1、(二二). 圖解圖解法法oA-Atx = /2T 已知曲線已知曲線 A、T、 已知已知 A、T、 曲線曲線oxmx0 = 0例例3: 一質點沿一質點沿y軸作簡諧振動軸作簡諧振動, 振動位移振動位移-時間曲線如圖時間曲線如圖所示所示,振幅為振幅為A,求求:質點的諧振動方程質點的諧振動方程 cm.A21006 解解:設質點的諧振動方程設質點的諧振動方程為為 y=Acos( t+ )從圖上可看出從圖上可看出:(1)t=0時刻時刻 0200sinAvcosAAy35yt(s)0A/2A1/3(2)t=1/3s時刻時刻 035350wtsinAvtcosAy2235 kt(t=1/3s, k=1,2,3

2、.)從圖上看出從圖上看出:質點諧振動周期質點諧振動周期T2/3s 32232T 30得到得到:25 質點諧振動方程質點諧振動方程: 352510062tcos.yyt(s)0A/2A1/3 9-2 旋轉矢量旋轉矢量一、勻速圓周運動和諧振動一、勻速圓周運動和諧振動OXt =0 t = t tA)tcos(Ax t+ x xwtnao wtsinvvm wtsinwA 在在x軸的投影軸的投影:na wtcosaan wtcosAw2mv旋轉矢量旋轉矢量 作勻速圓周運動的質點的位矢在作勻速圓周運動的質點的位矢在OX軸上投影點的運動可以表示物體在軸上投影點的運動可以表示物體在OX軸的諧振動。其位矢稱為

3、旋轉矢量。軸的諧振動。其位矢稱為旋轉矢量。 t =0t = t t+ )tcos(Ax 例例1已知：振子已知：振子 t = 0時時 2Ax0 振子向負方向運動，求振子的初相位。振子向負方向運動，求振子的初相位。AAB 32 OX2A 例例2 一質點沿一質點沿X軸作簡諧振動，振幅軸作簡諧振動，振幅A=0.12m，周期周期 T=2s。當。當 t=0 時，質點對平衡位置的位移時，質點對平衡位置的位移是是x0 = 0.06m，此刻質點向正方向運動。求：，此刻質點向正方向運動。求：（1）諧振動方程；）諧振動方程； （2）振子第一次通過平衡位置的時刻振子第一次通過平衡位置的時刻 。 ABA A/2C t

4、t =0t = t解：解： T2（1）由旋轉矢量得由旋轉矢量得3 （2）t s65t OX)m( )3tcos(12.0 x 65 OX 一質點在一質點在x軸上作諧振動，振幅軸上作諧振動，振幅A=4cm，周期，周期T=2s，其平，其平衡位置取作坐標軸原點。若衡位置取作坐標軸原點。若t=0時刻質點第一次通過時刻質點第一次通過x=-2cm處，處，且向且向x軸負方向運動，則質點第二次通過軸負方向運動，則質點第二次通過x=-2cm處時刻為處時刻為A. 1s ， B. 23（s），），BA tt =0t = t2AC. 43（s），）， D. 2s 。t t 32 T2s32t 例例3 有兩個彈簧振子，

5、已知一個彈簧振子的周期有兩個彈簧振子，已知一個彈簧振子的周期T1=0.6s，另一個彈簧振子的周期另一個彈簧振子的周期T2 =0.8s。設。設t=0時，第一個振子從時，第一個振子從平衡位置向負方向運動。第二個振子從負方向端點開始運平衡位置向負方向運動。第二個振子從負方向端點開始運動，經過動，經過0.1s后，求兩個振子的相位差。后，求兩個振子的相位差。例例4 1t+ 1A1t=0 1A1 1 tt=0.1 2 1A2 2t 2 t+ 2 23101 解：解：252 21 265t111 45t222 12512 OXA2二、相位差（同頻率）二、相位差（同頻率）)()(1122tt 當兩同頻率的諧振

