1、彈塑性力學大連大學建筑工程學院大連大學研究生課程大連大學研究生課程- -彈塑性力學彈塑性力學第三章 應變分析主要內容：1. 變形與應變概念2. 幾何方程3. 應變張量4.應變分量坐標變換5.主應變，最大剪應變6. 變形協調方程7. 偏應變張量，等效應力，主應力空間2022-3-152大連大學研究生課程大連大學研究生課程- -彈塑性力學彈塑性力學1 1、變形和應變的概念、變形和應變的概念形變形變 物體的形狀改變物體的形狀改變xyzO（1）線段長度的改變）線段長度的改變（2）兩線段間夾角的改變。）兩線段間夾角的改變。PBCAzxy用線（正）應變用線（正）應變度量度量用剪應變用剪應變度量度量（剪應變

2、（剪應變兩垂直線段夾角（直角）的改變量）兩垂直線段夾角（直角）的改變量）三個方向的線應變：三個方向的線應變：三個平面內的剪應變：三個平面內的剪應變：zyx,zxyzxy,(1) 一點形變的度量一點形變的度量應變的正負：應變的正負：線應變：線應變： 伸長時為正，縮短時為負；伸長時為正，縮短時為負；剪應變：剪應變： 以直角變小時為正，變大時為負；以直角變小時為正，變大時為負；2022-3-153大連大學研究生課程大連大學研究生課程- -彈塑性力學彈塑性力學(2) 一點應變狀態一點應變狀態xyzOPBCAzxyzzyzxyzyyxxzxyx其中其中xzzxyxxyzyyz應變無量綱；應變無量綱；4.

3、 位移位移 注：注：一點的位移一點的位移 矢量矢量S應變分量均為位置坐標的函數，即應變分量均為位置坐標的函數，即;),(zyxxx),(zyxxyxyxyzOwuvPP位移分量：位移分量：u x方向的位移方向的位移 分量；分量；v y方向的位移方向的位移 分量；分量；w z方向的位移方向的位移 分量。分量。量綱：量綱：m 或 mmS2022-3-154大連大學研究生課程大連大學研究生課程- -彈塑性力學彈塑性力學 研究在研究在oxy平面平面內投影的變形，內投影的變形，PABCABCPPA=dxPB=dyPC=dz2、幾何方程、幾何方程2022-3-155大連大學研究生課程大連大學研究生課程-

4、-彈塑性力學彈塑性力學一點的變形一點的變形線段的伸長或縮短；線段的伸長或縮短；線段間的相對轉動；線段間的相對轉動；xyOP考察考察P點鄰域內線段的變形：點鄰域內線段的變形：PAdxBdyABuvdxxvvdyyuudxxuudyyvvdyPB dxPA變形前變形前變形后變形后PABBPAuvdxxvvdxxuudyyuudyyvv注：這里略去了二階注：這里略去了二階以上高階無窮小量。以上高階無窮小量。2022-3-156大連大學研究生課程大連大學研究生課程- -彈塑性力學彈塑性力學xyOPPAdxBdyABuvdxxvvdyyuudxxuudyyvvPA的正應變：的正應變：dyvdyyvvyv

5、yPB的正應變：的正應變：dxudxxuuxuxP點的剪應變：點的剪應變：P點兩直角線段夾點兩直角線段夾角的變化角的變化yuxvxyyudyudyyuutantanxvdxvdxxvvxy2022-3-157大連大學研究生課程大連大學研究生課程- -彈塑性力學彈塑性力學xyOPPAdxBdyABuvdxxvvdyyuudxxuudyyvv整理得：整理得：yuxvyvxuxyyx幾何方程幾何方程2022-3-158大連大學研究生課程大連大學研究生課程- -彈塑性力學彈塑性力學同樣方法研究另外兩平面yoz和zox上投影線元的變形可得到類似的方程。綜合起來，得彈性力學幾何方程。也稱柯西(Cauchy

6、)方程xyzxyyxyzzyzxxzuxvywzvuxywvyzwuxz 幾何方程幾何方程2022-3-159大連大學研究生課程大連大學研究生課程- -彈塑性力學彈塑性力學（1）幾何方程反映任一點的位移幾何方程反映任一點的位移(3個分量個分量)與該點應變與該點應變(6個分量個分量)間的關系，是彈塑性力學的基本方程之一。間的關系，是彈塑性力學的基本方程之一。（2）當當 位移分量位移分量u、v 、 w已知，則已知，則6個應變分量可完全確定；個應變分量可完全確定；反之，已知反之，已知6個應變分量，不能確定位移分量。個應變分量，不能確定位移分量。（積分需要確定積分常數，由邊界條件決定。）積分需要確定積

