1、第八講第八講 多元函數微分學的幾何應用多元函數微分學的幾何應用多元函數微分學的幾何應用多元函數微分學的幾何應用一、一元向量值函數及其導數一、一元向量值函數及其導數二、空間曲線的切線與法平面二、空間曲線的切線與法平面三、曲面的切平面與法線三、曲面的切平面與法線多元函數微分學的幾何應用多元函數微分學的幾何應用一、一元向量值函數及其導數一、一元向量值函數及其導數二、空間曲線的切線與法平面二、空間曲線的切線與法平面三、曲面的切平面與法線三、曲面的切平面與法線一、一元向量值函數及其導數一、一元向量值函數及其導數（一）向量值函數的概念（一）向量值函數的概念（二）向量值函數的極限和連續（二）向量值函數的極限

2、和連續（三）向量值函數的導數（三）向量值函數的導數（四）舉例（四）舉例一、一元向量值函數及其導數一、一元向量值函數及其導數（一）向量值函數的概念（一）向量值函數的概念（二）向量值函數的極限和連續（二）向量值函數的極限和連續（三）向量值函數的導數（三）向量值函數的導數（四）舉例（四）舉例引入引入空間曲線空間曲線的參數方程的參數方程),(tx ),(ty ),(tz , tzkyjxir ktjtittf)()()()( )(tfr 映射映射3, :Rf 一元向量值函數一元向量值函數定義定義設數集設數集,RD 則稱映射則稱映射nRDf:為一元向量值函數，為一元向量值函數，通常記為：通常記為：因變量

3、因變量自變量自變量定義域定義域Dttfr ),(l注注(1) 一元向量值函數是一元函數的推廣一元向量值函數是一元函數的推廣一元函數一元函數一元向量值函數一元向量值函數自變量自變量因變量因變量實數值實數值實數值實數值實數值實數值n維向量維向量(2) 這里只研究這里只研究n=3的情形的情形表示法表示法在在3R中中, 若向量值函數若向量值函數Dttf ),(的三個分量函數依次為的三個分量函數依次為,),(),(),(321Dttftftf 則向量值函數則向量值函數f可表示為可表示為Dtktfjtfitftf ,)()()()(321或或Dttftftftf ),(),(),()(321圖形圖形xyz

4、OMr設設,OMr 當當t 改變時改變時,終點終點M的軌跡的軌跡(記作曲線記作曲線)稱為向量值函數稱為向量值函數Dttfr ),(的的終端曲線終端曲線，曲線曲線也稱為向量值函數也稱為向量值函數Dttfr ),(的的圖形圖形一、一元向量值函數及其導數一、一元向量值函數及其導數（一）向量值函數的概念（一）向量值函數的概念（二）向量值函數的極限和連續（二）向量值函數的極限和連續（三）向量值函數的導數（三）向量值函數的導數（四）舉例（四）舉例一、一元向量值函數及其導數一、一元向量值函數及其導數（一）向量值函數的概念（一）向量值函數的概念（二）向量值函數的極限和連續（二）向量值函數的極限和連續（三）向量

5、值函數的導數（三）向量值函數的導數（四）舉例（四）舉例定義定義設向量值函數設向量值函數)(tf在點在點0t的某一去心鄰域內有定義的某一去心鄰域內有定義,如果如果存在一個常向量存在一個常向量,0r對于任意給定的正數對于任意給定的正數, 總存在正數總存在正數, 使得當使得當t 滿足滿足 |00tt時時,對應的函數值對應的函數值)(tf都滿足都滿足:,|)(|0 rtf那么那么,常向量常向量0r就叫做向量值函數就叫做向量值函數)(tf當當0tt 時的極限，記作時的極限，記作,)(lim00rtftt 或或00,)(ttrtfl注注向量值函數向量值函數)(tf當當0tt 時的極限存在的充要條件時的極限

6、存在的充要條件:)(tf的三個分量函數的三個分量函數)(),(),(321tftftf當當0tt 時的時的極限存在極限存在,且有且有: )(lim),(lim),(lim)(lim3210000tftftftftttttttt定義定義l注注 向量值函數向量值函數)(tf在在0t連續的充要條件連續的充要條件:設向量值函數設向量值函數)(tf在點在點0t的某一鄰域內有定義的某一鄰域內有定義, 若若)()(lim00tftftt 則稱向量值函數則稱向量值函數)(tf在在0t連續連續.)(tf的三個分量函數的三個分量函數)(),(),(321tftftf都在都在0t連續連續.定義定義設向量值函數設向量