6、動計時起點相同時，任當兩同頻率的諧振動計時起點相同時，任意時刻的相位差等于初相位差。意時刻的相位差等于初相位差。OX討論討論（1） = 2k （k=0， 1， 2 ）兩諧振動同相。兩諧振動同相。OXtA2A1A1A2 A1A2t=0t=T/4同方向、同頻率、計時起點相同方向、同頻率、計時起點相同同（2） = （2k+1） （k=0， 1， 2 ） 兩諧振動反相。兩諧振動反相。OXOXtA2A1A1A2 A2 A1t=0t=T/4同方向、同頻率、計時起點相同方向、同頻率、計時起點相同同OXt （3） 取除取除 2k 、 （2k+1） 外外的任意值，兩諧振動相位不一致，相互之間的的任意值，兩諧振動

7、相位不一致，相互之間的狀態稱超前或落后。狀態稱超前或落后。 OXA1A1A2A2 tt=T/40同方向、同頻率、計時起點相同方向、同頻率、計時起點相同同9 4 簡諧振動的能量簡諧振動的能量一、彈簧振子的能量一、彈簧振子的能量mOXVt時刻時刻)(sin21212222tAmmvEk)(cos2121222tkAkxEpx系統總能量系統總能量2222121AmkAEEEpk二、討論二、討論1.系統的總能量由振動的初始條件決定。系統的總能量由振動的初始條件決定。2.能量方程能量方程Ekxdtdxm2221)(21mOXVx例例1 質量為質量為m的物體和一個輕彈簧組成彈簧振的物體和一個輕彈簧組成彈簧

8、振子，其固有振動周期為子，其固有振動周期為T。當它做振幅為。當它做振幅為A的的自由振動時，求其振動能量自由振動時，求其振動能量E。解：解：22Am21E T2 22222ATm2Am21E 一物體質量為一物體質量為0.25kg，在彈性力的作用下作簡諧振，在彈性力的作用下作簡諧振動，彈簧的勁度系數動，彈簧的勁度系數k=25 Nm-1，如果起始振動時具有勢，如果起始振動時具有勢能能0.06J和動能和動能0.02J，求，求： （1）振幅；）振幅； （2） 動能等于勢能時的位移；動能等于勢能時的位移； （3）經過平衡位置時物體的速度。經過平衡位置時物體的速度。 例例22kA21E k)EE(2kE2A

9、pk m08.0 （1）（2）E21EEpk 2pkx21E m566.0kEx （3）0 x Emv21E2mk s/m.mEv402 例例3:如圖所示如圖所示,一勁度系數為一勁度系數為k的輕彈簧的輕彈簧, 在水平面作振幅為在水平面作振幅為A的諧振的諧振動時動時, 有一粘土有一粘土(質量為質量為m,從高度從高度h處自由下落處自由下落), 正好落在彈簧所正好落在彈簧所系的質量為系的質量為M的物體上的物體上,求求:(1)振動的周期有何變化振動的周期有何變化?(2)振幅有何變化振幅有何變化?設設(a)粘土是在物體通過平衡位置時落在其上的粘土是在物體通過平衡位置時落在其上的; (b)粘土是粘土是物體

10、在最大位移處落在其上的物體在最大位移處落在其上的.Mh已知已知:K,M, A, m, h求求:(1)T變化變化(2)A變化變化(a):t=0,x0=0 (b):t=0, x0=A ox解解:(1)周期與振動角頻率有周期與振動角頻率有關關, 為為固有頻率固有頻率mk 粘土落下前粘土落下前:MK 粘土落下后粘土落下后:mMK KMT 22KmMT 22(2)設碰前振幅為設碰前振幅為A,碰后振幅為碰后振幅為A (a):t=0,x0=0 設碰前物體正通過平衡位置設碰前物體正通過平衡位置,向向x軸正向運動軸正向運動00vhox0vM以粘土與振子組成的系統為研究對象以粘土與振子組成的系統為研究對象系統在水