7、分常數，由邊界條件決定。）說明：說明：（3）幾何方程是純幾何變形分析結果，不涉及產生運動的原因幾何方程是純幾何變形分析結果，不涉及產生運動的原因和材料的物理性能，對一切連續介質力學問題都適用。和材料的物理性能，對一切連續介質力學問題都適用。2022-3-1510大連大學研究生課程大連大學研究生課程- -彈塑性力學彈塑性力學3、轉動張量一一. 單元的轉動單元的轉動單元單元e不變形時，由相鄰單元變形引起單元不變形時，由相鄰單元變形引起單元e繞繞oz軸的轉動軸的轉動（方位變化）（方位變化）ryxxyxy)(21xyyxr 注：注： 為負為負xy 單元單元e的剪應變的剪應變0 xyyxxy 2022-

8、3-1511大連大學研究生課程大連大學研究生課程- -彈塑性力學彈塑性力學單元單元e有變形時，由相鄰單元的變形引起的單元有變形時，由相鄰單元的變形引起的單元e的方位變化的方位變化)2(21xyyxr r xy+ yxxyr yx xy)(21)(214)2(21yuxvrxyyxyxxyyx 2022-3-1512大連大學研究生課程大連大學研究生課程- -彈塑性力學彈塑性力學上式為繞上式為繞oz軸的轉動，令軸的轉動，令)(21yuxvrrz2 yuxvz 同理，繞同理，繞ox,oy軸的轉動為：軸的轉動為：zvywx ywzuy 稱為轉動分量稱為轉動分量zyx ,2022-3-1513大連大學研

9、究生課程大連大學研究生課程- -彈塑性力學彈塑性力學xyzxyyxyzzyzxxzuxvywzvuxywvyzwuxz 幾何方程幾何方程yuxvz zvywx ywzuy yuzxy2 )(21zxyyu 由幾何方程和轉動分量可求出三個由幾何方程和轉動分量可求出三個位移分量位移分量u,v,w的的9個偏導數。個偏導數。2022-3-1514大連大學研究生課程大連大學研究生課程- -彈塑性力學彈塑性力學021212102121210212121212121)(21)(21)(21)(21)(21)(21xyxzyzzyzxzyzyxyxzxyxzxyzyxzxyzyzxyyxzzxyxzwywxw

10、zvyvxvzuyuxu ijijjiu ,簡記為簡記為對稱部分，對稱部分，ij 反對稱部分，反對稱部分，ij jijixuu,2022-3-1515大連大學研究生課程大連大學研究生課程- -彈塑性力學彈塑性力學 為為 對作標的一階偏導數，為二階張量，稱為對作標的一階偏導數，為二階張量，稱為相對位移張量。相對位移張量。ijijjiu ,jiu,iu)(21,ijjiijuu )(21,ijjiijuu ij ij 稱為應變張量稱為應變張量稱為轉動張量稱為轉動張量2022-3-1516大連大學研究生課程大連大學研究生課程- -彈塑性力學彈塑性力學相鄰兩點P，Q間的位移變化量（即相對位移）dzdy

11、dxdzdydxwvuwvuxyxzyzzyzxzyzyxyxzxyx021212102121210212121212121/ jijjijjjiiiidxdxdxuuuu ,剛體的平動部分。線元PQ自身變形部分。繞P點的剛性轉動部分，由相鄰單元的變形引起。Q點的位移P點的位移jjiiidxuuu,2022-3-1517大連大學研究生課程大連大學研究生課程- -彈塑性力學彈塑性力學jjiiidxuuu,dzzwdyywdxxwwwdzzvdyyvdxxvvvdzzudyyudxxuuu展開為2022-3-1518大連大學研究生課程大連大學研究生課程- -彈塑性力學彈塑性力學4、應變張量性質一、

12、應變張量的坐標變換一、應變張量的坐標變換 112211221122xxyxzxyyyzxzyzz舊坐標下應變張量舊坐標下應變張量新坐標下應變張量新坐標下應變張量 112211221122xx yx zx yyy zx zy zz 2022-3-1519大連大學研究生課程大連大學研究生課程- -彈塑性力學彈塑性力學新坐標軸在舊坐標新坐標軸在舊坐標下的方向余弦下的方向余弦 111222333lmnlmnlmn應變張量的坐標變換與應力變換相似應變張量的坐標變換與應力變換相似 T 2022-3-1520大連大學研究生課程大連大學研究生課程- -彈塑性力學彈塑性力學二、主應變，應變張量不變量二、主應變，