7、值函數.),(Dttf 若若,1DD )(tf在在1D中的每一點中的每一點都連續，則稱都連續，則稱)(tf在在1D上連續上連續,并稱并稱)(tf1D為為上的連續函數上的連續函數.一、一元向量值函數及其導數一、一元向量值函數及其導數（一）向量值函數的概念（一）向量值函數的概念（二）向量值函數的極限和連續（二）向量值函數的極限和連續（三）向量值函數的導數（三）向量值函數的導數（四）舉例（四）舉例一、一元向量值函數及其導數一、一元向量值函數及其導數（一）向量值函數的概念（一）向量值函數的概念（二）向量值函數的極限和連續（二）向量值函數的極限和連續（三）向量值函數的導數（三）向量值函數的導數（四）舉例

8、（四）舉例定義定義.|dd0tttr 設向量值函數設向量值函數)(tf在點在點0t的某一鄰域內有定義的某一鄰域內有定義, 如果如果ttfttftrtt )()(limlim0000存在存在,那么就稱這個極限向量為向量值函數那么就稱這個極限向量為向量值函數)(tfr 在在0t處的導數或導向量處的導數或導向量,記作記作)(0tf 或或l注注)(tf的三個分量函數的三個分量函數)(),(),(321tftftf都在都在0t可導可導.0t向量值函數向量值函數)(tf在在可導的充要條件可導的充要條件:當當)(tf在在0t可導時可導時,.)()()()(321ktfjtfitftf )(tf1D),(0t

9、f 設向量值函數設向量值函數.),(Dttf 若若,1DD )(tf在在1D中的每一點中的每一點都存在導向量都存在導向量在在上可導上可導.那么就稱那么就稱運算法則運算法則(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)0dd Ct)()(ddtuctcut )()()()(ddtvtutvtut )()()()()()(ddtuttuttutt )()()()()()(ddtvtutvtutvtut )()()(ddtuttut )()()()()()(ddtvtutvtutvtut 設設)(),(),(ttvtu 可導可導,C是常向量是常向量,c是任一常數，則是任一常數，則幾何意義幾何意義xyzO

10、r割向量割向量0 t向量向量向量值函數向量值函數Dttfr ),(的終端曲線的終端曲線,為空間曲線為空間曲線割向量割向量切向量切向量與與t 的增長方向一致的增長方向一致0 t與與t 的增長方向相反的增長方向相反與與t 的增長方向一致的增長方向一致與與t 的增長方向一致的增長方向一致向量值函數向量值函數Dttfr ),(的終端曲線的終端曲線在點在點M處的一個切向量處的一個切向量,其指向與其指向與t 的增長方向一致的增長方向一致.MNr tr trt 0lim: )(0tf ),(0tfOM )(0ttfON 指向指向, 0)(0 tf設設一、一元向量值函數及其導數一、一元向量值函數及其導數（一）

11、向量值函數的概念（一）向量值函數的概念（二）向量值函數的極限和連續（二）向量值函數的極限和連續（三）向量值函數的導數（三）向量值函數的導數（四）舉例（四）舉例一、一元向量值函數及其導數一、一元向量值函數及其導數（一）向量值函數的概念（一）向量值函數的概念（二）向量值函數的極限和連續（二）向量值函數的極限和連續（三）向量值函數的導數（三）向量值函數的導數（四）舉例（四）舉例u例例1).(lim4tft 設設,)(sin)(cos)(tkjtittf 求求u例例2u例例3(1)滑翔機在任意時刻滑翔機在任意時刻t 的速度向量和加速度向量的速度向量和加速度向量;(2)滑翔機在任意時刻滑翔機在任意時刻t

12、 的速率的速率;(3)滑翔機的加速度與速度正交的時刻滑翔機的加速度與速度正交的時刻.設空間曲線設空間曲線的向量方程為的向量方程為,),62 , 34 , 1()(22Rttttttfr 求曲線求曲線在與在與20 t相應的點處的單位切向量相應的點處的單位切向量.一個人在懸掛式滑翔機上由于快速上升氣流而位置一個人在懸掛式滑翔機上由于快速上升氣流而位置向量為向量為ktjtittfr2)sin3()cos3()( 的路徑螺旋的路徑螺旋式向上式向上. 求求多元函數微分學的幾何應用多元函數微分學的幾何應用一、一元向量值函數及其導數一、一元向量值函數及其導數二、空間曲線的切線與法平面二、空間曲線的切線與法平

13、面三、曲面的切平面與法線三、曲面的切平面與法線多元函數微分學的幾何應用多元函數微分學的幾何應用一、一元向量值函數及其導數一、一元向量值函數及其導數二、空間曲線的切線與法平面二、空間曲線的切線與法平面三、曲面的切平面與法線三、曲面的切平面與法線過點過點 M 與切線垂直的平面與切線垂直的平面空間曲線在點空間曲線在點 M 處的割線的極限處的割線的極限位置位置空間曲線在點空間曲線在點 M 處的切線處的切線空間曲線在點空間曲線在點 M 處的法平面處的法平面xyzOM二、空間曲線的切線與法平面二、空間曲線的切線與法平面（一）參數式方程的情形（一）參數式方程的情形（二）一般式方程的情形（二）一般式方程的情形

