1、 目錄 上頁 下頁 返回 結束5.1 非線性方程研究的例子與概念非線性方程研究的例子與概念 5.1.1 例子例子5.1.3 基本定義基本定義5.1.2 自治微分方程與非自治微分方程、自治微分方程與非自治微分方程、動力系統動力系統 目錄 上頁 下頁 返回 結束例例 討論當時下面方程組解的性態討論當時下面方程組解的性態.4444()()dxyx xydtdyxy xydt （5.1.1） 目錄 上頁 下頁 返回 結束解解 由于由于(5.1.1)是一個非線性方程組，無法求出其是一個非線性方程組，無法求出其故我們故我們用定性分析法用定性分析法來討論來討論(5.1.1)當當t 時解的性態時解的性態.將將

2、(5.1.1)滿足滿足00(0), (0)xxyy的解記為的解記為0000( ,),( ,)xx t xyyy t xy在時刻在時刻 ，該解在平面上的點為：，該解在平面上的點為：t0000( ( ,), ( ,)P x t xyy t xy 目錄 上頁 下頁 返回 結束點隨著時間點隨著時間t而變化，而變化， 點到坐標原點點到坐標原點PP(0,0)O220000( )( ,)( ,)R tx t xyy t xy由于由于0000( ,)( )2 ( )2 ( ,)dx t xydR tR tx t xydtdt0000( ,)2 ( ,)dy t xyy t xydt利用解滿足的方程利用解滿足的

3、方程(5.1.1)得得440000( )( )( ,)( ,)0dR tR tx t xyy t xydt 目錄 上頁 下頁 返回 結束于是，于是， 隨時間單調減少，隨時間單調減少，再利用反證法可以再利用反證法可以( )R t得到得到 。我們得結論是。我們得結論是lim( )0tR t0000lim ( ,)0, lim( ,)0ttx t xyy t xy即設有求解方程組即設有求解方程組(5.1.1)，我們也成功地解決了，我們也成功地解決了解的性態分析問題。解的性態分析問題。本章就是要給出通過方程的形式來分析解的本章就是要給出通過方程的形式來分析解的法。接下來先給出一些基本概念。法。接下來先

4、給出一些基本概念。 目錄 上頁 下頁 返回 結束我們考慮一般的方程我們考慮一般的方程 :1112221212( ;,.,)( ;,.,).( ;,.,)nnnnndxf t x xxdtdxf t x xxdtdxf t x xxdt（5.1.2）方程組（方程組（5.1.2）可以記為向量形式）可以記為向量形式5.1.2 自治微分方程與非自治微分方程自治微分方程與非自治微分方程, ,動力系統動力系統),(xtFdtdx（5.1.3） 目錄 上頁 下頁 返回 結束其中其中:1121221212( ;,.,)( ;,.,),( ,).( ;,.,)nnnnnf t x xxxxf t x xxXF

5、t Xxf t x xx如果還有初始值條件如果還有初始值條件 :00( )X tX102000.nxxXx(5.1.4) 目錄 上頁 下頁 返回 結束(5.1.3)和和(5.1.4)就是一個初始值問題。就是一個初始值問題。我們稱向量函數為初始值問題我們稱向量函數為初始值問題(5.1.3)，(5.1.4)的的解。如果它滿足解。如果它滿足:0000( ; ,)( ,( ; ,)dX t tXF t X t tXdt和和0000;,X t tXX關于初始值問題關于初始值問題(5.1.3)，(5.1.4)也有解的存在惟也有解的存在惟一性定理一性定理 目錄 上頁 下頁 返回 結束微分方程微分方程(5.1

6、.3)在在 維空間維空間1n112;,.,nnRt x xx中確定了一個向量場，而滿足中確定了一個向量場，而滿足(5.1.3),(5.1.4)的解的解0( ; ,)X t tX就是向量場中的一條積分曲線就是向量場中的一條積分曲線。當當(5.1.3)中的中的 函數滿足解的存在惟一性條件函數滿足解的存在惟一性條件F時，向量場中的任一點只有一條積分曲線經過。時，向量場中的任一點只有一條積分曲線經過。如果把如果把t理解為時間參量而只考慮空間變量理解為時間參量而只考慮空間變量 目錄 上頁 下頁 返回 結束12,.,nx xx所在的空間所在的空間,即即 構成的構成的12,.,nx xx空間空間 稱之為方程