13、應變張量不變量一點的應變狀態由一點的應變狀態由6個應變分量確定，但應變分個應變分量確定，但應變分量的數值與選定的坐標系有關，即一點的應變分量的數值與選定的坐標系有關，即一點的應變分量隨坐標系的變換而變化。量隨坐標系的變換而變化。問問：是否存在一個坐標系，在該坐標系下，只有：是否存在一個坐標系，在該坐標系下，只有正應變，而剪應變為零。即沿該坐標系軸方向的正應變，而剪應變為零。即沿該坐標系軸方向的3個正交線元只有相對伸長，個正交線元只有相對伸長， 如存在上述性質坐標系，則將該坐標系的如存在上述性質坐標系，則將該坐標系的3個軸個軸方向稱為應變主方向，沿該坐標系軸方向的方向稱為應變主方向，沿該坐標系軸

14、方向的3個正個正交線元的相對伸長稱為主應變交線元的相對伸長稱為主應變2022-3-1521大連大學研究生課程大連大學研究生課程- -彈塑性力學彈塑性力學和主應力計算相同11()02211()02211()022xxyxzxyyyzxzyzzlmnlmnlmn2022-3-1522大連大學研究生課程大連大學研究生課程- -彈塑性力學彈塑性力學321230DDD式中式中1xyzD2222111444111222111222xyyzzxxyyzzxxxyyyzzzxxyyyzzzxxD 3112211221122xxyxzxyyyzxzyzzD特征方程特征方程2022-3-1523大連大學研究生課程

15、大連大學研究生課程- -彈塑性力學彈塑性力學 稱為稱為 應變張量的三個不變量。應變張量的三個不變量。由上式可求出應變張量的三個主應變由上式可求出應變張量的三個主應變 ，且三個主應變方向相互正交。且三個主應變方向相互正交。對各向同性體，主應力方向和主應變方向重對各向同性體，主應力方向和主應變方向重合！合！123,D D D321, 其中第一應變不變量是體積應變！其中第一應變不變量是體積應變！)(31max 最大剪應變為：最大剪應變為：與應力張量與應力張量 分解相似，應變張量分解相似，應變張量 也可分解也可分解為應變球形張量和應變偏量兩個張量之和，為應變球形張量和應變偏量兩個張量之和，ij ij

16、應變球形張量只代表體積改變部分，應變球形張量只代表體積改變部分，應變偏量代表形狀改變部分，應變偏量代表形狀改變部分，應變偏量在塑性力學中很重要，應變偏量在塑性力學中很重要，2022-3-1524大連大學研究生課程大連大學研究生課程- -彈塑性力學彈塑性力學5、變形協調方程（連續性方程）應變分量與位移分量之間的關系由幾何方程表示；應變分量與位移分量之間的關系由幾何方程表示；已知位移分量已知位移分量,可通過求偏導數得到可通過求偏導數得到6個應變分量；這是唯個應變分量；這是唯一確定的。一確定的。反之反之,已知應變分量求位移分量已知應變分量求位移分量,需通過積分運算。需通過積分運算。-從數學上看，從數

17、學上看，6個方程求個方程求3個未知量，如有解，則個未知量，如有解，則6個個方程是相關的，即應變之間必須滿足某種關系才有可能得方程是相關的，即應變之間必須滿足某種關系才有可能得到唯一的位移解。到唯一的位移解。-從物理上看，為保證變形后物體連續和單值，應變從物理上看，為保證變形后物體連續和單值，應變間必須滿足一定關系。稱為相容性。間必須滿足一定關系。稱為相容性。 表示應變分量間的這種關系的方程稱為變形連續性方表示應變分量間的這種關系的方程稱為變形連續性方程，也稱為變形相容方程或變形協調方程。程，也稱為變形相容方程或變形協調方程。2022-3-1525大連大學研究生課程大連大學研究生課程- -彈塑性

18、力學彈塑性力學2322yxuyxxyzxyyxyzzyzxxzuxvywzvuxywvyzwuxz 第1式對y求兩階偏導第2式對x求兩階偏導2322xyuxy兩式相加：23232222yxuyxuxyyxxvyuyx2將第4式代入得：yxxyxyyx222222022-3-1526大連大學研究生課程大連大學研究生課程- -彈塑性力學彈塑性力學同理：xzzxzxxz22222zyyzyzzy222222022-3-1527大連大學研究生課程大連大學研究生課程- -彈塑性力學彈塑性力學xyzxyyxyzzyzxxzuxvywzvuxywvyzwuxz 后三式分別對z、y 、x求偏導得：xzvyzu

