1、習題八8-1電量都是q的三個點電荷，分別放在正三角形的三個頂點.試問：(1)在這三角形的中心放一個什么樣的電荷，就可以使這四個電荷都到達平衡(即每個電荷受其他三個電荷的庫侖力之和都為零)？(2)這種平衡與三角形的邊長有無關系？解：如題8-1圖示(1)以A處點電荷為研究對象，由力平衡知：q為負電荷解得2 1 q224冗o acos301qq4 n 0(32(Ta)qq3(2)與三角形邊長無關.題8-1圖題8-2圖8-7 一個半徑為R的均勻帶電半圓環， 電荷線密度為，求環心處0點的場強.解：如8-7圖在圓上取dl Rddq dl Rd ，它在O點產生場強大小為RddE甘方向沿半徑向外貝V dEx

2、dE sinsin d4 n 0 RdEy dEcos()cos d4 n 0R積分Exsin d04n 0R2 n 0 REycos d04 n 0RE Ex 2，方向沿x軸正向8-11半徑為R和R2 R2 > RJ的兩無限長同軸圓柱面，單位長度上分別帶有電量和-,試求：1 r v R1 ；2 R1 v r v R2 ；3 r > R2處各點的場強.解：高斯定理:E dS q2 n °rs那么-ESdSE2nl對(1)rR1q 0,E0R rR2q l0取同軸圓柱形高斯面，側面積S 2nl沿徑向向外rR2 n題8-12圖8-12兩個無限大的平行平面都均勻帶電，電荷的面密

3、度分別為 試求空間各處場強.解：如題8-12圖示，兩帶電平面均勻帶電，電荷面密度分別為1與21兩面間，E( 12)n2 o11 面外，E( 12)n2 o12 面外，E( 12)n2 o8-16如題8-16圖所示，在 A， B兩點處放有電量分別為+q,- q的點電荷,AB間距離為2 R，現將另一正試驗點電荷 qo從0點經過半圓弧移到 C點, 求移動過程中電場力作的功.解：如題8-16圖示OA qo(Uo Uc)6n oR8-17如題8-17圖所示的絕緣細線上均勻分布著線密度為的正電荷，兩直導線的長度和半圓環的半徑都等于R 試求環中心0點處的場強和電勢.解：(1)由于電荷均勻分布與對稱性，AB和

4、CD段電荷在0點產生的場強互相抵消，取dl Rd那么dq Rd產生0點dE如圖，由于對稱性，0點場強沿y軸負方向dZd5 Li一一ACRDk d£題 8-17圖RdEdE2y2 cos14n 0R2(2) AB電荷在O點產生電勢，以U 0U1A虬狄ln2B 4 n 0xR 4 n 0x 4 n同理CD產生 U 2ln 24 n o半圓環產生U 34 n 0 R 4 oUo Ui U2 U3In 22 n 04 08-22三個平行金屬板 A , B和C的面積都是200cm2, A和B相距，A與C 相距2.0 mm . B , C都接地，如題8-22圖所示.如果使 A板帶正電x 10-7

5、C 略去邊緣效應，問B板和C板上的感應電荷各是多少 ？以地的電勢為零，那么A 板的電勢是多少？解：如題8-22圖示，令A板左側面電荷面密度為1，右側面電荷面密度為2(1)且得題8-22圖BU AC U AB，即EAC d ACEABd ABQa2 3SE ACEabd AB 2dACQaS如3S而2qC1 S3 qA210 C3qB2S1 10 7 CU AE ACd ACd AC23 10 V08-23兩個半徑分別為 Ri和R2 Ri v R2)的同心薄金屬球殼，現給內球殼 帶電+q，試計算：(1) 外球殼上的電荷分布及電勢大小；(2) 先把外球殼接地，然后斷開接地線重新絕緣，此時外球殼的電