7、組稱之為方程組(5.1.3)的的相空間相空間,積分曲線在積分曲線在nR相空間的投影曲線稱為方程組的相空間的投影曲線稱為方程組的軌線軌線。一般地方程組一般地方程組(5.1.3)中的函數中的函數 是與是與 相關的相關的,Ft這時的這時的(5.1.3)就稱為就稱為非自治微分方程組非自治微分方程組,如果如果 函函F函數中不顯含函數中不顯含 ,即即t()dXF Xdt(5.1.5) 目錄 上頁 下頁 返回 結束(5.1.5)就稱為就稱為自治微分方程組自治微分方程組。可以從運動的觀點來解釋方程可以從運動的觀點來解釋方程(5.1.3)或或(5.1.5),即把即把 理解為時間理解為時間(不管它在實際問題中是否

8、確為不管它在實際問題中是否確為t時間時間), 理解為維空間理解為維空間 中點的坐標中點的坐標.因而在任因而在任XnR意時刻意時刻 ,(5.1.3)在空間中定義了一個速度場在空間中定義了一個速度場t12( ;,.,)inf t x xx即為即為 時刻點時刻點t12(,.,)nX xxx 目錄 上頁 下頁 返回 結束處的第處的第 個速度分量個速度分量,方程的解方程的解i00( ; ,)XX t tX即給出了質點的運動規律即給出了質點的運動規律.因而稱之為一個因而稱之為一個運動運動。在以上的意義下在以上的意義下,我們稱方程我們稱方程(5.1.3)為一個動力系為一個動力系統。相應的統。相應的(5.1.

9、3)稱為稱為非自治系統，非自治系統，(5.1.5)稱為稱為自治系統自治系統。 目錄 上頁 下頁 返回 結束5.1.3 基本定義基本定義一般情況下方程一般情況下方程(5.1.3)是無法用初等積分的方是無法用初等積分的方法求解的，這當然為研究帶了不便。但正因為這樣法求解的，這當然為研究帶了不便。但正因為這樣才使得非線性問題的研究更加豐富多彩。在許多應才使得非線性問題的研究更加豐富多彩。在許多應場合沒必要求出其精確解的具體形式。我們更感興場合沒必要求出其精確解的具體形式。我們更感興趣的是方程趣的是方程(5.1.3)的解的定性性態，在應用中比較的解的定性性態，在應用中比較重要的問題包括重要的問題包括:

10、 目錄 上頁 下頁 返回 結束(1)是否存在常數值是否存在常數值123.xxXx( )X tX使得使得 是是(5.1.3)的解的解.(2)設設 是是(5.1.3)的解的解, 是是(5.1.3)的另的另一個( )X t( )Y t解，解， 與與 很接近時，對于一切很接近時，對于一切 是否有是否有(0)Y(0)Xt( )X t( )Y t有有 與與 都很接近都很接近?這個問題就是后邊涉及到的穩定性問題。這個問題就是后邊涉及到的穩定性問題。 目錄 上頁 下頁 返回 結束(4)當當 時時(5.1.3)任一解任一解 有何趨向？有何趨向？t ( )X t它是否趨向于常數解或周期解它是否趨向于常數解或周期解

11、?本章將著重解決這些問題，下邊是幾個基本定義本章將著重解決這些問題，下邊是幾個基本定義:定義定義5.1 系統（系統（5.1.3）的常數解）的常數解 稱為稱為XX系統的平衡點系統的平衡點(奇點或駐點奇點或駐點)，常數解，常數解 滿足：滿足：X( ,)0F t X它是否趨向于常數解或周期解。它是否趨向于常數解或周期解。()( )(0)X tTX t T(3) (5.1.3)是否有解是否有解 ，滿足，滿足( )X t 目錄 上頁 下頁 返回 結束例例 求下列系統的平衡點：求下列系統的平衡點：1232121dxxdtdxxxdt 2312100 xxx解解 由定義，令由定義，令解得解得121,1xx