19、zxy22yxwzxvxyz22zyuxywyzx22xuzyzyxxxyzxyz222022-3-1528大連大學研究生課程大連大學研究生課程- -彈塑性力學彈塑性力學yvxzzyxyxyzxyz22zwyxzyxzxyzxyz22 同理：2022-3-1529大連大學研究生課程大連大學研究生課程- -彈塑性力學彈塑性力學yxxyxyyx22222xzzxzxxz22222zyyzyzzy22222xuzyzyxxxyzxyz22yvxzzyxyxyzxyz22zwyxzyxzxyzxyz22連續性方程連續性方程2022-3-1530大連大學研究生課程大連大學研究生課程- -彈塑性力學彈塑性

20、力學l連續性方程是單連體小變形連續的必要和充分條件。l如應變分量滿足連續性方程，可保證位移分量存在。2022-3-1531大連大學研究生課程大連大學研究生課程- -彈塑性力學彈塑性力學5、應變率和應變增量、應變率和應變增量2022-3-1532大連大學研究生課程大連大學研究生課程- -彈塑性力學彈塑性力學6 6、位移邊界條件、位移邊界條件在位移邊界問題中，位移分量在邊界上還應當滿足位移邊在位移邊界問題中，位移分量在邊界上還應當滿足位移邊界條件界條件uuvvww在給定位移的表面在給定位移的表面Su上上注：在給定某方向的面力后，就不能再給定該方向的位移；注：在給定某方向的面力后，就不能再給定該方向

21、的位移；反之亦然。但可某些方向給定位移，其它方向給定面力，即反之亦然。但可某些方向給定位移，其它方向給定面力，即混合邊界條件。混合邊界條件。2022-3-1533大連大學研究生課程大連大學研究生課程- -彈塑性力學彈塑性力學7、彈性力學參量的指標表示法l前幾節中給出的力分量、應力分量、應變分量和位移分量，其表示方法引用的是記號法；這是一種公認的彈性力學參量表示方法。l近年來，數學理論中的指標表示法開始出現在力學文獻及教科書中。l指標表示法書寫簡潔，便于力學問題的理論推導。2022-3-1534大連大學研究生課程大連大學研究生課程- -彈塑性力學彈塑性力學一.指標表示法1. 指標符號 具有相同性

22、質的一組物理量，可以用一個帶下標的字母表示：如：位移分量如：位移分量u、v 、w表示為表示為u1 、u2、u 3，縮寫為，縮寫為ui（i=1,2,3）坐標坐標x、y、z表示為表示為x1、 x2、 x3 ，縮寫為，縮寫為xi（i=1,2,3）。）。單位矢量單位矢量i、j、k表示表示ei（i=1,2,3）。）。2022-3-1535大連大學研究生課程大連大學研究生課程- -彈塑性力學彈塑性力學應力分量：)3 , 2 , 1; 3 , 2 , 1(jiijzzzyzxyzyyyxxzxyxx可表示為：333231232221131211縮寫為：同理，應變分量可表示為：)3 , 2 , 1; 3 ,

23、2 , 1(jiijxy12xy令2022-3-1536大連大學研究生課程大連大學研究生課程- -彈塑性力學彈塑性力學向量 表示為a31332211iiieaeaeaeaa三階線性方程組333323122322211131211PzayaxaPzayaxaPzayaxa)3 , 2 , 1(31iPxaijjij可表示為縮寫為)3 , 2 , 1(332211iPxaxaxaiiii2022-3-1537大連大學研究生課程大連大學研究生課程- -彈塑性力學彈塑性力學2.愛因斯坦求和約定在表達式的某項中，某指標重復出現一次，則表示要把該項在該指標的取值范圍內遍歷求和。重復指標稱為啞指標啞指標（簡

24、稱啞標啞標）)3 , 2 , 1( ieaaii例)3 , 2 , 1; 3 , 2 , 1(jiPxaijij求和指標j求和指標i非求和指標稱為自由指標333323213123232221211313212111PxaxaxaPxaxaxaPxaxaxa332211eaeaeaa2022-3-1538大連大學研究生課程大連大學研究生課程- -彈塑性力學彈塑性力學l（1）對于重復次數大于1的指標，求和約定無效。例：l（2）啞標的有效范圍僅限于本項。l（3）多重求和可采用不同的啞標表示。l例：l（4）啞標可局部地成對替換。l（5）自由指標必須整體換名。l（6）當自由指標恰好在同一項中重復出現一次，為避免混淆，應聲明對該指標不求和。例iiiiiiicbacbacbacbacba313332221113131ijjiijjiijxxaxxa)( 不求和ibaCiiii2022-3-1539說明：大連大學研究生課程大連大學研究生課程- -彈塑性力學彈塑性力學3.求導數的簡記方法求導數的簡記方法微分算符簡記法 i