1、市中考壓軸題（二次函數）精選【例一】如圖，拋物線y=ax2+c（a0）經過C（2，0），D（0，1）兩點，并與直線y=kx交于A、B兩點，直線l過點E（0，2）且平行于x軸，過A、B兩點分別作直線l的垂線，垂足分別為點M、N（1）求此拋物線的解析式；（2）求證：AO=AM；（3）探究：當k=0時，直線y=kx與x軸重合，求出此時的值；試說明無論k取何值，的值都等于同一個常數考點：二次函數綜合題3718684專題：代數幾何綜合題分析：（1）把點C、D的坐標代入拋物線解析式求出a、c，即可得解；（2）根據拋物線解析式設出點A的坐標，然后求出AO、AM的長，即可得證；（3）k=0時，求出AM、BN的

2、長，然后代入+計算即可得解；設點A（x1，x121），B（x2，x221），然后表示出+，再聯立拋物線與直線解析式，消掉未知數y得到關于x的一元二次方程，利用根與系數的關系表示出x1+x2，x12，并求出x12+x22，x12x22，然后代入進行計算即可得解解答：（1）解：拋物線y=ax2+c（a0）經過C（2，0），D（0，1），解得，所以，拋物線的解析式為y=x21；（2）證明：設點A的坐標為（m，m21），則AO=m2+1，直線l過點E（0，2）且平行于x軸，點M的縱坐標為2，AM=m21（2）=m2+1，AO=AM；（3）解：k=0時，直線y=kx與x軸重合，點A、B在x軸上，AM=B

3、N=0（2）=2，+=+=1；k取任何值時，設點A（x1，x121），B（x2，x221），則+=+=，聯立，消掉y得，x24kx4=0，由根與系數的關系得，x1+x2=4k，x1x2=4，所以，x12+x22=（x1+x2）22x1x2=16k2+8，x12x22=16，+=1，無論k取何值，+的值都等于同一個常數1點評：本題是二次函數綜合題型，主要考查了待定系數法求二次函數解析式，勾股定理以及點到直線的距離，根與系數的關系，根據拋物線上點的坐標特征設出點A、B的坐標，然后用含有k的式子表示出+是解題的關鍵，也是本題的難點，計算量較大，要認真仔細【例二】. 如圖，在平面直角坐標系xOy中，O

4、AB的頂點的坐標為（10，0），頂點B在第一象限，且=3，sinOAB=.（1）若點C是點B關于x軸的對稱點，求經過O、C、A三點的拋物線的函數表達式；（2）在(1)中，拋物線上是否存在一點P，使以P、O、C、A為頂點的四邊形為梯形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；（3）若將點O、點A分別變換為點Q（ -2k ,0）、點R（5k，0）（k>1的常數），設過Q、R兩點，且以QR的垂直平分線為對稱軸的拋物線與y軸的交點為N，其頂點為M，記QNM的面積為，QNR的面積，求的值.解：（1）如圖，過點作于點在中，yxFP3BECDAP2P1O，又由勾股定理，得點在第一象限，點的坐標為

5、點關于軸對稱的點的坐標為2分設經過三點的拋物線的函數表達式為由經過三點的拋物線的函數表達式為2分（2）假設在（1）中的拋物線上存在點，使以為頂點的四邊形為梯形點不是拋物線的頂點，過點作直線的平行線與拋物線交于點則直線的函數表達式為對于，令或而點，在四邊形中，顯然點是符合要求的點1分若設直線的函數表達式為將點代入，得直線的函數表達式為于是可設直線的函數表達式為將點代入，得直線的函數表達式為由，即而點，過點作軸于點，則在中，由勾股定理，得而在四邊形中，但點是符合要求的點1分若設直線的函數表達式為將點代入，得直線的函數表達式為直線的函數表達式為由，即而點，過點作軸于點，則在中，由勾股定理，得而在四邊

6、形中，但點是符合要求的點1分綜上可知，在（1）中的拋物線上存在點，使以為頂點的四邊形為梯形1分（3）由題知，拋物線的開口可能向上，也可能向下yxQOGRMN當拋物線開口向上時，則此拋物線與軸的負半軸交于點可設拋物線的函數表達式為即如圖，過點作軸于點，2分當拋物線開口向下時，則此拋物線與軸的正半軸交于點同理，可得1分綜上可知，的值為【例三】、 如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數 (為常數)的圖象與x軸交于點A(，0)，與y軸交于點C以直線x=1為對稱軸的拋物線 ( 為常數，且0)經過A，C兩點，并與x軸的正半軸交于點B （1）求的值及拋物線的函數表達式； （2）設E是y軸右側拋物線上一點，

7、過點E作直線AC的平行線交x軸于點F是否存在這樣的點E，使得以A，C，E，F為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點E的坐標及相應的平行四邊形的面積；若不存在，請說明理由； （3）若P是拋物線對稱軸上使ACP的周長取得最小值的點，過點P任意作一條與y軸不平行的直線交拋物線于 ，兩點，試探究 是否為定值，并寫出探究過程考點：二次函數綜合題。解答：解：（1）經過點（3，0），0=+m，解得m=，直線解析式為，C（0，）拋物線y=ax2+bx+c對稱軸為x=1，且與x軸交于A（3，0），另一交點為B（5，0），設拋物線解析式為y=a（x+3）（x5），拋物線經過C（0，），=a3（5），解得a=，