12、所以方程組有惟一的平衡點。所以方程組有惟一的平衡點。 目錄 上頁 下頁 返回 結束如果系統如果系統(5.1.3)的某個解的某個解 滿足對一切滿足對一切( )XX ttR均有()( )X tTX t其中其中 為一個常數，則稱此解為一個常數，則稱此解 為(5.1.3)0T ( )X t的一個周期解。的一個周期解。周期解定義周期解定義 目錄 上頁 下頁 返回 結束連續，關于連續，關于 滿足滿足李普希茲條件李普希茲條件。且。且 (5.1.3)tRX設設(5.1.3)的右端函數的右端函數 ，對于，對于 和和( ,)F t XnXGR有一個解定義于及有一個解定義于及( )Xt 0tt 00( )t ( )

13、0, 如果對于任意的如果對于任意的0,存在一個存在一個使得對于使得對于(5.1.3)的任一滿足的任一滿足 的解的解00( )X tX00( ; ,),X t tX只要：只要：下邊我們給出系統下邊我們給出系統(5.1.3)解的穩定性定義。解的穩定性定義。 目錄 上頁 下頁 返回 結束( )Xt 是是李雅普諾夫意義下穩定的李雅普諾夫意義下穩定的，簡稱，簡稱穩定的穩定的。00,X(5.1.6)就有就有00( ; ,)( ),X t tXt(5.1.7)對于所有的對于所有的 成立，則稱方程（成立，則稱方程（5.1.3）的解）的解:0tt如果如果(5.1.3)的解的解 不是穩定的，則稱它是不是穩定的，則

14、稱它是不不( )Xt 穩定的穩定的。 目錄 上頁 下頁 返回 結束(5.1.3)零解穩定的幾何意義是對任意給定的半零解穩定的幾何意義是對任意給定的半徑總能在中徑總能在中 找到一個以原點為中心、半徑為找到一個以原點為中心、半徑為nR的開球的開球 ，使得，使得(5.1.3)在時刻從出發的解曲線當在時刻從出發的解曲線當B時總停留在半徑為時總停留在半徑為 的開球的開球 內。內。B 目錄 上頁 下頁 返回 結束如果方程如果方程(5.1.3)的解的解 是穩定的，而且是穩定的，而且( )Xt 存在一個常數存在一個常數 ，使對于一切滿足，使對于一切滿足00000X(5.1.8)的解的解 ,都有都有00( ;

15、,)X t tX00lim( ; ,)( )0tX t tXt(5.1.9)則稱解則稱解 是是漸近穩定的漸近穩定的。( )Xt 如果如果(5.1.3)的解的解 是漸近穩定的是漸近穩定的,且存在且存在( )Xt 區域區域 ，只要，只要 ，就有，就有0D00XD 目錄 上頁 下頁 返回 結束穩定域或吸收域穩定域或吸收域。00lim( ; ,)( )0tX t tXt則稱區域則稱區域 為為(5.1.3)的解的解 的的漸近漸近0D( )Xt 如果解如果解 的漸近穩定域是全空間，則的漸近穩定域是全空間，則( )Xt 稱此解是稱此解是全局漸近穩定的全局漸近穩定的。 目錄 上頁 下頁 返回 結束關于穩定性還

16、有幾點要注意的關于穩定性還有幾點要注意的:注注1 上邊的定義中是針對上邊的定義中是針對 或或 ，0ttt 以有時把上邊定義中的穩定性稱為正向穩定的（不以有時把上邊定義中的穩定性稱為正向穩定的（不穩定的，漸近穩定的等），如果把穩定的，漸近穩定的等），如果把 的趨向改為的趨向改為t0ttt 或或 ，相應地可定義負向穩定的，相應地可定義負向穩定的(不穩定的，漸近穩定的等不穩定的，漸近穩定的等)，以后如無特別聲明我，以后如無特別聲明我們所說的穩定性均指正向穩定性。們所說的穩定性均指正向穩定性。 目錄 上頁 下頁 返回 結束注注2 當定義中的當定義中的 為系統的奇點時為系統的奇點時( ) tX即可得出奇點的穩定性。即可得出奇點的穩定性。注注3 由于在研究（由于在研究（5.1.3）的某一特解）的某一特解( )Xt 的穩定性時，總可以用變換的穩定性時，總可以用變換( )( )( )Y tX tt(5.1.10)將將(5.1.3)化為化為( , )dYG t Ydt(5