6、荷分布及 電勢；*(3)再使內球殼接地，此時內球殼上的電荷以及外球殼上的電勢的改變 量.解：(1)內球帶電 q ；球殼內外表帶電那么為 q,外外表帶電為q，且均勻分布，其電勢R2Edrqdrq2R2 4 n 0r 4 n 0R(2)外殼接地時，外外表電荷q入地，外外表不帶電，內外表電荷仍為q .所以球殼電勢由內球q與內外表 q產生:q q 04 n 0 R24 n 0 R28-27在半徑為Ri的金屬球之外包有一層外半徑為R2的均勻電介質球殼,介質相對介電常數為r，金屬球帶電Q.試求：(1) 電介質內、外的場強；(2) 電介質層內、外的電勢;(3) 金屬球的電勢.解：利用有介質時的高斯定理：D

7、dS qSr(1)介質內(Rir R2)場強Qr E37匚內4 nQr ；4 n 0 rr3 '介質外(rR2)場強(2)介質外(rR2)電勢齊,E外4 nQr3 n ordr4 n or介質內(R, r R2)電勢UE內 d rE外 drrr亠(丄丄)亠4 n 0 r r R24 n 0 R2Q 1 r 1(r )4 n 0 r rR2(3) 金屬球的電勢R2U E內 dr E外 drR,內R2 外r2 QdrQdrR 4 n 0 rr2巳 4 n 0r2亠丄j4 n 0 r R1R28-28如題8-28圖所示，在平行板電容器的一半容積內充入相對介電常數為r的電介質.試求：在有電介質

8、局部和無電介質局部極板上自由電荷面密度 的比值.解：如題8-28圖所示，充滿電介質局部場強為E2 ,真空局部場強為 Ej，自由電荷面密度分別為2與1題8-29圖題8-28圖由D dSqo得D1 1 , D2 2而Di0 Ei , D20 r E2EiE2 Udd2D2riDi8-29 兩個同軸的圓柱面，長度均為I，半徑分別為 Ri和R2 R2 > Ri，且l»R2-Ri，兩柱面之間充有介電常數Q和-Q時，求:在半徑r處Ri v r v R2 =，厚度為dr,長為I的圓柱薄殼中任一點的電 場能量密度和整個薄殼中的電場能量；2電介質中的總電場能量； 圓柱形電容器的電容.解：取半徑為

9、r的同軸圓柱面S當(R r R2)時,(1)電場能量密度薄殼中dW wdQ2:D dS 2 nID(S)Q2TiQ28n2 r2l22n rdrlQ2dr4n rl電介質中總電場能量WVdW2r2 Q drR1 4n rlQn&4 n lR1電容：Q22CQ22W2n Iln (R2/R1)習題九9-8在真空中,有兩根互相平行的無限長直導線L!和L2，相距m,通有方向相反的電流,11 =20A, I 2 =10A,如題9-8圖所示.A , B兩點與導線在同平面內這兩點與導線L2的距離均為5.0cm 試求A , B兩點處的磁感應強度，以及磁感應強度為零的點的位置.r,-20A卡0.1B0

10、.05b7±=0Ar 1解：如題9-8圖所示,BA方向垂直紙面向里0 I 10 I 24 BA叮0 21.2 10 4 T2 (0.10.05)20.05設B 0在L2外側距離L2為r處那么°!匕02 (r 0.1)2 r解得r 0.1 mT9-11 氫原子處在基態時，它的電子可看作是在半徑a =0.52 x 1o-8cm的軌道上作勻速圓周運動，速率 v=2.2 x 108cm- s-1 求電子在軌道中心所產生的磁感應強 度和電子磁矩的值.解：電子在軌道中心產生的磁感應強度B。0ev aa如題9-11圖，方向垂直向里，大小為電子磁矩B。°ev4 a213 T大小為