14、二、空間曲線的切線與法平面二、空間曲線的切線與法平面（一）參數式方程的情形（一）參數式方程的情形（二）一般式方程的情形（二）一般式方程的情形)(, )(, )(:tztytx切線方程切線方程000zzyyxx)(0t)(0t)(0tM(x0,y0,z0)對應的參數為對應的參數為t0法平面方程法平面方程)(00 xxt)( )(00yyt0)(00zzt)(0tf T)(),(),(000ttt 切向量切向量l注注不全為不全為0)(),(),(000ttt zyxo),0(20kRMu例例4切線方程切線方程000zzyyxx)(0t)(0t)(0t法平面方程法平面方程)(00 xxt)( )(0

15、0yyt0)(00zzt求曲線求曲線 32,tztytx的切線方程和法平面方程的切線方程和法平面方程.在點在點(1,1,1)處處u例例5求螺旋線求螺旋線 kzRyRx,sin,cos2對應點處的切線方程和對應點處的切線方程和在在法平面方程法平面方程.特例特例)(, )(:xzxy視為參數方程視為參數方程 ),(, )(,xzxyxx 參數為參數為x， 切線方程切線方程000zzyyxx1)(0 x)(0 x法平面方程法平面方程0)()()(00000zzxyyxxxT)(),(, 1 (00 xx 二、空間曲線的切線與法平面二、空間曲線的切線與法平面（一）參數式方程的情形（一）參數式方程的情形

16、（二）一般式方程的情形（二）一般式方程的情形二、空間曲線的切線與法平面二、空間曲線的切線與法平面（一）參數式方程的情形（一）參數式方程的情形（二）一般式方程的情形（二）一般式方程的情形光滑曲線光滑曲線0),(0),(:zyxGzyxFF,G有對各個變量的連續偏導數有對各個變量的連續偏導數0),(),(),(000 zyxzyGF在在),(0000zyxM的某鄰域內的某鄰域內)(xy )(xz 0)(),(, xxxF 0)(),(, xxxG 兩邊對兩邊對x求導求導0dddd xzzFxyyFxF0dddd xzzGxyyGxGT)(),(, 1 (00 xx 000),(),(,),(),(

17、,),(),(MMMyxGFxzGFzyGF切線方程切線方程法平面方程法平面方程 000zzyyxxMzyGF),(),(MxzGF),(),(MyxGF),(),(MzyGF),(),()(0 xxMyxGF),(),(MxzGF),(),()(0yy0)(0 zzT 000),(),(,),(),(,),(),(MMMyxGFxzGFzyGFu例例6 求曲線求曲線處的切線及法平面方程處的切線及法平面方程. 0, 6222 zyxzyx在點在點) 1 , 2, 1 ( 處處多元函數微分學的幾何應用多元函數微分學的幾何應用一、一元向量值函數及其導數一、一元向量值函數及其導數二、空間曲線的切線與

18、法平面二、空間曲線的切線與法平面三、曲面的切平面與法線三、曲面的切平面與法線多元函數微分學的幾何應用多元函數微分學的幾何應用一、一元向量值函數及其導數一、一元向量值函數及其導數二、空間曲線的切線與法平面二、空間曲線的切線與法平面三、曲面的切平面與法線三、曲面的切平面與法線三、曲面的切平面與法線三、曲面的切平面與法線（一）隱式方程情形（一）隱式方程情形（二）顯式方程情形（二）顯式方程情形三、曲面的切平面與法線三、曲面的切平面與法線（一）隱式方程情形（一）隱式方程情形（二）顯式方程情形（二）顯式方程情形, 0),(: zyxF設設有有光滑曲面光滑曲面MT 上過點上過點 M 的任何曲線在該點的切線都

19、在同一平面上的任何曲線在該點的切線都在同一平面上.此平此平面稱為面稱為 在該點的在該點的切平面切平面.有關概念有關概念過該點垂直于切平面的直線稱為過該點垂直于切平面的直線稱為 在該點的在該點的法線法線.推導推導在在上取一點上取一點M(x0,y0,z0)，對應于參數，對應于參數t=t0考慮考慮內過內過M的任意曲線的任意曲線, )(, )(, )(:tztytx在在上上0) )(, )(, )(tttF兩邊在兩邊在t=t0處求導得處求導得：)(0t0),(000zyxFx),(000zyxFy),(000zyxFz)(0t)(0t令令),(, ),(, ),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx ).(, )(, )(000tttT 0)( ),()( ),()( ),(000000000000zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx曲面曲面 在點在點 M 的的法向量法向量曲面曲面的法線方程的法線方程 000zzyyxx),(000zyxFx),(000zyxFy),(000zyxFzMTn),(, ),(, ),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx由于曲線由于