11、平方向動量守恒系統在水平方向動量守恒 vmMvM 0碰前動量碰前動量碰后動量碰后動量0vmMMv 對碰前對碰前M和碰后和碰后M+m運用運用簡諧振動機械能守恒定律簡諧振動機械能守恒定律2022121MvkA 222121vmMAk hox0vMAmMMA (b):t=0, x0=A v0=0 t=0, x0=A v0=0;粘土此時落下粘土此時落下,由由系統水平方向動量守恒系統水平方向動量守恒00 vv故振幅保持不變故振幅保持不變,AA hox0vM9-5 諧振動的合成諧振動的合成一、兩個同方向同頻率諧振動的合成一、兩個同方向同頻率諧振動的合成二、同方向同頻率多個諧振動的合成二、同方向同頻率多個諧

12、振動的合成三、同方向不同頻率的兩諧振動的合成三、同方向不同頻率的兩諧振動的合成四、相互垂直的同頻率的諧振動的合成四、相互垂直的同頻率的諧振動的合成五、相互垂直的不同頻率的諧振動的合成五、相互垂直的不同頻率的諧振動的合成一、同方向同頻率諧振動的合成一、同方向同頻率諧振動的合成)cos()cos(222111tAxtAx21xxx？ A1A2AOXx1x2x 1 2 ）（tAxxxcos21）（12212221cos2AAAAA22112211coscossinsinAAAAtg 質點同時參與兩個同方向同頻率的諧振動，質點同時參與兩個同方向同頻率的諧振動，其合振動仍是在同方向上同頻率的諧振動。其合

13、振動仍是在同方向上同頻率的諧振動。結論結論討論討論振幅與初相位差的關系振幅與初相位差的關系 （A ）（1） = 2k （k=0， 1， 2 ）A = A1 + A2兩諧振動相互加強。兩諧振動相互加強。OXtx1x2x）（12212221cos2AAAAA（2） = （2k+1） （k=0， 1 ）21AAA兩諧振動相互減弱。兩諧振動相互減弱。OXtx2x1x）（12212221cos2AAAAA2121AAAAAOXtx1x2x）、（122kk（3） 一質點同時參與兩個在同一直線上的簡諧一質點同時參與兩個在同一直線上的簡諧運動，表達式為運動，表達式為)m(3t2cos8x1 試求其合振動的振幅

14、和初相位。試求其合振動的振幅和初相位。)m(32t2cos5x2 OxA1A2)m()3t2cos(3x 例例112A 一質點同時參與兩個在同一直線上的簡一質點同時參與兩個在同一直線上的簡諧運動，表達式為諧運動，表達式為)m(3t2cos4x1 試求其合振動的振幅和初相位。試求其合振動的振幅和初相位。)m(6t2cos3x2 OxA1A2例例2A)m( )125.0t2cos(5x 12)m(5AAA2221 125.0AAtg31211 二、同方向同頻率多個諧振動的合成二、同方向同頻率多個諧振動的合成)cos()cos(222111tAxtAx ）（tAxxXcos21A、 的計算：的計算：

15、（1）公式；）公式；（2）旋轉矢量）旋轉矢量 的合成。的合成。A2A3A5A1A7A 1 2 - 1 3 - 2 4 - 3 5 - 4 6 - 5A6A4 7 - 6OX作業：作業：單元單元30(一一)1, 2, 3, 4, 5, 6；(二二)4; (三三)2, 4(四四)1，2；1. 振動方程振動方程動力學方程動力學方程kxfs彈性力彈性力dtdxCfrC：阻力系數：阻力系數阻尼力阻尼力022022xdtdxdtxdmC2阻尼因數阻尼因數其中：其中：mk20固有頻率固有頻率9-6 阻尼、受迫振動、共振阻尼、受迫振動、共振二、受迫振動二、受迫振動 系統在周期性外力持續作用下發生的振動。周系統在周期性外力持續作用下發生的振動。周期性外力稱為策動力（強迫力）。期性外力稱為策動力（強迫力）。1. 振動方程振動方程彈性力：彈性力：kxfs阻尼力：阻尼力：dtdxCfr策動力：策動力：tFfpcos0t ）（tAxpcos其中：其中：22012222024)(pppptgfA與初始條與初始條件無關。件無關。3.共振共振當當2202rp時時2202fAAr0rrA共共 振振力學共振力學共振1. “魚洗魚洗”；2.工程設計中的禁忌；工程設計中的禁忌