11、Pm在圖中也是垂直向里,題 9-119-12 圖 9-12兩平行長直導線相距 d =40cm,每根導線載有電流 4=12 =20A，如題9-12圖所示求：(1)兩導線所在平面內與該兩導線等距的一點A處的磁感應強度； 通過圖中斜線所示面積的磁通量.(r1 =r3=10cm,l =25cm).解: (1) Bao1101 24 10 5 T 方向紙面向外(2)取面元dSI drr1 r22r1I12 (d r)ldr23 寧1n3 dn3 2.2 10 6Wb9-13 根很長的銅導線載有電流 面S ,如題9-13圖所示試計算通過10A,設電流均勻分布.在導線內部作一平 S平面的磁通量(沿導線長度方

12、向取長為1m的一段作計算)銅的磁導率解：由安培環路定律求距圓導線軸為r處的磁感應強度iBdlB2Ir20 R2題9-13 圖磁通量m(sB dS0 2°R2drWb嚴1069-15題9-15圖中所示是一根很長的長直圓管形導體的橫截面，內、外半徑 分別為a, b ,導體內載有沿軸線方向的電流I，且I均勻地分布在管的橫截強度的大小由下式給出:2 2oI r a2 (b2 a2) r解：取閉合回路I 2 r (a r b)iBdIB2r(r22ar°I(r2a2)2 r(b2a2)9-16 一根很長的同軸電纜，由一導體圓柱(半徑為a)和一同軸的導體圓管(內、外半徑分別為b, C)

13、構成，如題9-16圖所示使用時，電流 I從一導體流去，從另一導 體流回.設電流都是均勻地分布在導體的橫截面上，求：(1)導體圓柱內(r解:a ),(2)兩導體之間(a v r v b) , 3導體圓筒內(b < r v c)以及 纜外(r > c)各點處磁感應強度的大小LB dl01(1) r a B2 rIr2R2oIr a r b B2 r o I b r c B2 rr 2 2i rbo I 22c b題 9-16題 9-21c B2 r 0圖oI(c2 r2)2 r(c2 b2)題9-17圖9-21 邊長為1= 的正三角形線圈放在磁感應強度 B=1T的均勻磁場中, 圈平面與

14、磁場方向平行如題9-21圖所示，使線圈通以電流 I =10A,求： (1)線圈每邊所受的安培力；對00軸的磁力矩大小；(3)從所在位置轉到線圈平面與磁場垂直時磁力所作的功.解：(1)FbcIlB 0FabIlB方向紙面向外，大小為FabIlB sin1200.866 NFcaIlB方向紙面向里，大小Fea IlB sin1200.866 N PmISMPm B沿OO方向，大小為ISB IB 4.33 10 24磁力功 A1 ( 2 1)1 02l2B4V3 2All2B44.33 10 2 J9習題十10-1 一半徑r =10cm 的圓形回路放在 B =0.8T的均勻磁場中.回路平面與 Bdr

15、垂直.當回路半徑以恒定速率=80cm - s-1收縮時，求回路中感應電動勢的dt大小.解：回路磁通BS Bnr2感應電動勢大小d mdt(B nr2) dtdrB2 冗r 0.40 Vdt10-2 一對互相垂直的相等的半圓形導線構成回路，半徑R=5cm,如題10-2圖所示.均勻磁場B=80X 10-3T, B的方向與兩半圓的公共直徑 在Oz軸上 垂直，且與兩個半圓構成相等的角當磁場在5mS內均勻降為零時，求回路中的感應電動勢的大小及方向.解：取半圓形cba法向為i ,題10-2圖miB cos同理，半圓形adc法向為j ,那么m2nR2BcosB與i夾角和B與j夾角相等,dt45B nR2 c

16、os冗R 2 cosdBdt8.8910V方向與cbadc相反，即順時針方向.10-4如題10-4圖所示，載有電流I的長直導線附近，放一導體半圓環 MeN與 長直導線共面，且端點 MN的連線與長直導線垂直.半圓環的半徑為 b，環心O與導線相距a .設半圓環以速度 v平行導線平移.求半圓環內感應電動勢的大小和方向及MN兩端的電壓 UM Un解：作輔助線MN，那么在MeNM回路中，沿v方向運動時d m 0MeNMMeNMN又MNa bvBcos dla b所以MeN沿NeM方向，大小為0Ivlna bM點電勢高于N點電勢，即Um U n0Ivab-In2ab解：以向外磁通為正那么(1)mb aId