8、拋物線解析式為y=x2+x+；（2）假設存在點E使得以A、C、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形，則ACEF且AC=EF如答圖1，（i）當點E在點E位置時，過點E作EGx軸于點G，ACEF，CAO=EFG，又，CAOEFG，EG=CO=，即yE=，=xE2+xE+，解得xE=2（xE=0與C點重合，舍去），E（2，），SACEF=；（ii）當點E在點E位置時，過點E作EGx軸于點G，同理可求得E（+1，），SACEF=（3）要使ACP的周長最小，只需AP+CP最小即可如答圖2，連接BC交x=1于P點，因為點A、B關于x=1對稱，根據軸對稱性質以及兩點之間線段最短，可知此時AP+CP最?。ˋP+C

9、P最小值為線段BC的長度）B（5，0），C（0，），直線BC解析式為y=x+，xP=1，yP=3，即P（1，3）令經過點P（1，3）的直線為y=kx+3k，y=kx+3k，y=x2+x+，聯立化簡得：x2+（4k2）x4k3=0，x1+x2=24k，x1x2=4k3y1=kx1+3k，y2=kx2+3k，y1y2=k（x1x2）根據兩點間距離公式得到：M1M2=M1M2=4（1+k2）又M1P=；同理M2P=M1PM2P=（1+k2）=（1+k2）=（1+k2）=4（1+k2）M1PM2P=M1M2，=1為定值【例四】（2013）在平面直角坐標系中，已知拋物線y=x2+bx+c（b，c為常數）

10、的頂點為P，等腰直角三角形ABC的頂點A的坐標為（0，1），C的坐標為（4，3），直角頂點B在第四象限（1）如圖，若該拋物線過A，B兩點，求該拋物線的函數表達式；（2）平移（1）中的拋物線，使頂點P在直線AC上滑動，且與AC交于另一點Q（i）若點M在直線AC下方，且為平移前（1）中的拋物線上的點，當以M、P、Q三點為頂點的三角形是等腰直角三角形時，求出所有符合條件的點M的坐標；（ii）取BC的中點N，連接NP，BQ試探究是否存在最大值？若存在，求出該最大值；若不存在，請說明理由考點：二次函數綜合題分析：（1）先求出點B的坐標，然后利用待定系數法求出拋物線的函數表達式；（2）i）首先求出直線AC

11、的解析式和線段PQ的長度，作為后續計算的基礎若MPQ為等腰直角三角形，則可分為以下兩種情況：當PQ為直角邊時：點M到PQ的距離為此時，將直線AC向右平移4個單位后所得直線（y=x5）與拋物線的交點，即為所求之M點；當PQ為斜邊時：點M到PQ的距離為此時，將直線AC向右平移2個單位后所得直線（y=x3）與拋物線的交點，即為所求之M點ii）由（i）可知，PQ=為定值，因此當NP+BQ取最小值時，有最大值如答圖2所示，作點B關于直線AC的對稱點B，由分析可知，當B、Q、F（AB中點）三點共線時，NP+BQ最小，最小值為線段BF的長度解答：解：（1）由題意，得點B的坐標為（4，1）拋物線過A（0，1）

12、，B（4，1）兩點，解得：b=2，c=1，拋物線的函數表達式為：y=x2+2x1（2）i）A（0，1），C（4，3），直線AC的解析式為：y=x1設平移前拋物線的頂點為P0，則由（1）可得P0的坐標為（2，1），且P0在直線AC上點P在直線AC上滑動，可設P的坐標為（m，m1），則平移后拋物線的函數表達式為：y=（xm）2+m1解方程組：，解得，P（m，m1），Q（m2，m3）過點P作PEx軸，過點Q作QEy軸，則PE=m（m2）=2，QE=（m1）（m3）=2PQ=AP0若MPQ為等腰直角三角形，則可分為以下兩種情況：當PQ為直角邊時：點M到PQ的距離為（即為PQ的長）由A（0，1），B（4

13、，1），P0（2，1）可知，ABP0為等腰直角三角形，且BP0AC，BP0=如答圖1，過點B作直線l1AC，交拋物線y=x2+2x1于點M，則M為符合條件的點可設直線l1的解析式為：y=x+b1，B（4，1），1=4+b1，解得b1=5，直線l1的解析式為：y=x5解方程組，得：，M1（4，1），M2（2，7）當PQ為斜邊時：MP=MQ=2，可求得點M到PQ的距離為如答圖1，取AB的中點F，則點F的坐標為（2，1）由A（0，1），F（2，1），P0（2，1）可知：AFP0為等腰直角三角形，且點F到直線AC的距離為過點F作直線l2AC，交拋物線y=x2+2x1于點M，則M為符合條件的點可設直線l2的解析式為：y=x+b2，F（2，1），1=2+b2，解得b1=3，直線l2的解析式為：y=x3解方程組，得：，M3（1+，2+），M4（1，2）綜上所述，所有符合條件的點M的坐標為：M1（4，1），M2（2，7），M3（1+，2+），M4（1，2）ii）存在最大值理由如下：由i）知PQ=為定值，則當NP+BQ取最小值時，有最大值如答圖2，取點B關于AC的對稱點