表面積：42X 6= 96 （平方厘米），挖洞后木塊表面積：96 + 24= 120 （平方厘米），體積：43 13X 6 = 58 （立方厘米）.答：挖洞后

12、的表面積是 120平方厘米，體積是 58立方厘米2 . （ 2008年第二屆兩岸四地”華羅庚金杯”少年數學精英邀請賽）一個圓柱體形狀的木棒，沿著底面直徑豎直切成兩部分.已知這兩部分的表面積之和比圓柱體的表面積大2008cm 2,則這個圓柱體木棒的側面積是 cm2.（冗取3.14）【解析】根據題意可知，切開后舞卿積增加的就是兩個長方形縱切面.設圓柱體底面半徑為r ,高為h ,那么切成的兩部分比原來的圓柱題表面積大:2 22 2r h 2008（cm ）,所以r h 502（cm ）,所以，圓枉體側面積為：2 71rh 2 3.14 502 3152.56（cm2）.3 .大、中、小三個正方體形的水缸都盛有1缸水，它們的內邊長分別為 4分米、3分米、23分米.把兩堆碎石分別沉浸在中、小水缸的水中，兩個水池的水面分別升高了4厘米和11厘米.如果將這兩堆碎石都沉浸在大水缸中，大水缸中水面將升高多少厘米？【解】兩堆碎石的體積之和：3分米=30厘米，2分米=20厘米，302 X 4 + 202X 1