17、 aI0I ldr0I ldrb2冗rd2冗rlnd0l ln(2)線圈中的感應電動勢.b abd an d.d a_1計,b a dlIn b dt10-5如題10-5所示，在兩平行載流的無限長直導線的平面內有一矩形線圈.兩導線中的電流方向相反、大小相等，且電流以W的變化率增大，求:dt 任一時刻線圈內所通過的磁通量;形導線在磁場中以頻率f繞圖中半圓的直徑旋轉.0)r的一個半圓.令這半圓10-6如題10-6圖所示，用一根硬導線彎成半徑為整個電路的電阻為 R .求:2nr /B S B cos( tid m2B nr2sin( t 0)dt22B nrB nr2 2-m 2nf n r Bf2

18、221mn rBf10-7如題10-7圖所示，長直導線通以電流I =5A,在其右方放一長方形線圈，兩者共面.線圈長 b =0.06m，寬a =0.04m，線圈以速度 v=0.03m s-1垂直題10-7圖于直線平移遠離.求：d =0.05m時線圈中感應電動勢的大小和方向.解：AB、CD運動速度v方向與磁力線平行，不產生感應電動勢.DA產生電動勢BC產生電動勢回路中總感應電動勢方向沿順時針.A1D(VB) dlvBbvb20IdCI2B(VB) dlvb01B2n(ad)1 2olbvf11)1.6 10 82nd da10-8長度為I的金屬桿ab以速率v在導電軌道abed上平行移動.導軌處于均

19、勻磁場 B中，B的方向與回路的法線成 60°角如題10-8圖所示，B 的大小為B = ktk為正常.設t=0時桿位于ed處，求：任一時刻t導線回 路中感應電動勢的大小和方向.解：mB dS Blvt eos60 kt2lv- klvt22 2klvtdt即沿abed方向順時針方向.10-9 一矩形導線框以恒定的加速度向右穿過一均勻磁場區，B的方向如題10-9圖所示.取逆時針方向為電流正方向,畫出線框中電流與時間的關系 (設導線框剛進入磁場區時t=0).解：如圖逆時針為矩形導線框正向，那么進入時dt0,題10-9圖(b)在磁場中時d 0,0 ；dt10-9 圖(b) 所示.10-10導

20、線ab長為I，繞過O點的垂直軸以勻角速轉動，aO =-磁感應3強度B平行于轉軸，如圖10-10所示試求：1ab兩端的電勢差；2a,b兩端哪一點電勢高？解：在Ob上取r r dr 一小段那么同理2l2B 2Ob3rBdrl209Oal3rBdr1 2 B l018 12 ,21 ,2abaOOb(189)B l-B l6ab0即U aUb 0 b點電勢高.題10-11圖10-11如題10-11圖所示，長度為2b的金屬桿位于兩無限長直導線所在平面 的正中間，并以速度 v平行于兩直導線運動兩直導線通以大小相等、方向 相反的電流I，兩導線相距2a 試求：金屬桿兩端的電勢差及其方向.解：在金屬桿上取dr距左邊直導線為r，那么BAB A(v B) dlolv 1 廠(；12a-)dr rAB實際上感應電動勢方向從 BA，即從圖中從右向左，U ab10-12磁感應強度為B的均勻磁場充滿一半徑為R的圓柱形空間，一金屬桿放dB另一半在磁場外.當dt解:abdtabd 2dtB12ae12dBdt,3RdB4 dtnR2 dB12 dtdBdt在題10-12圖中位置，桿長為2 R ,其中一半位于磁場內、> 0時，